探究圓柱體表面積的變化問題，培養空間觀念

中國農業大學附屬小學 趙欣然 岳志剛

空間與人類的生存、生活密切相關，因此培養學生的空間觀念是數學教學中的重要組成部分。空間的概念是抽象的，空間想象的建立分布在幾何內容的學習中，而且空間觀念的培養是一個長期的形成過程，所以在日常的幾何教學中需要教師設計有意思、易操作、具體的實踐活動，長期堅持、螺旋式上升培養學生的空間觀念。在本文中，筆者通過設計切、拼、挖的操作活動，和學生一起探究圓柱體表面積的變化問題，同時提出使用動手操作、畫圖分析、觀察想象的策略培養學生空間觀念的觀點。

一、在動手操作中，積累空間經驗

動手操作是讓思維外顯的過程，能讓抽象的數學知識直觀化、具體化、簡單化，打通感性與理性思維的通道。通過動手操作活動，可以調動手、眼、口、腦等多感官的協同參與，幫助學生積累空間經驗，從而培養學生的空間觀念。在探究圓柱體表面積變化問題的活動中，教師以生活中近似圓柱體的白蘿卜為載體，設計了切、拼、挖的系列操作活動，和學生一起動手操作，展開探究，歸納規律，積累空間經驗。

（一）切——“一刀生兩面”

教師在課堂上設計了讓每個學生都參與的切圓柱體形狀蘿卜的實踐活動并要求做好記錄。學生高興地體驗橫切、縱切蘿卜的各種情況，親眼看到、親手摸到不同的截面，在頭腦中積累具體事物的形象，深度思考切圓柱體產生不同截面的原因，從而形成自己的空間觀念。這樣的體驗活動是學生樂于主動參與的，這樣直觀的幾何探究是兒童所能接受和內化的。具體經驗歸納如下。

（1）橫切：平行于上、下兩個底面攔腰切。因為是平行于底面來切，所以會多出兩個與底面相同的圓形截面，并且每切一刀都會增加兩個完全一樣的圓形截面，如圖1所示。

圖1 橫切

（2）縱切：沿直徑，垂直于底面縱切。因為是沿直徑垂直來切，所以切完之后會多出兩個長方形的截面，并且長方形的長是圓柱體的高，長方形的寬是圓柱體底面圓的直徑，如圖2所示。

圖2 縱切

另外，沿著底面圓的任意一條弦，垂直于底面縱切，都會增加兩個一樣大的長方形截面，并且長方形的長就是圓柱體的高，長方形的寬就是圓柱體底面圓的弦。只是，離底面圓心越遠長方形截面就越小。

（二）拼——“一接消兩面”

課前教師布置任務讓學生尋找生活中的圓柱體，有茶葉筒、餅干筒、水杯、卷紙等。課堂上，學生嘗試把兩個完全相同或大小不同的多個圓柱體進行拼接。在拼接和打開的操作中，觀察表面積的變化情況，積累活動經驗，建立空間觀念。具體經驗歸納如下。

（1）兩個完全一樣的圓柱體拼在一起。因為拼接后有兩個底面重合了，所以新圖形的表面積會比原來兩個圓柱體的表面積之和減少兩個底面，如圖3所示。

圖3 兩個相同圓柱體拼一起

（2）兩個不同的圓柱體拼在一起。減少了兩個小圓柱體的底面，一個是小圓柱體本身的下底面，另一個是覆蓋在大圓柱體上的小圓柱體的底面，如圖4所示。

圖4 兩個不同圓柱體拼一起

綜上所述，通過動手切蘿卜的活動，學生積累了“一切生兩面”的空間經驗，發現：①把圓柱體切一刀，可以橫切，也可以縱切。其中，平行于底面的橫切一刀，會增加兩個和底面一樣的圓形截面。沿底面圓的直徑縱切一刀，會增加兩個長方形的截面，其中長方形的長就是圓柱體的高、長方形的寬就是圓柱體底面圓的直徑。另外，我們可以沿底面圓的弦縱切，離底面圓心越遠長方形截面越小。②把圓柱體切開，無論是橫切還是縱切，表面積都會增加。而且每切一刀，就會增加2個完全一樣的面。每切n刀，就會增加2n個完全一樣的面。通過動手拼接生活中圓柱體的活動，學生積累了“一接消兩面”的空間經驗，發現：把幾個圓柱體底對底地拼起來，表面積會比原來表面積之和減少，并且每拼一次表面積就會減少2個完全一樣的圓形底面。可以嘗試把2個完全一樣的圓柱體、3個完全一樣的圓柱體……n個完全一樣的圓柱體拼接到一起，會減少（n－1）×2個圓形底面。

二、在畫圖分析中，提升空間想象能力

畫圖分析的方法可以幫助學生描述動手操作的過程和結果，直觀地幫助學生突破空間想象的難點，找到現象背后的本質，是培養學生空間觀念的有效手段。

在探究圓柱體表面積變化問題中，畫圖分析的策略貫穿整節課的學習，起到了很重要的作用。在動手操作活動的基礎上，學生能結合活動經驗和認知情況在頭腦里形成表象，并能直觀地畫出透視圖，把復雜的數學問題變得簡明、形象，幫助學生直觀地理解數學問題，提升空間想象能力，發展空間觀念。

