一種新型無伴隨運(yùn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)性能分析與優(yōu)化

陳淼，張氫，秦仙蓉，孫遠(yuǎn)韜

(同濟(jì)大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院，上海，201804)

相比串聯(lián)型機(jī)器人，并聯(lián)機(jī)器人具有剛度高、承載自重比高及關(guān)節(jié)累積誤差小[1]等優(yōu)點(diǎn)，近年來，以并聯(lián)主軸頭為核心部件的混聯(lián)機(jī)床有效地克服了串聯(lián)機(jī)構(gòu)的不足，在先進(jìn)制造中獲得了廣泛應(yīng)用[2]。其中，基于1T2R(one translational and two rotational degrees of freedom)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的混聯(lián)機(jī)床已成為研究熱點(diǎn)，例如，Sprint Z3主軸頭(3-PRS并 聯(lián) 機(jī) 構(gòu)[3])、A3 主 軸 頭(3-RPS 并 聯(lián) 機(jī) 構(gòu)[4])、Tricept 混聯(lián)機(jī)床(3UPS-UP 并聯(lián)機(jī)構(gòu)[5])和Exechon混聯(lián)機(jī)器人(2UPR-SPR 并聯(lián)機(jī)構(gòu)[6])等(R，P，S 和U分別代表轉(zhuǎn)動(dòng)副、移動(dòng)副、球鉸副和萬向節(jié)副)。盡管并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為機(jī)床主體有很多優(yōu)勢(shì)，但良好的機(jī)構(gòu)性能是實(shí)現(xiàn)高水平作業(yè)的前提條件[7]。為保證機(jī)床在復(fù)雜載荷工況下保持較高的軌跡精度，需要并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有較好的剛度性能；并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)耦合性較強(qiáng)，機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)性能難以保證；此外，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的有效工作空間往往比較小，限制了機(jī)床的加工范圍，因此，針對(duì)具體的并聯(lián)機(jī)構(gòu)及其應(yīng)用場景，在設(shè)計(jì)階段實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)多方面性能的優(yōu)化具有重要研究意義。

機(jī)構(gòu)性能與機(jī)構(gòu)的類型、尺度、材料類型、構(gòu)件特征以及驅(qū)動(dòng)形式等因素密切相關(guān)。近年來，國內(nèi)外學(xué)者在設(shè)計(jì)尺度對(duì)機(jī)構(gòu)性能影響方面開展了大量研究。BOUNAB[8]以全局剛度和靈巧度指標(biāo)對(duì)Delta 機(jī)器人進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化。RUSSO 等[9]對(duì)Tripod并聯(lián)機(jī)器人的工作空間、靈巧度、力傳遞效率和剛度等多方面性能進(jìn)行了尺度優(yōu)化。YANG等[10]基于博弈原理提出了一種新型多目標(biāo)優(yōu)化算法，并以圓柱工作空間體積，力/位傳遞性指標(biāo)及剛度性能指標(biāo)為目標(biāo)函數(shù)對(duì)2UPR-RPU 和2UPR-2RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化。趙星宇等[11]以3-P(4S)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能、剛度性能和速度性能指標(biāo)為目標(biāo)函數(shù)，采用改進(jìn)的加權(quán)求和法對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化，全面提高了機(jī)構(gòu)的各項(xiàng)性能。

盡管學(xué)者們?cè)诓⒙?lián)機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方面取得了一定成果，但該問題仍未得到有效解決。例如，作為一種常用的剛度性能指標(biāo)，剛度矩陣特征值對(duì)于含有1T2R混合自由度性質(zhì)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)來說并不適用，這是因?yàn)樵摼仃囋亓烤V不一致，其特征值沒有明確的物理意義；另一種常見的主對(duì)角線剛度指標(biāo)選取了剛度矩陣的主對(duì)角線元素而忽略了非對(duì)角線元素的耦合影響，對(duì)于復(fù)雜自由度性質(zhì)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)來說也不宜采用[10]；另外，機(jī)構(gòu)的可達(dá)空間的形狀往往是不規(guī)則甚至不連續(xù)的，優(yōu)化該空間體積并不意味著可以有效提升機(jī)構(gòu)的實(shí)際工作空間；機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能一般與機(jī)構(gòu)尺寸和構(gòu)件慣量同時(shí)有關(guān)[12]，而構(gòu)件慣量與機(jī)構(gòu)尺度密切聯(lián)系，因而，在優(yōu)化時(shí)需要綜合考慮機(jī)構(gòu)尺度對(duì)動(dòng)力學(xué)性能的影響。機(jī)構(gòu)的性能指標(biāo)是優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)，是并聯(lián)機(jī)構(gòu)尺度綜合的前提，得到適宜的指標(biāo)十分重要。本文作者針對(duì)一種新型1T2R無伴隨運(yùn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，首先對(duì)機(jī)構(gòu)的無伴隨運(yùn)動(dòng)學(xué)特性及奇異性問題進(jìn)行分析，然后研究機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能、剛度性能及動(dòng)力學(xué)特性，推導(dǎo)機(jī)構(gòu)的規(guī)則工作空間體積指標(biāo)、全局剛度性能指標(biāo)以及全局動(dòng)態(tài)可操作度指標(biāo)，并以機(jī)構(gòu)尺度參數(shù)為設(shè)計(jì)變量，采用NSGA-II 多目標(biāo)優(yōu)化算法對(duì)該并聯(lián)機(jī)構(gòu)性能進(jìn)行優(yōu)化。

