中學(xué)數(shù)學(xué)建模論文研讀課程教學(xué)模式設(shè)計與實施

北京市第十五中學(xué) 吳奇琰

一、研究背景

（一）《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》關(guān)于數(shù)學(xué)建模的提出

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)有如下描述：數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)。

數(shù)學(xué)建模的過程主要包括：在實際情景中從數(shù)學(xué)視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建立模型，確立參數(shù)、計算求解，檢驗結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實際問題。數(shù)學(xué)模型搭建了數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式。通過對數(shù)學(xué)建模課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能有意識地用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實世界，發(fā)現(xiàn)和提出問題，感悟數(shù)學(xué)和現(xiàn)實的關(guān)聯(lián)，學(xué)會用數(shù)學(xué)模型解決實際問題，積累數(shù)學(xué)實踐經(jīng)驗。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》關(guān)于數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的闡述在頂層設(shè)計上突出了在中學(xué)開展數(shù)學(xué)建模課堂教學(xué)的重要意義。

（二）《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》關(guān)于建模課程設(shè)計的要求

根據(jù)新修訂的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中關(guān)于課程結(jié)構(gòu)的描述，將數(shù)學(xué)建模活動和數(shù)學(xué)探究活動、函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計列為突出的四條主線，貫穿必修、選擇性必修和選修課程。數(shù)學(xué)建模活動和數(shù)學(xué)探究活動是綜合提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的載體，如何通過課堂教學(xué)，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)建模的意義，掌握數(shù)學(xué)建模的基本過程，并結(jié)合實際情況開展建模活動，最終形成論文或報告，體驗一個微科研的過程，顯然論文研讀是一種很好的體驗式學(xué)習(xí)方式。通過論文研讀課堂學(xué)習(xí)，學(xué)生可以從類比、模仿到自主創(chuàng)新，從局部實施到整體構(gòu)想，慢慢經(jīng)歷完整的活動過程。

（三）校本數(shù)學(xué)建模教學(xué)實踐與研究的需要

北京市第十五中學(xué)從2000年就已經(jīng)開始了數(shù)學(xué)建模教學(xué)的研究與實踐，多次組織學(xué)生參加數(shù)學(xué)應(yīng)用知識競賽，并取得優(yōu)異的成績。學(xué)校將學(xué)生獲獎?wù)撐膮R編成集，出版了《數(shù)學(xué)之眼看世界》《思維與創(chuàng)造》這兩本論文集，為論文研讀課堂教學(xué)提供了必要的教學(xué)素材。通過對數(shù)學(xué)建模論文研讀課堂教學(xué)模式進(jìn)行思考和探索，創(chuàng)新校本課堂教學(xué)實踐，促成新的優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)建模論文產(chǎn)生，以形成良性循環(huán)。

二、概念界定

（一）數(shù)學(xué)建模

1．?dāng)?shù)學(xué)建模概念

把現(xiàn)實世界中的實際問題加以提煉，抽象為數(shù)學(xué)模型，求出模型的解，驗證模型的合理性，并用該數(shù)學(xué)模型所提供的解答來解釋現(xiàn)實問題，數(shù)學(xué)知識的這一應(yīng)用過程稱為“數(shù)學(xué)建模”。數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)思想方法，是運用數(shù)學(xué)語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并“解決”實際問題的一種強有力的數(shù)學(xué)手段。數(shù)學(xué)建模的主要程序如圖1所示。

2．中學(xué)數(shù)學(xué)建模

在中學(xué)生現(xiàn)有知識水平和認(rèn)知能力的基礎(chǔ)上，結(jié)合課堂教學(xué)所學(xué)，通過論文研讀，了解數(shù)學(xué)建模的基本過程和步驟，以實際問題為研究對象，建立科學(xué)合理的數(shù)學(xué)模型，體驗建模的過程，最終以論文或報告的形式呈現(xiàn)研究過程和結(jié)果。

（二）教學(xué)模式

（1）“引導(dǎo)—發(fā)現(xiàn)”模式：實質(zhì)是以學(xué)生自主探索、合作交流為主，輔以教師的引導(dǎo)和幫助，充分發(fā)揮學(xué)生的主體性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。理論依據(jù)主要是布魯納的“發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”理論及布蘭達(dá)的“探究—研討”教學(xué)法等。

