負載升降及干擾工況下橋式吊車微分平坦跟蹤控制

肖友剛，王輝堤，李蔚，韓錕

(1. 中南大學(xué)交通運輸工程學(xué)院，湖南 長沙，410075；2. 中南大學(xué)軌道交通安全關(guān)鍵技術(shù)國際合作聯(lián)合實驗室，湖南 長沙，410075)

橋式吊車廣泛應(yīng)用于工廠車間、自動化碼頭、倉庫等場所，其主要功能是實現(xiàn)貨物快速、安全轉(zhuǎn)運。在作業(yè)過程中，吊車系統(tǒng)存在參數(shù)攝動、風(fēng)擾等不確定因素干擾，嚴重影響其防擺定位的控制效果，如何保證吊車準確定位并抑制貨物運輸過程中的擺動，提高其智能化程度，是目前國內(nèi)外學(xué)者研究的熱門問題[1-3]。軌跡規(guī)劃對臺車精準定位和負載擺動抑制起著重要作用。將臺車的起點位置設(shè)定為零，當(dāng)作業(yè)距離長時，若不能對目標值進行平滑處理，則會導(dǎo)致初始控制量很大，甚至難以控制。通常可根據(jù)臺車電機最大速度/加速度/加加速度等實際物理約束，事先規(guī)劃1 條先加速、再勻速、后減速的運動軌跡。如HOANG等[4]設(shè)計了一種階梯型加速度軌跡，但存在加加速度為無窮大的取值點，易激發(fā)系統(tǒng)振蕩。FANG等[5]采用兩段tanh函數(shù)構(gòu)造了光滑且滿足物理約束的速度軌跡，但軌跡加速度始終較小，效率較低。王岳等[6]根據(jù)實際物理指標構(gòu)造了七段式梯型加速度軌跡，但曲線銜接點個數(shù)多且銜接處不光滑。因此，如何設(shè)計結(jié)構(gòu)簡單、光滑連續(xù)、有利于臺車高效平穩(wěn)運行且滿足實際物理約束的參考軌跡是問題的關(guān)鍵。根據(jù)事先規(guī)劃的平滑S型軌跡引導(dǎo)臺車運動，并與閉環(huán)控制相結(jié)合，可使臺車運動更加平穩(wěn)。對此，研究者設(shè)計了眾多閉環(huán)控制器，如滑模控制[7]、模糊控制[8]、能量分析控制[9]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法[10]等。但現(xiàn)有的研究大多在定繩長的基礎(chǔ)上進行，忽略了負載升降運動所引起的繩長變化對負載擺動的影響。吊車的操作過程大體可分為3 步：1) 吊裝貨物并豎直上升至安全高度；2)橫向移動至指定目標位置；3)將重物落吊。在實際作業(yè)中，為提高吊車工作效率，負載升降和橫向運輸運動常同時進行，此時，吊繩長度隨時間而變化，這極易引起負載大幅搖擺，導(dǎo)致原有定繩長控制方法難以取得理想控制效果，同時，繩長時變大大增強了吊車系統(tǒng)的欠驅(qū)動特性、非線性，增加了控制難度。針對負載升降工況下的吊車系統(tǒng)，石懷濤等[11]基于系統(tǒng)能量分析，設(shè)計了能使系統(tǒng)能量耗散的非線性控制器，抑制了擺角振蕩。RAMLI 等[12]設(shè)計了基于粒子群算法優(yōu)化的PID控制器，以解決變繩長橋式吊車受到的外界干擾的問題。SUN 等[13]為消除豎直方向上的穩(wěn)態(tài)定位誤差，提出了一種在線辨識負載質(zhì)量的自適應(yīng)控制策略；ZHANG等[14]設(shè)計了一種可在線辨識摩擦因數(shù)的局部飽和自適應(yīng)學(xué)習(xí)控制器，并在控制律中使用tanh 函數(shù)保證臺車軟啟動。這些方法雖在一定程度上解決了變繩長橋式吊車系統(tǒng)的控制問題，但大都沒有充分考慮擺角和位移之間的耦合關(guān)系，使其控制律中往往包含眾多參數(shù)，整定困難，難以調(diào)到最優(yōu)狀態(tài)。由于吊車具有欠驅(qū)動特性，其控制量需實現(xiàn)臺車準確定位及負載消擺雙重目標，因此，應(yīng)盡可能對位移和擺角控制回路進行一體化設(shè)計，從整體上協(xié)調(diào)發(fā)揮控制系統(tǒng)的最大潛力。此外，控制系統(tǒng)設(shè)計還需綜合考慮系統(tǒng)負載質(zhì)量、摩擦力、負載重心等不確定因素和環(huán)境風(fēng)等外部隨機擾動的影響。

