彈性高超聲速飛行器可調Tube-MPC容錯控制

米涵芃，胡超芳，楊曉荷，胡永太

1.天津大學，天津 300072

2.航空工業西安飛行自動控制研究所 飛行控制航空科技重點實驗室，陜西 西安 710065

高超聲速飛行器具有飛行速度快、生存力高以及靈活性強等優點，近年來逐漸成為各國發展的重點[1-2]。但其強非線性、強耦合性[3]、快時變以及不確定性等特點，為控制系統的設計帶來了極大的挑戰[4]。同時，由于飛行環境復雜多變和硬件限制，飛行器還要面臨執行器故障[5]與輸入飽和[6]等問題。除此之外，高速飛行時氣動熱會導致飛行器結構發生形變[7]，降低機體固有頻率，激發彈性模態，從而影響飛行器的氣動力和飛行狀態[8]。因此，設計有效的控制策略，保證飛行器穩定飛行，具有十分重大的研究意義。

反饋線性化通過狀態或輸入輸出的變換與反饋，處理系統中的非線性部分，從而得到期望的線性系統，是解決高超聲速飛行器模型非線性問題的有效手段，受到諸多學者的青睞。如Ding 等[9]基于反饋線性化技術，針對彈性高超聲速飛行器，提出了一種連續滑?？刂破鳌n等[10]研究了一類反饋線性化系統，用于研究外部擾動和輸入受限下的抗飽和控制問題。Yang等[11]通過反饋線性化將存在參數不確定的縱向非線性模型，轉化為帶有附加擾動的線性參變模型，并設計了預測控制器。

針對輸入飽和問題，通常是研究實際輸入受限下的抗飽和方法。如Chen等[12]利用雙曲正切函數，解決了高超聲速飛行器在再入階段的舵偏角輸入飽和問題。Xia 等[13]提出了基于積分滑模和自適應動態規劃的控制律，以處理舵偏角輸入飽和。但對于反饋線性化模型，實際控制輸入約束會在線性化過程中轉換為與狀態相關非線性函數形式的虛擬輸入約束，這就給控制器的設計帶來了挑戰。

基于以上問題，本文針對彈性高超聲速飛行器反饋線性化后具有的狀態依賴輸入飽和特性，提出了一種基于可調Tube 預測控制（Tube-MPC）的容錯控制方法。首先，采用反饋線性化建立多胞線性參變模型。其次，對于執行器卡死或隨機漂移故障，在傳統Tube-MPC基礎上，引入了調節因子，改變魯棒正不變集大小，以降低保守性，實現系統控制性能和魯棒性的折中。對于狀態依賴輸入飽和，將標稱控制律設計為凸組合形式。同時利用平方和（SOS）技術，將多項式形式的虛擬輸入約束轉換為線性矩陣不等式，進行控制律求解。最后，進行了仿真驗證。

1 彈性高超聲速飛行器模型

1.1 縱向動力學模型

本文所使用的縱向彈性高超聲速飛行器動力學模型[14]如下

式中：飛行狀態h,V,α,θ,Q,η1,2分別為飛行高度、速度、迎角、俯仰角、俯仰率和一、二階彈性模態。m為飛行器的質量，g為重力加速度，Iyy為轉動慣量。L,D,T,M,N1,2為升力、阻力、推力、俯仰力矩和彈性模態廣義力。?1,2為彈性模態自然振蕩頻率，ζ1,2為彈性模態阻尼。ψ?1,2為約束梁耦合常數。

考慮剛體、彈性、氣動系統、推進系統互相耦合，氣動參數表示如下式

中：ρ為空氣密度，S為參考面積，zT為推力力矩耦合系數，cˉ為平均氣動弦長，δe為升降舵偏轉角。CL,CD,CM,CT,N1,2為氣動參數的擬合系數。二階發動機系統模型如下