圖1 數(shù)學(xué)建模的主要程序

（2）“活動—參與”模式：強調(diào)學(xué)生的活動，以學(xué)生主體探究活動為中心組織教學(xué)，強調(diào)學(xué)生直接經(jīng)驗的獲得、實踐能力的培養(yǎng)，在教學(xué)活動中引導(dǎo)學(xué)生動手、動口、動腦，在做中學(xué)、在用中學(xué)，通過動手操作、參與實踐等數(shù)學(xué)活動將知識“內(nèi)化”為學(xué)生頭腦中的經(jīng)驗。這一模式理論依據(jù)是皮亞杰的發(fā)生認(rèn)識論和弗萊登塔爾的“數(shù)學(xué)化”思想。

（三）論文研讀課

論文研讀課是學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，通過對選取的數(shù)學(xué)建模論文進(jìn)行閱讀、思考、討論、分析、研究的課堂教學(xué)過程。一方面，通過學(xué)習(xí)，學(xué)生了解該論文或課題的研究方向和研究成果；另一方面，從實際問題的提出、數(shù)學(xué)問題的抽象與簡化、數(shù)學(xué)方法的運用、數(shù)學(xué)問題的求解、實際問題的反饋、研究經(jīng)歷等各個環(huán)節(jié)了解數(shù)學(xué)建模的完整過程，為自己（或小組）開展數(shù)學(xué)建模活動并完成論文提供思路和借鑒。

三、研究過程

以校本選修課的組織形式開展教學(xué)實踐研究，選取兩篇有代表性的數(shù)學(xué)建模獲獎?wù)撐模瑤ьI(lǐng)學(xué)生進(jìn)行論文研讀。以下結(jié)合《對跑步時呼吸頻率的探究》論文研讀課的教學(xué)實踐，總結(jié)出一般論文研讀課的課例設(shè)計方案，重點突出論文研讀資料的選取、教學(xué)學(xué)案的準(zhǔn)備、教學(xué)模式的選擇、教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)置這幾個方面。

（1）課例：數(shù)學(xué)建模論文《對跑步時呼吸頻率的探究》研讀。

（2）授課年級：高二年級。

課型：校本選修課（25人）。

（3）課時安排：課上學(xué)習(xí)交流三課時（每課時50分鐘），課下延伸研究4 5周。

（4）教學(xué)模式：“引導(dǎo)—發(fā)現(xiàn)”模式和“活動—參與”模式。

（5）教學(xué)準(zhǔn)備如下。

材料準(zhǔn)備：本校學(xué)生獲獎?wù)撐摹秾ε懿綍r呼吸頻率的探究》；論文研讀提綱（學(xué)案）。

知識準(zhǔn)備：通過前期教學(xué)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)建模的基本概念，并在對數(shù)學(xué)應(yīng)用競賽試題分析和討論中，了解了數(shù)學(xué)建模問題的特點以及與日常課堂教學(xué)數(shù)學(xué)問題的區(qū)別，主要體現(xiàn)在問題提出的實際性、問題處理的靈活性、問題結(jié)論的開放性這三個方面。

（6）教學(xué)設(shè)計如下。

環(huán)節(jié)一（問題感知）：教師分發(fā)研讀論文資料，學(xué)生自行通讀全文（1課時）。

教師活動：①分發(fā)研讀論文資料，每人一份；②說明論文研讀對數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)的重要意義；簡單介紹所研讀論文作者的基本情況，簡述作者開展問題研究的背景和經(jīng)歷，以及該論文參加市級競賽的過程和優(yōu)異成績，為學(xué)生對研讀論文初感知做好鋪墊；③在學(xué)生自行閱讀論文過程中，巡視并和學(xué)生做簡單交流，關(guān)注、收集學(xué)生的問題和困惑。

學(xué)生活動：認(rèn)真通讀所發(fā)的研讀論文資料，問題初感知，從整體上了解和把握論文所涉及的問題，研究思路和解決方法，隨時記錄自己的困惑，以便后期繼續(xù)思考或者合作交流探討。