1 機(jī)構(gòu)描述與無伴隨運(yùn)動(dòng)分析

1.1 機(jī)構(gòu)描述

2RPU-RPS-UPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)如圖1 所示。從圖1可見：2RPU-RPS-UPS 無伴隨運(yùn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)由動(dòng)平臺(tái)、靜平臺(tái)以及4條驅(qū)動(dòng)支鏈組成，其中動(dòng)靜平臺(tái)分別為等腰直角三角形A1A2A4及四邊形B1B3B2B4，分支B1A1與分支B2A2為2條對(duì)稱分布的RPU支鏈，分支B3A3為RPS支鏈，分支B4A4為UPS 無約束支鏈，各支鏈移動(dòng)副為驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)。需要注意的是，在結(jié)構(gòu)位置關(guān)系上，支鏈RPS中的R副轉(zhuǎn)動(dòng)軸線與2 條RPU 支鏈的R 副轉(zhuǎn)動(dòng)軸線垂直，且這3條轉(zhuǎn)動(dòng)軸線均在平面B1B3B2B4內(nèi)，另外，2條RPU 支鏈與RPS 支鏈的末端運(yùn)動(dòng)副在動(dòng)平臺(tái)上共線布置，即2 條RPU 支鏈萬向節(jié)的某一轉(zhuǎn)動(dòng)軸線共線且通過RPS支鏈球鉸副中心。

圖1 2RPU-RPS-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.1 Virtual prototype for 2RPU-RPS-UPS parallel mechanism

為便于描述，以B1B2的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O建立靜坐標(biāo)系O-XYZ，其中X軸沿OB4方向，Y軸沿B1B2方向，Z軸沿著靜平臺(tái)的法線方向。以動(dòng)平臺(tái)A1A2中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)P建立P-xyz直角坐標(biāo)系，其中x軸沿PA4方向，y軸沿A1A2方向，z軸即為動(dòng)平臺(tái)的法線方向。需要注意的是，由于A3為A1A2中點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)P與A3點(diǎn)重合。機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)參數(shù)為|OB1|=|OB2|=|OB4|=d，|PA1|=|PA2|=|PA4|=a，|OB3|=d-a，動(dòng)平臺(tái)各頂點(diǎn)坐標(biāo)在靜平臺(tái)坐標(biāo)系O-XYZ中的矢量描述為Ai=(xi yi zi)T(i=1，2，3，4)。

1.2 無伴隨運(yùn)動(dòng)分析

運(yùn)動(dòng)學(xué)是并聯(lián)機(jī)構(gòu)性能分析的基礎(chǔ)，本節(jié)首先對(duì)機(jī)構(gòu)的無伴隨運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行分析，隨后推導(dǎo)了機(jī)構(gòu)輸入與輸出的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系。

根據(jù)螺旋理論可得2RPU-RPS-UPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)各支鏈約束力及約束力偶，如圖2所示。其中RPU支鏈對(duì)動(dòng)平臺(tái)施加的約束螺旋為過支鏈末端點(diǎn)A1，且平行于B1處轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線的約束力以及垂直于萬向節(jié)十字平面的約束力偶，另一條RPU 支鏈與之類似，RPS 支鏈?zhǔn)┘拥募s束螺旋為過A3點(diǎn)且平行于B3處轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線的約束力，UPS 為無約束支鏈，機(jī)構(gòu)的整體約束螺旋系為

圖2 機(jī)構(gòu)約束螺旋系及轉(zhuǎn)軸Fig.2 Constraint system and two rotational axes of mechanism

求解上述約束螺旋系的反螺旋即可得動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)螺旋系：

可以看到，該機(jī)構(gòu)具有1T2R 的自由度性質(zhì)，其中$1代表動(dòng)平臺(tái)具有繞過動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)P且平行于X軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，轉(zhuǎn)軸即為R1，$2為繞動(dòng)坐標(biāo)系P-xyz中的y軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，轉(zhuǎn)軸即為直線A1A2(R2)，$3為沿豎直方向的平動(dòng)自由度。