式中：Φ為空氣當量比，Φc為空氣當量比控制量，?e為發動機自然頻率，ξ為發動機阻尼比。

1.2 反饋線性化模型

式中：A,B分別為狀態矩陣和輸入矩陣。

進而可以得到標稱系統模型如下

以及參考點處的飛行器模型如下

考慮參數不確定，將式（4）轉換為如下等效線性形式

式中：B(ΔB(t)),Bω((t)),ω(t)為由參數矩陣構成的仿射形式矩陣與矢量。

1.3 故障模型

當執行器發生失效或隨機漂移故障時，實際輸入變為如下

式中：ρl為執行器的有效系數，Δδe(t)為故障舵隨時間變化的隨機漂移量。將式（7）轉換為有執行器故障和參數不確定的線性模型

式中：f為故障附加等效項，即

式中：N0(x,p0)為與實際狀態和標稱參數相關的矩陣。

2 狀態依賴輸入飽和

在實際飛行過程中，受限于執行器的具體物理結構，控制輸入u=[δe,Φc]T的變化范圍是有限的，其中包括舵面飽和限制和空氣當量比控制量限制。具體形式如下

式中：umin,umax分別為實際輸入的上下限。

由此得到虛擬控制輸入的飽和函數形式如下

式中：vmin,vmax分別為虛擬輸入的上下限，其具體形式如下

式中：p0為飛行器模型的標稱參數，x=[h*,V*,h,V,α,θ,Q,Φ，]T為飛行狀態，M0(x,p0)同樣為標稱參數下與實際狀態相關的矩陣。

可見虛擬輸入的上下限是與實際飛行狀態相關的非線性函數，為了簡化計算，將其擬合成關于狀態誤差的線性多項式。首先構建狀態誤差，將式(5)與模型(6)相減，并進行離散化可得到

式中：狀態誤差ze1與輸入誤差ve1形式如下

ze1(k)=z0(k)-zm

ve1(k)=v0(k)-vm

擬合后的虛擬輸入上下限如下

式中：κ0∈R2×1,κ1∈R2×9為擬合系數。

因此，虛擬輸入飽和可表示如下

3 Tube-MPC控制器設計

為使實際系統跟蹤上標稱系統，還需要構建實際系統與標稱系統的誤差模型。將模型(9)與模型(5)相減，離散化可得誤差模型如下

式中：d=B′ω(Δω(k))ω(k) +f∈W為由參數不確定和故障轉化而來的有界附加擾動，W為擾動集，B′ω(Δω(k))為由參數矩陣構成的仿射形式矩陣，狀態誤差與輸入誤差形式如下

ze2(k) =z(k) -z0(k)

ve2(k) =v(k) -v0(k)

傳統的Tube-MPC控制律形式如下

式中：K為Tube-MPC的輔助反饋控制律，F為標稱控制律。

本文在傳統方法基礎上，引入調節因子，通過調節實現控制性能和魯棒性折中。同時，將標稱控制律構造為無約束的標稱控制律與約束下控制律的凸組合形式。具體設計過程如下。

3.1 輔助反饋控制律設計

定義矩陣Qm,Qn，通過求解以下線性矩陣不等式可以求得輔助魯棒反饋控制律K=QmQ-1n。

3.2 調節因子

在傳統Tube-MPC 控制中，利用最小魯棒正不變集Z來表示“Tube”的大小。為保證控制器的穩定性，通常會針對故障最嚴重的情況來設計控制律，但這會導致控制器的保守性過強，從而降低控制性能。考慮到實際飛行中不一定發生最壞情況，可以適當降低系統魯棒性，以提高控制性能。因此，不必使用完全故障情況下擾動集W所對應的Z。

基于上述思想，本文借鑒參考文獻[16]的思想，引入了調節因子τ∈[0,1]，用于調節不變集的大小。當故障并非完全發生時，即W變為不完備擾動集W′時，由于不變集與所發生的故障程度成正比，通過改變τ，可以將Z變為不完備擾動最小魯棒正不變集Z′。由于τ的引入，不變集的各個維度以一定的比率縮減，因此兩種不變集的關系可表示為Z′=τZ。