環(huán)節(jié)二（合作研討）：以學(xué)案為引導(dǎo)，以小組為單位進(jìn)行小組研討，完成學(xué)案，從而全面深入地讀懂?dāng)?shù)學(xué)建模論文（1課時）。

教師活動：①分發(fā)論文導(dǎo)讀提綱（學(xué)案），介紹小組交流方式及內(nèi)容，提出書寫學(xué)案要求；②深入學(xué)生，參與交流，了解學(xué)生研討情況并共同解決學(xué)生遇到的部分問題。

學(xué)生活動：3 4人為一組，共同研討，互相啟發(fā)，嘗試小組內(nèi)解決問題，觀點基本達(dá)成一致后，完成學(xué)案（此環(huán)節(jié)學(xué)生在學(xué)習(xí)活動課堂上如果沒有完成，可延伸至課下）。

①通讀全文，你覺得數(shù)學(xué)建模的基本過程是什么？一篇規(guī)范的中學(xué)數(shù)學(xué)建模論文包含哪些基本內(nèi)容？

②本論文研究的主要問題是什么？簡要說明問題提出的背景。

③影響研究問題的主要因素有哪些？為研究和解決問題，本文做了哪些合理的假設(shè)？

④在研究過程中，作者用到了哪些研究方法？涉及哪些數(shù)學(xué)知識？

⑤通過研究，作者在數(shù)學(xué)上得出了怎樣的結(jié)論？

⑥反饋到實際問題中，數(shù)學(xué)上的解還需要怎樣進(jìn)行修正和補充？

⑦針對作者的研究過程及成果優(yōu)缺點和改進(jìn)措施，你覺得還需要考慮哪些因素？

⑧對這個研究方向，你還能提出哪些可研究的課題？（至少寫出兩個）

環(huán)節(jié)三（交流分享）：以小組為單位，選派學(xué)生講解所研讀的建模論文，師生間討論、交流分享，使學(xué)生能“讀懂論文，理解論文，講述論文”（1課時）。

教師活動：①組織學(xué)生以小組為單位，指派每組一人在課堂上對本篇研讀論文進(jìn)行講解；②講解過程中，和學(xué)生即時互動交流，對學(xué)生講解過程中不完整的地方有針對性地進(jìn)行補充和說明。

學(xué)生活動：每組選派一人，根據(jù)本組的討論內(nèi)容和對研讀論文的理解，在課堂上講解自己的觀點，積極思考并參與討論交流。

環(huán)節(jié)四（思考延續(xù)）：結(jié)合研讀論文所提出的新研究方向或者新課題，運用課堂教學(xué)所學(xué)，開展數(shù)學(xué)建模實踐研究（課下4 5周）。

學(xué)生活動：選取結(jié)合研讀論文研究方向所提出的新話題或者重新選取新研究課題，以小組為單位確立研究內(nèi)容、方法和研究思路，完成比較完整的研究報告。

教師活動：對學(xué)生進(jìn)行過程性指導(dǎo)，幫助學(xué)生完善研究，最終形成研究報告，并選擇優(yōu)異的建模論文參加相應(yīng)等級數(shù)學(xué)應(yīng)用競賽。

四、研究結(jié)論

（一）論文研讀素材挑選的基本原則

（1）論文研讀素材的選取最好是學(xué)生獲獎?wù)撐模渚哂袡?quán)威性，可以保障科學(xué)性。獲獎學(xué)生的論文結(jié)構(gòu)非常完整，不僅呈現(xiàn)了選題—建立模型—求解模型—研究結(jié)論的全過程，而且參與并通過了全市統(tǒng)一由大學(xué)教授作為評委的論文答辯，因而確保論文在一定程度上具有權(quán)威性、嚴(yán)謹(jǐn)性和科學(xué)性。盡管從專業(yè)視角來看有的論文研究角度和深度還略顯稚嫩，但在課堂教學(xué)中使用這樣的素材，也便于學(xué)生從同齡人的視角進(jìn)行思考和分析。

（2）論文研讀選題要貼合學(xué)生實際生活，要兼具趣味性。數(shù)學(xué)建模研究的課題本身源于生活實際，所以在論文研讀課上選取素材時一定選接地氣的實際生活中的問題。興趣是學(xué)生學(xué)習(xí)的最大動力，濃厚的興趣，能提升學(xué)生課堂學(xué)習(xí)效率和教學(xué)效果。