為研究伴隨運(yùn)動(dòng)特性，需進(jìn)一步對(duì)轉(zhuǎn)軸進(jìn)行分析，如圖2 所示，轉(zhuǎn)軸R1與R2相互垂直且始終相交于轉(zhuǎn)動(dòng)中心A3點(diǎn)，由于B1及B2處轉(zhuǎn)動(dòng)副的限制，A3點(diǎn)只能在OYZ平面運(yùn)動(dòng)，又由于B3處轉(zhuǎn)動(dòng)副的限制，A3點(diǎn)只能在OXZ平面運(yùn)動(dòng)，因此，A3點(diǎn)將始終被限制在Z軸上，即無論動(dòng)平臺(tái)如何轉(zhuǎn)動(dòng)，動(dòng)平臺(tái)上始終存在一點(diǎn)A3不產(chǎn)生伴隨運(yùn)動(dòng)，即2UPR-RPU-UPS機(jī)構(gòu)是一種1T2R無伴隨運(yùn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)。無伴隨運(yùn)動(dòng)意味著機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)耦合度低，有利于機(jī)構(gòu)的標(biāo)定及軌跡控制等[13]。另外，由于機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)數(shù)目大于動(dòng)平臺(tái)自由度數(shù)量，該機(jī)構(gòu)也是一種冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，雖然在運(yùn)動(dòng)控制上冗余驅(qū)動(dòng)支鏈的存在會(huì)提高對(duì)驅(qū)動(dòng)協(xié)調(diào)性的要求，但冗余支鏈同時(shí)也具有改善機(jī)構(gòu)的奇異性、提高機(jī)構(gòu)剛度性能和力傳遞特性等方面的優(yōu)勢(shì)[14-15]。

由于機(jī)構(gòu)存在無伴隨運(yùn)動(dòng)特性，動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)過程可以方便地描述為：先繞R1軸旋轉(zhuǎn)α，再繞旋轉(zhuǎn)后坐標(biāo)系的y軸(即R2軸)旋轉(zhuǎn)β，最后再沿著靜坐標(biāo)系-Z方向移動(dòng)w個(gè)單位，這樣動(dòng)坐標(biāo)系Pxyz相對(duì)靜坐標(biāo)系O-XYZ的轉(zhuǎn)換矩陣為

可以看到，動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)P在O-XYZ坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為[0 0 -w]T，即無論另外2 個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度如何變化，P點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)均為0。根據(jù)閉環(huán)矢量關(guān)系，

計(jì)算各支鏈向量li的模長即可得到2RPU-RPSUPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解，

反之，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正運(yùn)動(dòng)學(xué)即已知各驅(qū)動(dòng)連桿長度反求動(dòng)平臺(tái)的位姿參數(shù)。由于4個(gè)驅(qū)動(dòng)輸入?yún)?shù)li不完全獨(dú)立，這里選取l1，l3及l(fā)4為已知量求解機(jī)構(gòu)正運(yùn)動(dòng)學(xué)。根據(jù)式(5)可得：

可以看到，2RPU-RPS-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有正運(yùn)動(dòng)學(xué)的解析表達(dá)式，這對(duì)機(jī)構(gòu)的實(shí)際應(yīng)用是有重要意義。如在機(jī)構(gòu)的高速運(yùn)動(dòng)控制中，根據(jù)解析表達(dá)式直接求解驅(qū)動(dòng)輸入與動(dòng)平臺(tái)輸出的關(guān)系將大大提高實(shí)時(shí)計(jì)算效率，有利于機(jī)構(gòu)的實(shí)時(shí)控制。同時(shí)，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析結(jié)果也說明無伴隨運(yùn)動(dòng)特性可以降低并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)耦合性，從而使機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系更為簡潔。然而，對(duì)于含有伴隨運(yùn)動(dòng)的1T2R 并聯(lián)機(jī)構(gòu)，例如3-RPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其運(yùn)動(dòng)耦合性較強(qiáng)，正運(yùn)動(dòng)學(xué)往往需要借助較為耗時(shí)的數(shù)值方法來求解[16]，因而會(huì)影響控制計(jì)算中的實(shí)時(shí)性，從而限制機(jī)構(gòu)的控制效果。

2 奇異性分析

奇異性是并聯(lián)機(jī)構(gòu)的重要性能之一，奇異位型下的機(jī)構(gòu)自由度特性將發(fā)生變化，嚴(yán)重影響機(jī)構(gòu)的各項(xiàng)性能。當(dāng)機(jī)構(gòu)發(fā)生奇異時(shí)，數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為速度雅可比矩陣不為滿秩矩陣[17]，物理上表現(xiàn)為機(jī)構(gòu)不可控。