微分平坦理論是FLIESS 等[15]針對非線性系統(tǒng)提出的。具有平坦屬性的非線性系統(tǒng)可存在一組平坦輸出信號，使系統(tǒng)所有的狀態(tài)變量及輸入量都可由該信號的有限階導(dǎo)數(shù)表示。平坦系統(tǒng)通過微分同胚變換可轉(zhuǎn)化為等效的線性形式，因此，微分平坦揭示了非線性系統(tǒng)存在另一種結(jié)構(gòu)形式的可能性[16]。該理論可從整體上對欠驅(qū)動系統(tǒng)進行分析，簡化控制器設(shè)計。目前已有文獻采用該理論指導(dǎo)吊車控制器設(shè)計。如孫寧等[17]將系統(tǒng)狀態(tài)約束轉(zhuǎn)化為對平坦輸出的約束，降低了軌跡規(guī)劃的難度，并設(shè)計了雙擺吊車的多項式軌跡。ZHANG等[18]基于微分平坦理論設(shè)計了定、變繩長吊車的有限時間消擺控制器，但控制律的實現(xiàn)依賴于精確模型，且其給出的仿真結(jié)果定位時間長、效率低。設(shè)計具有擾動觀測功能的補償器是解決模型不確定性問題的有效方法。擴張狀態(tài)觀測器(extended state observer，ESO)不僅可給出系統(tǒng)狀態(tài)的觀測結(jié)果，且將作用于被控對象的所有不確定因素擴張為“總擾動”，進行實時估計和補償[19]。應(yīng)用微分平坦理論，從整體上對欠驅(qū)動機械系統(tǒng)進行結(jié)構(gòu)變換，并采用ESO處理“總擾動”的方法對四旋翼飛行器[20]、倒立擺[21]、陸地自主車[22]等進行系統(tǒng)控制，充分顯示出兩者相結(jié)合的優(yōu)勢。

針對大干擾及負載升降工況的吊車系統(tǒng)，本文結(jié)合微分平坦算法和ESO 的優(yōu)勢，提出一種基于ESO補償?shù)奈⒎制教管壽E跟蹤控制方法(flatness based ESO tracking control，F(xiàn)ETC)。具體而言，首先使吊車系統(tǒng)平穩(wěn)、安全、高效運行。選用四段具有飽和特性的sigmoid 函數(shù)，設(shè)計適用于長距離、全過程光滑連續(xù)且能滿足實際物理約束的梯型加速度參考軌跡。在證明橋式吊車系統(tǒng)具有微分平坦屬性的基礎(chǔ)上，通過微分同胚變換將兩方向運動模型轉(zhuǎn)化為積分串聯(lián)形式，進而設(shè)計微分平坦軌跡跟蹤器引導(dǎo)臺車沿著期望軌跡運動，實現(xiàn)了擺角和位移回路的一體化控制。然后，采用ESO 對模型不確定性因素和外擾進行估計補償，以提高系統(tǒng)抵抗內(nèi)/外擾動的能力。最后，基于Hurwitz 穩(wěn)定理論配置觀測器和控制器帶寬，極大簡化了調(diào)參難度，并對閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行了數(shù)學(xué)證明。仿真對比結(jié)果及實驗結(jié)果表明FETC在模型參數(shù)不精確及外擾下都能精確定位，并抑制負載擺動，魯棒性強。