（3）論文研讀課題研究過程中用到的數(shù)學(xué)知識要在中學(xué)生能力掌握范圍之內(nèi)；研究課題涉及的知識最好是多學(xué)科知識的融合；課題的研究成果或結(jié)論具有開放性，可拓展深化。

（二）教學(xué)模式及組織形式的思考及建議

在教學(xué)模式的選擇上，考慮到學(xué)生研讀材料所涉及問題的開放性以及知識的綜合性，包括所需知識的廣度和深度，因此在教學(xué)中建議采用“引導(dǎo)—發(fā)現(xiàn)”模式和“活動—參與”模式相結(jié)合的方式組織教與學(xué)。以學(xué)生為主體，使學(xué)生在對所給論文的探究活動中直接獲得經(jīng)驗，了解開展課題研究的基本思路和過程，教師輔以引導(dǎo)，幫助學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)解決問題的思路和方法，完成經(jīng)驗積累。教師在課堂上要給予學(xué)生充分的思考、討論時間與空間，培養(yǎng)學(xué)生的主體意識、參與意識和創(chuàng)新意識。教師課下鼓勵學(xué)生主動提出問題，初步掌握科學(xué)研究方法，在建模活動參與中主動形成初步數(shù)學(xué)建模能力。

在教學(xué)組織形式方面，數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)和實踐操作的過程都需要應(yīng)用到綜合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，因此要求學(xué)生擁有較系統(tǒng)的基礎(chǔ)知識和較好的數(shù)學(xué)能力。同時數(shù)學(xué)建模論文研讀的課堂教學(xué)開放性很大，組織形式較為靈活，課下還需要拓展延伸，所以建議以校本選修課形式開展教與學(xué)，選定20 30名學(xué)生組成一個或兩個選修課教學(xué)班，每周固定時間開展教學(xué)或合作研究，以一學(xué)期為教學(xué)時段。如果學(xué)生課下已經(jīng)開始開展相關(guān)課題研究或者參加相應(yīng)的數(shù)學(xué)應(yīng)用知識競賽，可以將教與學(xué)適當(dāng)延伸至一學(xué)年。

（三）課堂教學(xué)評價的思考

不同于其他課堂教學(xué)通過考試來評價學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，論文研讀課主要側(cè)重過程性評價，分為課上和課下兩個維度評價教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成情況。

（1）教師通過在論文研讀課堂上的教學(xué)和引導(dǎo)，關(guān)注學(xué)生對研讀論文的分析和理解效果。在課堂教學(xué)中，教師和學(xué)生共同學(xué)習(xí)與交流的重點應(yīng)該是思考所研究論文數(shù)學(xué)建模的思維過程，就是研究者的想法和解決辦法，不過多糾結(jié)于過難的數(shù)學(xué)知識。對學(xué)生來說，思考和分析問題比解決問題更重要，建模論文的研讀是為學(xué)生打開一扇窗，促使學(xué)生養(yǎng)成積極思考的習(xí)慣。

（2）結(jié)合所研讀論文的思路和方法，學(xué)生能否提出有價值的新課題，課題可以是研讀論文的深入和延續(xù)，也可以是全新的研究方向。課下評價主要看學(xué)生能否按照數(shù)學(xué)建模的基本步驟完成研究，并完成比較完整的數(shù)學(xué)建模論文（小組合作）。在數(shù)學(xué)建模活動中，學(xué)生是認(rèn)知活動的主體，方案的探索、實施、調(diào)整和反思應(yīng)盡量由學(xué)生自主或者合作探究完成。教師評價學(xué)習(xí)效果時，不要過多地強調(diào)研究的結(jié)果，主要關(guān)注問題是否有價值、數(shù)學(xué)方法使用是否得當(dāng)，研究過程是否合理完整，研究結(jié)果是否有一定的實際意義。本學(xué)期學(xué)生在進(jìn)行論文研讀課的學(xué)習(xí)之后，以小組為單位提出了很好的研究課題，并結(jié)合課堂教學(xué)所學(xué)，經(jīng)過實踐研究，有的學(xué)生已經(jīng)初步形成了比較完整的研究報告。