對(duì)式(5)求導(dǎo)整理后得到支鏈輸入速度與動(dòng)平臺(tái)位姿輸出速度的關(guān)系：

式中：A為輸入速度雅克比矩陣；B為輸出速度雅克比矩陣。

其 中：B11=a(dsinα-Pzcosα)；B13=Pz-asinα；B21=a(dsinα+Pzcosα)；B23=Pz+asinα；B41=aPzsinαsinβ；B42=adsinβ-aPzcosαcosβ；B43=Pzacosαsinβ。

由于物理?xiàng)l件限制，驅(qū)動(dòng)桿長度不可能為零，因此，輸入速度雅克比矩陣為滿秩矩陣，機(jī)構(gòu)不存在反解奇異，即det(A) ≠0。輸出雅克比速度矩陣B不為方陣，根據(jù)矩陣?yán)碚摚瑀ank(B) =rank(BT|B)，可以通過判斷det(BT|B)來判矩陣B是否滿秩。經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，當(dāng)Pz=dtanβsecα?xí)r，矩陣行列式為0，機(jī)構(gòu)存在正解奇異，即約束奇異(驅(qū)動(dòng)奇異)，此時(shí)4 條驅(qū)動(dòng)支鏈相交于空間中的一條直線，如圖3所示。

當(dāng)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)到奇異位置時(shí)，直線B4A4方程為

該直線與X=0平面的交點(diǎn)Q坐標(biāo)為

同理，直線A1A3方程為

代入交點(diǎn)Q至直線A1A3方程中，發(fā)現(xiàn)等式成立，這說明支鏈B4A4與平面X=0的交點(diǎn)Q位于直線A1A3上，也就是說發(fā)生奇異時(shí)機(jī)構(gòu)的4 條驅(qū)動(dòng)支鏈相交于同一直線A1A3，即發(fā)生了驅(qū)動(dòng)奇異，機(jī)構(gòu)在物理上表現(xiàn)為動(dòng)平臺(tái)在所有驅(qū)動(dòng)都鎖住的情況仍可以沿著轉(zhuǎn)軸R2旋轉(zhuǎn)，即機(jī)構(gòu)不可控。

因此，在實(shí)際應(yīng)用中，要盡量使機(jī)構(gòu)的作業(yè)空間遠(yuǎn)離該奇異區(qū)域，尤其是在軌跡規(guī)劃中需避免出現(xiàn)Pz=dtanβsecα的情況。然而，盡管該并聯(lián)機(jī)構(gòu)存在奇異，但由于冗余驅(qū)動(dòng)支鏈的存在，機(jī)構(gòu)僅存在這一種奇異類型，明顯少于與之結(jié)構(gòu)構(gòu)型相似的3-RPS和2RPU-UPR等現(xiàn)有1T2R并聯(lián)機(jī)構(gòu)(關(guān)于這2種機(jī)構(gòu)的奇異性分析，可以參考文獻(xiàn)[18-19])。

3 性能分析

3.1 工作空間

可達(dá)工作空間描述的是機(jī)器末端在物理約束下能夠到達(dá)所有位置的集合，是衡量機(jī)構(gòu)工作范圍的重要指標(biāo)，然而，可達(dá)空間的形狀往往是不規(guī)則的，會(huì)對(duì)機(jī)構(gòu)的軌跡規(guī)劃和運(yùn)動(dòng)控制帶來不利影響。為此，本文采用規(guī)則的圓臺(tái)工作空間體積作為機(jī)構(gòu)性能的評(píng)價(jià)指標(biāo)。

影響機(jī)構(gòu)工作空間的主要因素有各驅(qū)動(dòng)桿的長度及行程、各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)副的運(yùn)動(dòng)范圍以及構(gòu)件間的物理干涉，對(duì)于2RPU-RPS-UPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)，給定的物理約束為

其中：lmin和lmax分別為驅(qū)動(dòng)桿長的最小值和最大值；δmin與δmax分別為轉(zhuǎn)動(dòng)副轉(zhuǎn)角的最小和最大限制。li與δi均可通過運(yùn)動(dòng)學(xué)分析得到。

計(jì)算規(guī)則圓臺(tái)工作空間的流程如下：

1)設(shè)定動(dòng)平臺(tái)位姿參數(shù)α，β和Pz的范圍；

2)給定某一高度Pz；

3)在初始范圍內(nèi)給定α和β，計(jì)算驅(qū)動(dòng)桿長li與轉(zhuǎn)動(dòng)副角度δi，判斷是否滿足式(7)，若滿足，則說明該點(diǎn)在工作空間內(nèi)；

4)重復(fù)步驟3)直至遍歷完所有α和β，形成該P(yáng)z高度下的二維轉(zhuǎn)動(dòng)工作平面；

5)在所形成的轉(zhuǎn)動(dòng)工作平面內(nèi)尋找最大內(nèi)切圓，以該內(nèi)切圓為底面，ΔPz為高，構(gòu)造在該P(yáng)z高度下的微圓柱體；