1 問題描述

包含負載升降的吊車動力學(xué)模型如圖1 所示，其動力學(xué)方程可描述如下[14]：

圖1 伴隨負載升降的橋式吊車示意圖Fig.1 Schematic illustration of overhead crane with load hoisting and lowering

針對橋式吊車系統(tǒng)，設(shè)計控制系統(tǒng)的目的是同時驅(qū)動臺車和負載升落吊，使臺車橫向和負載垂向運動分別到達目標位置，同時充分抑制負載擺動。具體任務(wù)可概括為：1)設(shè)計1條參考軌跡引導(dǎo)臺車和負載運動；2)設(shè)計消擺跟蹤控制器。在后續(xù)內(nèi)容中，將設(shè)計一種新穎的參考軌跡和微分平坦控制器實現(xiàn)所述目標。

2 主要結(jié)果

2.1 軌跡規(guī)劃

根據(jù)操作經(jīng)驗，臺車在運行過程中，若加速度突然增大或減小，則會給執(zhí)行器帶來巨大沖擊，并引起負載大幅度擺動。要實現(xiàn)對吊車的平穩(wěn)控制，臺車加速度軌跡應(yīng)類似于梯形軌跡且能夠連續(xù)變化。考慮到工作效率、安全性及物理系統(tǒng)的限制，臺車的運行速度、加速度應(yīng)在合理范圍內(nèi)。

如圖2所示的sigmoid函數(shù)sigmoid(y)具有光滑性、單調(diào)性、飽和性等特征，其表達式為

圖2 sigmoid函數(shù)曲線Fig.2 Curve of sigmoid function

基于臺車操作經(jīng)驗和約束條件，構(gòu)造4段對稱的sigmoid 函數(shù)，形成圖3 中4 條顏色不同的sigmoid函數(shù)實曲線Si(i=1，2，3，4)，進而通過函數(shù)疊加的方式，構(gòu)造銜接點光滑連續(xù)且包含加速、勻速及減速段的雙梯形光滑黑色虛曲線，作為負載定位的新型加速度軌跡(novel acceleration trajectory，NAT)，如式(5)所示。

式中：a為加速度；t為時間；am為最大加速度；c∈R+，為 初 始 加 速 度 調(diào) 節(jié) 參 數(shù)；n1，n2，n3，n4∈R+，為輔助變量。假定目標位移為xd，最大運行速度為vm，最大加加速度為jm，根據(jù)圖3所示對稱幾何關(guān)系及sigmoid(y)函數(shù)性質(zhì)，確定輔助變量n1，n2，n3，n4：

圖3 新型加速度軌跡構(gòu)造示意圖Fig.3 Schematic diagram of NAT

加速度軌跡曲線全階段連續(xù)、高階可微，同時，速度、加速度、加加速度始終限定在給定的約束范圍內(nèi)，并可在限定值附近運行盡可能長的時間，有利于縮短吊車的作業(yè)時間，提高負載搬運效率，因此，適合作為橋式吊車系統(tǒng)負載橫向運動及升降運動的跟蹤軌跡。

2.2 模型的平坦屬性

本節(jié)首先證明橋式吊車系統(tǒng)具有微分平坦屬性，然后對模型進行微分同胚變換，以便實現(xiàn)擺角和位移回路的一體化控制，使設(shè)計過程簡潔高效。考慮到非線性橋式吊車模型復(fù)雜，在實際情況中，負載最大擺角θmax通常保持在5°以內(nèi)，因此，cosθ≈1，sinθ≈θ，θ?2θ≈0，θ2≈0，式(3)可簡化為