為簡化起見，在本文中我們假設W和Z在每一個維度都縮小同樣的比率，因此τ可以取一個定值。為了有效求解對應于W′的Z′，采用參考文獻[17]的方法進行計算。

由此，引入調節因子的控制律如下

接下來分析τ對控制性能和魯棒性的影響。傳統Tube-MPC的標稱控制律要滿足

式中：Θ為集差，v0min,v0max為標稱虛擬輸入的上下限。

引入τ后約束條件則變為

式中：v′0min,v′0max為經τ調節后的上下限。

可見τ的引入擴大了標稱控制輸入約束范圍。隨著τ減小，標稱系統約束放松，控制性能變好，而魯棒性則變差。反之，隨著τ增大，標稱系統約束變嚴格，控制性能降低，但系統的魯棒性會有所提升。

3.3 標稱控制律設計

本文設計的標稱控制律為

式中：Fn,Fs為無約束和約束下的標稱控制律，λ∈[0,1]為權重系數。

在求解標稱控制律時，需要考慮輸入飽和問題，從式（15）中可以看出，M0,N0是復雜非線性函數，而且vmin,vmax是多項式形式，這使得飽和約束難以求解。因此考慮到SOS技術處理多項式約束的優勢，引入SOS 將上述多項式轉化為線性矩陣不等式約束，以便于控制律的求解。

定義1[18]

針對多項式H(x)，假設它可以表示為如下一組多項式gi(x),i= 1,…,m平方和的形式。

則H(x)∈∑[x]就是SOS 多項式，其中∑[x]為SOS多項式集合，且H(x)≥0,?x∈Rn。

對于帶有狀態依賴輸入約束的誤差系統(13)，給定合適的系統狀態權重矩陣ψ∈R9×9，控制輸入權重矩陣σ∈R2×2，約束控制下影響不變集的參數κ∈R9×9。如果存在正標量γn，正定對稱矩陣Ys和Yn，可以使輔助SOS 多項式s1(ze1(k)),s2(ze1(k)),s3(ze1(k)),s4(ze1(k))滿足以下優化問題，則本文所設計的標稱增益Fs=YsQ-1,Fn=YnQ-1可以保證誤差系統(13)的穩定。

式中：*代表線性矩陣不等式中對稱的部分，其余部分如下

由此，可以求得虛擬控制律，經過式（26）轉換后可得到實際控制輸入如下

4 仿真驗證與分析

仿真條件：初始高度為25908m，初始速度為2347m/s，期望高度為29184.6m，期望速度為3017.5m。故障在350s時發生，為10%失效故障。為驗證本方法的有效性，與傳統Tube-MPC控制器進行對比。

首先，選取τ= 1，即不引入調節因子，僅對控制器的容錯以及抗飽和能力進行驗證，仿真結果如圖1和圖2所示。

圖1 飛行狀態Fig.1 Flight states

圖2 控制輸入Fig.2 Control inputs

由圖1 可知，本方法能使彈性高超聲速飛行器在故障發生時，精確完成跟蹤任務。由圖2可知，虛擬和實際控制輸入均在約束范圍內。在相同仿真條件下，分別選取τ為1和0.7進行仿真，仿真結果如圖3～圖5所示。由圖3～圖5可知，減小調節因子至0.7后，與調節因子為1時相比，系統的響應速度變快，超調量減小，控制性能提升。但故障發生后，飛行狀態和控制輸入的抖動變大，證明魯棒性降低。因此選擇合理的調節因子，可以既保證系統魯棒性，也可以提升控制性能。

圖3 加入調節因子的高度Fig.3 Altitude with adjustable factor

圖4 加入調節因子的一階彈性模態Fig.4 First order elastic mode with adjustable factor

圖5 加入調節因子的舵偏角Fig.5 Elevator deflection with adjustable factor

5 結論

本文針對狀態依賴輸入飽和、參數不確定和執行器故障下的彈性高超聲速飛行器，設計了基于可調Tube-MPC的容錯控制器。在多胞線性參變模型基礎上，針對反饋線性化后形成的狀態依賴輸入飽和問題，將虛擬輸入約束上下限擬合為線性多項式，并通過SOS技術將多項式約束轉化為線性矩陣不等式約束?？紤]到故障發生的程度不同，為改善控制系統的保守性，引入了調節因子，改變不變集大小，以提升系統的控制性能。同時，將傳統標稱控制律設計為無約束與約束下的加權凸組合形式，使得虛擬輸入滿足約束。