6)計(jì)算Pz+ΔPz，判斷該值是否位于Pz的設(shè)定范圍內(nèi)；若滿足，則重復(fù)步驟2)～5)，若不滿足則計(jì)算結(jié)束。

因此，規(guī)則工作空間體積Vc為

式中：Sj為第j層的最大內(nèi)切圓面積；ΔPz為高度間隔；Vc的單位為rad2·m。

現(xiàn)設(shè)機(jī)構(gòu)的初始設(shè)計(jì)參數(shù)為a=0.16 m，d=0.35 m，支鏈運(yùn)動(dòng)范圍為0.40～0.64 m，轉(zhuǎn)動(dòng)副的轉(zhuǎn)動(dòng)范圍為π/6～5π/6。經(jīng)計(jì)算，機(jī)構(gòu)的可達(dá)工作空間體積及規(guī)則工作空間體積分別為0.213 rad2·m 和0.138 rad2·m，具體分布情況如圖4 所示。從圖4可以看到：機(jī)構(gòu)的可達(dá)工作空間形狀是不規(guī)則的，并且由于運(yùn)動(dòng)約束的存在，在β軸方向的兩端出現(xiàn)2個(gè)圓柱狀空洞，這種現(xiàn)象不利于并聯(lián)機(jī)構(gòu)在工作空間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃。而機(jī)構(gòu)的規(guī)則空間為一系列圓柱體構(gòu)成的圓臺(tái)空間，可以有效避免工作空間內(nèi)空洞的出現(xiàn)。此外，在初始設(shè)計(jì)參數(shù)下，機(jī)構(gòu)奇異面在β趨于負(fù)向極限位置時(shí)與可達(dá)工作空間有交集，而與規(guī)則工作空間尚有一定距離，這說明在規(guī)則工作空間內(nèi)機(jī)構(gòu)性能穩(wěn)定性可以得到保證，在此空間內(nèi)進(jìn)行軌跡規(guī)劃也更為有利。因此，從機(jī)構(gòu)性能優(yōu)化的角度來看，擴(kuò)大規(guī)則工作空間的體積比擴(kuò)大可達(dá)空間更為有意義。

圖4 可達(dá)工作空間、規(guī)則工作空間及奇異面Fig.4 Reachable workspace,regular workspace and singularity surface

3.2 剛度性能

靜剛度反映機(jī)構(gòu)在外力作用下抵抗變形的能力，是影響并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度及工作穩(wěn)定性的重要因素。根據(jù)螺旋理論，當(dāng)機(jī)構(gòu)承受外部負(fù)載Γ時(shí)，在O-XYZ坐標(biāo)系中可建立動(dòng)平臺(tái)受力平衡方程：

其中：

根據(jù)虛功原理，各支鏈內(nèi)力做的功應(yīng)等于外力做的功：

式中：Δm為動(dòng)平臺(tái)在空間內(nèi)的由支鏈變形引起的微小線位移和角位移；σ為各支鏈在約束螺旋方向和 驅(qū) 動(dòng) 力 方 向 上 的 變 形 ， 即σ=[σ11σ12σ13σ21σ22σ23σ31σ32σ41]T。

將式(9)代入式(10)可得：

在彈性變形范圍內(nèi)，根據(jù)胡克定律，有

其中：KS為4條支鏈整合而成的剛度矩陣，即

Ci為考慮了支鏈驅(qū)動(dòng)剛度和約束剛度的柔度矩陣[20]，對(duì)于RPU支鏈，有

式中：E和G分別為彈性模量及剪切模量；S1，Iy1和Ip1分別為截面面積、截面慣性矩及極慣性矩；emc1為萬向節(jié)十字平面的法向方向矢量；ey1=[0 1 0]T；ez1=[0 0 1]T。

聯(lián)立式(9)，(11)和(12)可得

于是，2RPU-RPS-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的整體剛度矩陣為

為分析機(jī)構(gòu)的局部剛度，本文采用YAN 等[21]提出的VW(virtual work)剛度指標(biāo)來衡量機(jī)構(gòu)的剛度性能，該指標(biāo)表征的是單位載荷下所有構(gòu)件變形能總和的倒數(shù)，即從能量角度來衡量機(jī)構(gòu)剛度性能，從而避免上述剛度矩陣元素量綱不統(tǒng)一的問題，該指標(biāo)的表達(dá)式為

式中：W為單位載荷向量；kVM的單位為J-1。可以看到，kVM越大意味著機(jī)構(gòu)在外載作用下的變形能越小，即機(jī)構(gòu)剛度性能越好。

為研究機(jī)構(gòu)在豎直方向的剛度性能，這里將外部載荷設(shè)置為W=[0 0 1N 0 0 0]T。經(jīng)計(jì)算，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的局部剛度性能指標(biāo)(VW 剛度指標(biāo))在Pz=-0.5 m的分布如圖5所示。