式中：f0為模型簡化引起的誤差，可使用ESO進行觀測并補償。原非線性吊車系統(tǒng)可在平衡點附近分解為線性系統(tǒng)和非線性未知項的疊加：

式中：fi(i=1，2，3)分別為臺車運動加速度、負載擺動加速度及負載升降加速度的總擾動，由未建模部分及外界擾動組成。

對摩擦力和重力項進行前饋補償，則總控制量可表示為

式中：u1和u2分別為臺車橫向運動和負載垂向運動的控制量；Fˉrx和Fˉrl分別為臺車橫向和負載垂向摩擦力的估計值，可經(jīng)過實驗測試結(jié)果得出。具體而言，將兩方向的驅(qū)動量設(shè)定為不同值，并測出相應(yīng)勻速段的速度，進而根據(jù)受力平衡，可得摩擦力與速度間的函數(shù)關(guān)系，最后采用非線性最小二乘法擬合得到摩擦力的估計值。實驗中，提高摩擦力估計的準確性，可減少系統(tǒng)動態(tài)的不確定性，并可在一定程度上提高系統(tǒng)的控制性能。

由圖1可知，負載坐標可表示為：xm=x+lsinθ，ym=lcosθ，考慮到負載擺角通常較小，負載坐標可近似為

對式(12)關(guān)于時間求二階導(dǎo)數(shù)可得

將廣義信號表達式(13)代入式(7)并整理，得

結(jié)合式(12)和(14)可知

由式(1)，(2)，(14)和(15)可知：系統(tǒng)中所有狀態(tài)變量及控制輸入均可表示為負載坐標(xm，ym)及其不同階導(dǎo)數(shù)的代數(shù)組合形式，故吊車系統(tǒng)具有平坦屬性。結(jié)合式(7)和(12)，平坦輸出xm的前二階微分可表示為

式中：f4=f0+l?θ。結(jié)合式(9)，(11)和(16)，平坦輸出xm的三、四階微分可表示為

結(jié)合式(10)和11)可得，平坦輸出ym前二階微分可表示為

2.3 基于ESO的微分平坦跟蹤控制

考慮到模型簡化誤差會對系統(tǒng)動態(tài)特性造成影響，且系統(tǒng)存在隨機的外界干擾，因此，將系統(tǒng)簡化而帶來的模型偏差、實際摩擦力與估計值之間的偏差和外界干擾綜合視為“總擾動”，設(shè)計ESO 進行實時觀測并補償。定義ξ1=xm，ξ2=x?m，ξ3=x?m，ξ4=，則系統(tǒng)(17)可轉(zhuǎn)化為如下積分串聯(lián)形式：

根據(jù)式(19)，設(shè)計負載橫向運動的擴張狀態(tài)觀測器LESO1：

式中：zxi(i=1，2，…，5)分別為狀態(tài)ξi(i=1，2，…，5)的觀測值；βxi(i=1，2，…，5)為LESO1 的觀測器增益。為簡化參數(shù)調(diào)節(jié)，采用帶寬法配置觀測器參數(shù)，將LESO1 的閉環(huán)特征方程的極點統(tǒng)一配置在帶寬ωx上，使LESO1 觀測器增益與觀測器帶寬相關(guān)聯(lián)[19]，也就是使特征多項式滿足：

求解方程(21)可得

為觀測并補償負載垂向運動的總和擾動，定義δ1=ym，δ2=y?m，δ3=f3，則系統(tǒng)(18)可轉(zhuǎn)化為

根據(jù)式(23)，設(shè)計負載垂向運動的擴張狀態(tài)觀測器LESO2：

式中：zli(i=1，2，…，5)分別為狀態(tài)δi(i=1，2，…，5)的觀測值；βl1，βl2和βl3為LESO2 的增益。將LESO2控制增益配置在帶寬ωl上，有

這樣，LESO1 和LESO2 所有參數(shù)都變成了帶寬的函數(shù)，將繁瑣的觀測器參數(shù)轉(zhuǎn)化為單一參數(shù)。理論上，LESO 帶寬越大，觀測器跟蹤速度也越快，但同時也越容易引入噪聲信號。在實際選擇時，要綜合考慮系統(tǒng)控制性能和干擾抑制等指標。