課堂上，教師有意識地指導學生使用畫圖分析的方法，借助直觀圖、透視圖來理解抽象的數學知識。特別地，在解決斜切之后截面是什么形狀的問題中，畫圖分析能幫助學生找到了現象背后的原因，糾正了開始錯誤的判斷，提升了空間想象能力。畫圖發現，斜著切其實有三種典型的切法，包括從側面切到另一端的側面、從底面切到側面、從上底面切到下底面，具體歸納如下。

（1）側面→側面的斜切：從圓柱體側面上的一點切到另一側的某個點，截面是橢圓形。因為圓柱體的側面是一個曲面，開始切時，只觸碰到圓柱體側面的一點，后因離中心軸越來越近，切到的面積會越來越大，后又因離開中心軸，面積開始變小，直到從另一點離開圓柱體，所以形成的截面是橢圓形的，如圖5所示。

圖5 側面→側面的斜切

（2）底面→側面的斜切：從圓柱體底面起刀，切向側面收刀，截面是馬蹄形。因為起刀位置在平面，收刀位置在曲面，所以切出來的截面頭部是平的，后來是有弧度的曲面圖形，整體來看是像馬蹄一樣的形狀，也可以理解成是橢圓的一部分，如圖6所示。

圖6 底面→側面的斜切

（3）底面→底面的斜切：從圓柱體上底中心點偏左或偏右的地方選取一條弦，切到下底中心點偏右或偏左的那條弦，截面是鼓形。因為起刀位置是平面，而且選取的弦比底面圓的直徑短，切的過程中會經過一條直徑，收刀的位置是底面圓另一端的弦，所以截面是鼓形，也是橢圓的一部分，如圖7所示。

圖7 底面→底面的斜切

在解決斜切之后圓柱體表面積的變化問題時，學生比較容易想象出側面→側面的斜切截面是橢圓形，也能判斷出底面→側面的斜切截面是馬蹄形。但是多數學生錯誤地認為上底面→下底面的斜切截面是長方形，可能是把縱切和此類斜切搞混淆了。但是通過畫圖分析切的過程（見圖7），我們可以清晰地看到起刀弦的長度和收刀弦的長度都比經過的直徑短，所以判斷截面肯定不是長方形而是鼓形。另外，在描述斜切中馬蹄形和鼓形的畫圖中，我們可以判斷出這樣的截面都是橢圓形狀的一部分。在這兩處分析中，學生很難直接準確判斷或想象，但是通過畫出斜切之后的透視圖，學生就能清晰地分析出斜切之后的變化情況，其中畫圖分析的策略能有效幫助學生提升空間想象能力，發展空間觀念。

三、在觀察想象中，挖掘創新意識

想象就是把研究對象在頭腦中進行操作，通過分析位置、度量等關系產生相應的思考。通過觀察立體圖形，想象著對其進行一些操作，判斷出操作結果的情況，是培養學生空間觀念的高階目標。觀察想象，是更加抽象的思維，能幫助學生從動手操作實物向動腦操作表象過渡。在日常教學中，教師有意識地鼓勵學生常觀察會想象，有助于實現空間觀念的建立。在本節課的教學中，教師多次使用觀察想象的策略，挖掘學生的創新意識。具體舉例如下。

（一）斜切——“切完拓下來”

學生比較容易想象出橫切和縱切的截面情況，但很難想象出斜切之后會呈現出什么樣的截面。于是，大家想到最直接的解決辦法就是切一刀，切完就能看出截面的具體形態。邊切邊想象，學生歸納出三種典型的斜切截面，并提議把斜切截面拓下來（見圖8），這樣看到的更清晰。學生邊觀察想象，邊嘗試操作，在體驗中有創新，把空間觀念發展到高點。

圖8 斜切——“切完拓下來”

（二）挖——“挖完仔細算”

從圓柱體上底挖穿至下底，挖走一個圓柱體，原來圓柱體的表面積又會發生哪些變化呢？在解決問題的過程中，我們發現動手挖穿取下一個圓柱體是很難的操作，于是就需要觀察想象的策略發揮作用。學生在頭腦中建立一個大圓柱體的概念，然后在頭腦中對圓柱體進行挖穿的操作（見圖9），可以想象出原來圓柱體的表面積減少了兩個小圓柱體的底面積，又增加了新露出的小圓柱體的側面積。新圖形的表面積和原來圓柱體的表面積相比，表面積是增加了還是減少了，需要結合具體形狀和數據來仔細推算。

圖9 挖——“挖完仔細算”

綜上所述，通過探究圓柱體表面積的變化問題，我們發現動手操作、畫圖分析、觀察想象是學生積累基本活動經驗、發展空間觀念的有效方式。三者之間相輔相成，其中動手操作是培養空間觀念最直接的方式。畫圖分析可以幫助學生描述動手操作的過程和結果。觀察想象是把動手操作實物引向動腦操作表象的過程。教師在圖形與幾何領域的教學中，恰當使用如上策略，可以幫助學生建立空間觀念，發展數學思維。