圖5 Pz=-0.5 m時(shí)的VW剛度指標(biāo)分布云圖Fig.5 Distribution of VW index on plane of Pz=-0.5 m

從圖5可以看到：當(dāng)機(jī)構(gòu)承受豎向載荷時(shí)，機(jī)構(gòu)在工作空間的中間位置具有較高的剛度，而當(dāng)動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)到邊緣位置時(shí)，機(jī)構(gòu)剛度較小，但整體而言，機(jī)構(gòu)沒有發(fā)生剛度性能的急劇變化，機(jī)構(gòu)的剛度較為穩(wěn)定。另外，該局部性能指標(biāo)與動(dòng)平臺(tái)位姿有密切關(guān)聯(lián)，為衡量機(jī)構(gòu)在規(guī)則工作空間內(nèi)的綜合水平，這里定義了全局剛度指標(biāo)kc，即

式中：dVc為規(guī)則工作空間微元。

3.3 動(dòng)態(tài)性能

動(dòng)態(tài)可操作度橢球能夠直觀地反映在一定驅(qū)動(dòng)條件下，機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)末端沿各個(gè)運(yùn)動(dòng)方向上的加速能力。為描述各方向加速能力的均勻性，這里采用動(dòng)態(tài)可操作度橢球的長短軸之比來評(píng)價(jià)機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)性能。可以看出，當(dāng)該指數(shù)越接近1 時(shí)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)加速能力的各向同性越好。

為簡化推導(dǎo)過程，忽略并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程中的離心力項(xiàng)，科氏力項(xiàng)及重力項(xiàng)后可得

式中：q為系統(tǒng)廣義坐標(biāo)向量， 即q=[α β Pz]T；τ為各驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力向量；N為系統(tǒng)慣性矩陣[22]，N=(Jd)+HTΨH；Jd=(A-1|B)T；H為各運(yùn)動(dòng)構(gòu)件速度雅克比矩陣；Ψ為各運(yùn)動(dòng)構(gòu)件慣量矩陣。

隨后將驅(qū)動(dòng)力向量空間內(nèi)的單位球映射到動(dòng)平臺(tái)任務(wù)空間內(nèi)的加速度橢球，即

也即

根據(jù)式(18)即可繪制出動(dòng)態(tài)可操作度橢球。

由于該無伴隨運(yùn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)擁有平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)態(tài)橢球操作度(DME)指標(biāo)應(yīng)分解為描述轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)加速度性能的2個(gè)橢球指標(biāo)[23]，然而從運(yùn)動(dòng)學(xué)分析可知，該機(jī)構(gòu)只存在沿Z軸方向的純平移，因此評(píng)價(jià)該并聯(lián)機(jī)構(gòu)平動(dòng)加速度能力各向同性是不適用的。對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)加速度能力各向同性指數(shù)κr，可以通過定義來計(jì)算，即

其中：rmax和rmin分別為動(dòng)態(tài)橢圓的最長軸和最短軸。

NTN(i,j)為NTN矩陣的第i行、第j列元素。

在初始參數(shù)下，2RPU-RPS-UPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)在Pz=-0.5 m 時(shí)的動(dòng)態(tài)操作性能指標(biāo)分布如圖6 所示。從圖6可以看到：該指標(biāo)關(guān)于α=0°對(duì)稱分布，κr在1.02～1.82 范圍內(nèi)，這說明機(jī)構(gòu)繞軸R1旋轉(zhuǎn)時(shí)的加速能力要強(qiáng)于繞軸R2旋轉(zhuǎn)的能力，在β趨于負(fù)向邊緣位置時(shí)，兩方向上的加速能力差別較大，機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)性能下降，為保證機(jī)構(gòu)加速能力的各向同性，有必要優(yōu)化機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)，使得該指標(biāo)盡可能接近于1。

圖6 Pz=-0.5 m時(shí)的動(dòng)態(tài)可操作度分布云圖Fig.6 Distribution of dynamic performance at Pz=-0.5 m

同理，該指標(biāo)與動(dòng)平臺(tái)位姿有密切關(guān)聯(lián)，為衡量機(jī)構(gòu)在規(guī)則工作空間內(nèi)的綜合動(dòng)態(tài)性能，這里定義全局動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)κc用于優(yōu)化，即

4 機(jī)構(gòu)性能的多目標(biāo)優(yōu)化

4.1 優(yōu)化模型

優(yōu)化模型由目標(biāo)函數(shù)、設(shè)計(jì)變量及約束條件組成。該機(jī)構(gòu)的性能優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)有3個(gè)，即規(guī)則工作空間體積Vc、全局剛度性能kc以及全局動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)κc。設(shè)計(jì)變量為動(dòng)靜平臺(tái)尺寸a，d及驅(qū)動(dòng)桿的最短設(shè)計(jì)長度lsmin。需要指出的是，當(dāng)lsmin確定時(shí)，在假定驅(qū)動(dòng)器的驅(qū)動(dòng)行程為0.6lsmin的情形下，驅(qū)動(dòng)桿長的最小值lmin和最大值lmax將被確定，即lmin=lsmin，lmax=1.6lsmin。