根據(jù)式(20)，定義負載橫向運動的誤差ex1(t)，(為表達簡便，t略去)，即其中，xr為負載橫向運動的跟蹤值，由式(5)計算得出。

根據(jù)式(24)，定義負載垂向運動的誤差el1：

其中：lr為負載垂向運動的跟蹤值，由式(5)計算得出。

根據(jù)式(19)，(20)和(26)，設(shè)計負載橫向運動的誤差反饋控制律：

式中：kx1，kx2，kx3，kx4∈R+，為控制增益。

根據(jù)式(23)，(24)和(27)，設(shè)計負載垂向運動的誤差反饋控制律：

式中：kl1，kl2∈R+，為控制增益。

根據(jù)式(11)，(28)和(29)可得吊車系統(tǒng)總控制律為

將式(28)和(29)的閉環(huán)極點分別配置負載橫向和垂向運動控制器的帶寬ω1和ω2上，使下列特征方程λ1和λ2是Hurwitz穩(wěn)定的。

計算可得控制增益的值為

將觀測器和誤差反饋控制律的參數(shù)配置在帶寬上，可極大減少控制器參數(shù)整定的難度。至此，基于ESO 補償?shù)奈⒎制教管壽E跟蹤控制器設(shè)計完畢，主要包含4個參數(shù)，通過調(diào)節(jié)兩觀測器帶寬ωx和ωl及控制器帶寬ω1和ω2，即可調(diào)節(jié)控制器性能。

2.4 穩(wěn)定性分析

設(shè)初始觀測誤差ex0(0)=|ex1(0)|+|ex2(0)|+|ex3(0)|+|ex4(0)|+|ex5(0)|，則對于任意t≥T,式(40)成立：

閉環(huán)系統(tǒng)控制誤差可表示為

式中：

由于將2個ESO的帶寬分別配置在ωx和ωl上，2 個控制器帶寬分別配置在ω1和ω2上，因此，矩陣A1，A2，E1和E2均為Hurwitz穩(wěn)定矩陣，在這種情況下，Ф矩陣也是Hurwitz穩(wěn)定矩陣，因此，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

3 仿真與實驗結(jié)果

3.1 軌跡對比仿真

為驗證所提新型加速度軌跡NAT(記為T1)的有效性，將T1軌跡與文獻[5]設(shè)計的吊車系統(tǒng)常用軌跡(記為T2，見式(45))與文獻[6]采用的七段加速度軌跡(記為T3，見式(46))進行對比。為保證公平性，3 條軌跡的約束條件均設(shè)置為vm=1 m/s，am=0.2 m/s2，jm=0.2 m/s3，跟蹤目標點xd=20 m。將T1軌跡參數(shù)c設(shè)為3.5，T2軌跡參數(shù)ε設(shè)為3。為方便比較，根據(jù)約束條件，將T3 軌跡表達式進行相應(yīng)轉(zhuǎn)換，仿真對比結(jié)果如圖4所示。

圖4 3種軌跡運動狀態(tài)隨時間的變化曲線Fig.4 Motion tracks of three trajectories with time

從圖4 可見：在實際物理指標約束下，3 條軌跡均可無超調(diào)到達目標點，但T2 到達目標點的時間明顯大于T1和T3到達目標點的時間，其原因是T2 軌跡的加速度曲線并非梯形曲線，導(dǎo)致加速度和加加速度指標無法充分發(fā)揮最大功效；此外，T2 在初始階段存在較大沖擊，這對臺車平穩(wěn)運行非常不利。從圖4 還可見：T1 和T3 的加速度曲線均類似于梯形軌跡，使得對象能夠在加速度限定值附近盡可能運行較長時間；T1和T3到達目標點所需時間基本相同，即它們運行效率基本相同；相較于T3軌跡的線性變化，采用sigmoid函數(shù)構(gòu)造的T1 軌跡加速度和加加速度變化更加平滑，從而更有利于吊車系統(tǒng)運動狀態(tài)的平滑切換，保障其平穩(wěn)安全運行；T1軌跡表達式簡潔、緊湊，速度、加速度、加加速度限定值明確體現(xiàn)在表達式中，設(shè)計方便、直觀。需注意的是，在短距離下，T3需重新構(gòu)造表達式，而T1 軌跡在短、長距離下均可適用，不需重新設(shè)計，這將在后續(xù)實驗中進一步驗證。可見，新型加速度軌跡性能更優(yōu)越。