基于前面分析可知，規(guī)則工作空間體積Vc與動(dòng)靜平臺(tái)尺寸a，d及驅(qū)動(dòng)桿長li密切相關(guān)；在材料及橫截面等屬性一定的條件下，機(jī)構(gòu)剛度同樣取決于動(dòng)靜平臺(tái)尺寸a，d及驅(qū)動(dòng)桿長li。而對(duì)于全局動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)κc，從推導(dǎo)過程來看，該指標(biāo)不僅與以上3個(gè)幾何參數(shù)有關(guān)，而且與運(yùn)動(dòng)構(gòu)件的質(zhì)量及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)，為簡化設(shè)計(jì)變量數(shù)目，本文建立機(jī)構(gòu)尺寸參數(shù)與構(gòu)件質(zhì)量及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的關(guān)系，如圖7所示(以動(dòng)平臺(tái)為例)。

圖7 動(dòng)平臺(tái)結(jié)構(gòu)圖Fig.7 Structural scheme of moving platform

當(dāng)材料屬性一定時(shí)，動(dòng)平臺(tái)質(zhì)量為

式中：ρ為材料密度；h為動(dòng)平臺(tái)厚度。

將動(dòng)平臺(tái)視為薄板，則該結(jié)構(gòu)相對(duì)A3點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

同理，對(duì)其他運(yùn)動(dòng)構(gòu)件進(jìn)行設(shè)計(jì)分析可得到質(zhì)量及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)的函數(shù)關(guān)系，即Ψ(a d lsmin)。這樣，基于性能優(yōu)化的2RPURPS-UPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型可以寫為

4.2 優(yōu)化結(jié)果與分析

本文采用DEB 等[24]提出的帶精英策略的非支配排序遺傳算法(elitist non-dominated sorting genetic algorithm，NSGA-II)來求解該多目標(biāo)優(yōu)化問題，該算法具有運(yùn)行速度快，解集的收斂性好的優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于多目標(biāo)優(yōu)化問題中。

機(jī)構(gòu)的相關(guān)參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 相關(guān)參數(shù)取值范圍Table 1 Range of parameters

設(shè)置初始種群數(shù)量為100，遺傳代數(shù)為500代，優(yōu)化后所得Pareto非劣解集前沿面如圖8所示。從圖8(b)可知：隨著Vc增大，kc有逐漸減小的趨勢(shì)，也就是說，全局剛度性能與規(guī)則工作空間體積之間存在競爭的趨勢(shì)。同理，從圖8(c)可知：規(guī)則工作空間體積與全局動(dòng)態(tài)操作度指標(biāo)有近似線性變化的關(guān)系，隨著規(guī)則空間體積增大，機(jī)構(gòu)的全局動(dòng)態(tài)操作度越來越差，這說明兩者存在競爭；而另一方面，全局動(dòng)態(tài)操作度指標(biāo)與全局剛度性能指標(biāo)之間的關(guān)系較為復(fù)雜，沒有明顯的競爭或者相互改善的關(guān)系，如圖8(d)所示。

圖8 Pareto前沿面Fig.8 Pareto-optimal frontier sets

由于Pareto 前沿面上的解是無法比較優(yōu)劣的，因此，在工程應(yīng)用中設(shè)計(jì)者通常依據(jù)對(duì)機(jī)構(gòu)性能的偏愛、工程經(jīng)驗(yàn)或者其他約束條件進(jìn)行選擇，主觀性較強(qiáng)。為此，這里采用理想點(diǎn)法[25]選取一組綜合性能較好的解，其基本思路是：在Pareto前沿面尋找所有目標(biāo)函數(shù)分別達(dá)到各自最佳狀態(tài)的最優(yōu)值，將該最優(yōu)值構(gòu)造為虛擬理想點(diǎn)，分別計(jì)算各Pareto前沿點(diǎn)與虛擬理想點(diǎn)的距離，將其中距離最短的Pareto前沿點(diǎn)視為最接近理想狀態(tài)的設(shè)計(jì)點(diǎn)，即綜合性能最優(yōu)。其計(jì)算流程為：

1)利用標(biāo)準(zhǔn)化的方法消除目標(biāo)之間不同量綱和數(shù)量級(jí)的影響。

式中：di)為第i個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化后的Pareto 前沿點(diǎn)與虛擬理想點(diǎn)間的距離，di最小的點(diǎn)即為綜合性能最優(yōu)的點(diǎn)。現(xiàn)將100個(gè)Pareto前沿點(diǎn)與虛擬理想點(diǎn)的距離按從小到大的順序進(jìn)行排列，結(jié)果顯示位于前列的若干組解存在設(shè)計(jì)參數(shù)較為相近的情況，為保證設(shè)計(jì)參數(shù)的多樣性，這里在動(dòng)平臺(tái)設(shè)計(jì)參數(shù)范圍內(nèi)，按di從小到大的順序選取8組設(shè)計(jì)參數(shù)及其相應(yīng)的性能進(jìn)行展示，如表2所示。

從表2可以看出：第一組設(shè)計(jì)參數(shù)(a=0.129 m，d=0.314 m 及l(fā)smin=0.430 m)即為綜合性能最優(yōu)的Pareto解，對(duì)應(yīng)機(jī)構(gòu)的規(guī)則空間體積為0.183 rad2·m，全局剛度性能指標(biāo)為1.688×108J-1，全局動(dòng)態(tài)操作度指標(biāo)為1.155，比優(yōu)化前分別提高了32.6%，6.70%和7.45%，此設(shè)計(jì)參數(shù)下的規(guī)則工作空間體積得到明顯增大，剛度性能及動(dòng)態(tài)性能略有改善。另外，不存在一組設(shè)計(jì)參數(shù)所對(duì)應(yīng)的3種性能指標(biāo)同時(shí)比其他任意一組的優(yōu)；如第一組的規(guī)則工作空間體積比第二組的優(yōu)，但剛度性能和動(dòng)態(tài)性能卻比第二組的差；第三組的規(guī)則工作空間體積比第一組的優(yōu)，但剛度性能和動(dòng)態(tài)性能卻比第一組的差，也即3 種性能目標(biāo)函數(shù)無法同時(shí)取得最優(yōu)值。此外，少部分Pareto解與優(yōu)化前的性能相比不分優(yōu)劣，存在非支配的關(guān)系，例如表1中的第8組Pareto解，其規(guī)則工作空間體積比優(yōu)化前的小，這種現(xiàn)象是正常的，根據(jù)NSGA-II 算法原理，在快速非支配排序過程中，優(yōu)化前參數(shù)雖與少部分Pareto 解不分優(yōu)劣，但劣于大部分的Pareto 解，因而在排序時(shí)被分在等級(jí)較低的非支配集中，在進(jìn)化迭代過程中由于優(yōu)越性不夠而遭到淘汰，而第8組解的剛度性能比大部分Pareto解的優(yōu)，因而不會(huì)被分在等級(jí)較高的非支配集中淘汰。

表2 部分Pareto最優(yōu)解集及目標(biāo)函數(shù)值Table 2 Pareto optimal solutions and objective values

圖9(a)和9(b)所示分別為優(yōu)化前后2RPU-RPSUPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)在Pz=-0.5 m 時(shí)的剛度性能分布云圖。從圖9(a)和9(b)可以看到：優(yōu)化后的剛度在工作空間內(nèi)有所提升，但幅度較小。為此，若期望在剛度性能方面有明顯提高，可以選擇表1中的其他Pareto 解。例如當(dāng)設(shè)計(jì)參數(shù)a=0.155 m，d=0.300 m 及l(fā)smin=0.448 m 時(shí)(如圖9(c)及9(d)所示)，其剛度性能指標(biāo)在1.28×108～2.41×108J-1范圍內(nèi)，且大部分區(qū)域在1.5×108J-1以上，剛度性能優(yōu)化效果顯著。

圖9 優(yōu)化前后的剛度性能分布云圖Fig.9 Distribution of stiffness performance after optimization

5 結(jié)論

1) 基于螺旋理論對(duì)2RPU-RPS-UPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的無伴隨運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行了證明，推導(dǎo)了機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)；并基于雅可比矩陣分析了機(jī)構(gòu)發(fā)生奇異的數(shù)學(xué)條件。該機(jī)構(gòu)具有正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解析表達(dá)式，且奇異位型較一般1T2R并聯(lián)機(jī)構(gòu)少，具備良好的應(yīng)用潛力。

2)對(duì)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能，剛度性能與動(dòng)態(tài)性能進(jìn)行了詳細(xì)分析，指出規(guī)則工作空間可以避免可達(dá)工作空間中的空洞現(xiàn)象；機(jī)構(gòu)在初始位置的剛度性能較好，整體剛度性能較為穩(wěn)定；考慮了機(jī)構(gòu)尺度以及構(gòu)件慣量對(duì)機(jī)構(gòu)加速能力各向同性的綜合影響。

3)優(yōu)化后的機(jī)構(gòu)性能得到了改善。研究結(jié)果兼顧了機(jī)構(gòu)多方面性能，為機(jī)構(gòu)的實(shí)際應(yīng)用奠定了理論基礎(chǔ)。