3.2 控制器對比仿真

為驗證所提出的控制器的有效性，設(shè)計1個仿真實驗平臺，吊車系統(tǒng)的參數(shù)設(shè)置為：M=19.8 kg，m=1 kg，g=9.81 m/s2；摩擦力參數(shù)為：frx=8.1；kr=-0.5；μx=0.01；dl=0.7。臺車初始位置為0，目標位置為20 m，吊繩初始位置為2 m，目標位置為10 m。經(jīng)參數(shù)整定，所提控制器參數(shù)選取如下：ωx=15，ωl=15，ω1=5，ω2=5。為驗證所提出方法的性能，將其與LI 等[23]提出的coupling-based controller(CBC)和SUN等[24]提出的nonlinear tracking control(NLTC)控制器進行對比。CBC法控制律表達式如式(47)所示，其控制參數(shù)選取為：kpx=5，kdx=7.5，kpl=2，kdl=2，k1=-6，N=6。NLTC法控制律表達式如式(48)所示，其控制參數(shù)選取為：kpx=3，kdx=3，kpl=5，kdl=5，λωx=0.1，λωl=0.1。考慮到落吊操作時臺車定位精度和負載擺動直接影響作業(yè)效率和操作安全性，因此，僅比較落吊過程中的仿真結(jié)果。設(shè)定臺車橫向運動速度、加速度、加加速度的上限分別為1 m/s，0.2 m/s2和0.2 m/s3，負載垂向運動速度、加速度、加加速度的上限分別為0.5 m/s，0.1 m/s2和0.1 m/s3，初始加速度調(diào)節(jié)因子均為3.5。根據(jù)新型加速度軌跡NAT構(gòu)造臺車橫向運動參考軌跡Tx、負載豎直運動的參考軌跡Tl，利用上述3種算法對臺車橫向運動、負載垂向運動軌跡進行跟蹤控制，所得仿真結(jié)果如圖5所示。

從圖5 可見：3 種方法均能夠較好地跟蹤2 條目標軌跡，且用時接近；FETC 和NLTC 法幾乎可實現(xiàn)無超調(diào)跟蹤，而CBC法在垂向出現(xiàn)跟蹤超調(diào)；在消擺性能上，在整個運送過程中，F(xiàn)ETC法都可將擺角控制在2°以內(nèi)，為三者中最低，臺車到達目標位置后，幾乎無殘擺；CBC和NLTC法難以在臺車到達目標點后及時消除殘余擺動，消擺時間長；FETC 的控制量對時間的積分為三者中最低，因此最節(jié)能。綜合定位性能、消擺性能和控制力，可知本方法對吊車作業(yè)的控制效果最好。

圖5 3個控制器控制效果對比Fig.5 Comparison of control effects of three controllers

3.3 實物控制實驗

為進一步驗證FETC算法的實際控制性能，采用FETC 法在圖6 所示實驗裝置上進行2 組實驗，實驗裝置由機械主體和控制系統(tǒng)組成。機械橋架長為2.5 m，寬為1.5 m，高為1.3 m。控制系統(tǒng)包括計算機、運動控制器、編碼器、伺服電機等。控制系統(tǒng)通過監(jiān)測擺角和位移信號，并在計算機上搭建控制器進行相應(yīng)運算產(chǎn)生控制量，通過運動控制器進行信號轉(zhuǎn)換并下發(fā)至電機，從而控制臺車運動。吊車物理參數(shù)為M=19.8 kg，m=1 kg；摩擦力參數(shù)經(jīng)實驗測試確定為frx=8.1，kr=-0.5，μx=0.01，dl=0.7。根據(jù)吊車的實際物理限制，將橫向軌跡參數(shù)調(diào)整為vm=0.25 m/s，am=0.1 m/ s2，jm=0.1 m/s3，c=7；垂向軌跡參數(shù)調(diào)整為vm=0.1 m/s，am=0.025 m/s2，jm=0.025 m/s3，c=7。控制器參數(shù)與仿真參數(shù)保持一致。

圖6 橋式起重機實驗平臺Fig.6 Hardware platform of bridge crane

第1組實驗：繩長從初始長度0.3 m增至0.8 m(即進行落吊)，臺車移動1 m距離，并在不主動施加外擾、零初始擺角工況下運行，將實驗結(jié)果與仿真結(jié)果進行對比，所得結(jié)果如圖7所示。

圖7 未施加干擾下所提方法實驗結(jié)果與仿真結(jié)果對比Fig.7 Performance comparison between simulation results and experimental results of the proposed method without disturbance

第2組實驗：繩長從初始長度0.8 m減至0.3 m(即進行升吊)，臺車移動1 m距離，并模擬吊車可能存在的各種外擾工況。為此，在運行前給定約5°的初始擺角，在15～17 s 時利用外物撞擊負載，在32～37 s利用KOMAX風(fēng)筒(峰值出風(fēng)量為5.0 m3)模擬環(huán)境風(fēng)擾，使系統(tǒng)在受到3種不同類型擾動工況下運行，實驗結(jié)果如圖8所示。

圖8 施加干擾下所提方法實驗效果Fig.8 Experimental results of proposed method with disturbance

從圖7和圖8可以看出NAT軌跡同樣適用于短距離情況。未施加干擾時，在所提出的控制器作用下實驗結(jié)果與仿真結(jié)果接近。由于實際摩擦力與估計的摩擦力之間存在誤差，仿真中未建模部分(如忽略了鋼絲繩的剛度)及外擾等不確定因素造成2條曲線之間存在差異。實驗中，臺車和繩長均可無超調(diào)到達目標位置，全過程負載擺動幅值保持在1°以內(nèi)，到達目標點后無殘擺，橫向和垂向控制力均保持在合理范圍內(nèi)。臺車運行大約9 s 到達目標點，落吊用時約12 s，2 個方向同時運動可節(jié)省約42.9%運行時間。從圖8可看出，在初始擺角和外界干擾的不利工況影響下，所提FETC控制器能快速、有效地抑制并消除不同外擾，控制量也控制在合理范圍內(nèi)，臺車位移僅發(fā)生小幅波動。以上結(jié)果表明FETC控制器對這些外擾具有較強的魯棒性。綜上可見，所提出的算法在有/無擾動及升/落吊工況下均能取得較好的消擺跟蹤控制效果。

4 結(jié)論

1)采用sigmoid函數(shù)構(gòu)造了光滑連續(xù)且包含加速、勻速、減速全過程、高階可微的新型加速度軌跡，該軌跡簡潔、緊湊，速度、加速度、加加速度限定值明確體現(xiàn)在表達式中，設(shè)計方便、直觀，并能使其在限定值附近運行盡可能長的時間，有利于提高運行效率。

2)將臺車運動與負載擺動進行復(fù)合，構(gòu)建了臺車運動與負載擺動的微分平坦輸出模型。為保證平坦輸出變量沿著期望參考軌跡平穩(wěn)運行，設(shè)計了消擺軌跡跟蹤控制器，實現(xiàn)了臺車位移、負載升降及擺動的一體化控制。引入ESO 補償器對總和擾動進行估計并補償，提高了系統(tǒng)抵抗參數(shù)攝動、外部干擾的能力。采用Hurwitz穩(wěn)定理論將控制系統(tǒng)增益轉(zhuǎn)化為觀測器和控制器帶寬配置，極大降低了參數(shù)整定難度，有利于控制器推廣應(yīng)用。

3)在臺車運動和負載升降的聯(lián)動下，吊車微分平坦控制能在外界干擾情況下使負載沿著期望軌跡快速到達目標位置，并有效抑制負載運輸過程中的擺動。