基于剛度矩陣法的并聯機構靜剛度特性分析＊

朱春霞 孫家寧 趙 元

（①沈陽建筑大學機械工程學院，遼寧 沈陽 110168；②沈陽工學院機械工程與自動化學院，遼寧 撫順 113122）

因并聯機構具有大承載、小慣性和運動平穩等特點[1-2]，一直應用于工業生產中并且在新的領域中不斷開拓[3-4]。而并聯機構上述特點中對其本身應用更為關鍵的因素是剛度，剛度是機構負載后運動精度與穩定性的重要因素[5]。由于并聯機構的剛度隨輸出位置的改變而變化，使得機器人設計中涉及的剛度須建立機構輸出位置與剛度的聯系。因此，剛度特性分析是為設計高剛度的并聯機器人而進行參數優化的重要步驟。

目前對于并聯機構的剛度研究許多學者從不同的方面進行切入。熊萬濤等[6]對閉式C形并聯機床機身進行靜剛度分析，求得力雅可比矩陣,最后利用有限元對靜剛度進行分析，得到動平臺越靠近靜坐標系原點，機架的靜力學性能越好的結論；梅瑛等[7]對(3-RPR+R)＆UPS并聯機構分析，得出約束力下機構螺旋、整體的剛度矩陣，以此得出該機構的剛度模型。陳超等[8]利用3-RPS并聯機構，從單元柔度矩陣角度出發，結合小變形疊加等原理建立機構的靜剛度模型。樊大寶[9]依托3-UPRP并聯機床進行分析，依據等效剛度法求出剛度矩陣，而對整機剛度矩陣的求解采用等效剛度的原理。Wan X J等[10]針對冗余并聯機構，基于動能法、虛功原理和微擾法，求出質量矩陣和剛度矩陣，并以此來衡量冗余并聯機構的解耦程度。

通過上述分析，發現目前對并聯機構靜力學的分析主要是理論與軟件仿真方面，缺乏對機械結構設計方面的理論指導。這就啟發本文通過3-TPT并聯機構，對其進行靜力學進行分析，以機構在受力平衡時，機構動力與負載的聯系為切入。之后，使用并聯機構剛度矩陣法來求解機構剛度矩陣。并對支鏈軸向剛度進行了求解。最后以并聯機構運動軌跡上的3個點來最終求解，從而得出機構整體剛度，以給予并聯機構設計的理論支撐。

1 靜力學分析與剛度矩陣求解

3-TPT并聯機構的構成為動平臺和靜平臺。動平臺包括3條支鏈，而支鏈又包含驅動及虎克鉸。此處只考慮標準條件下的3平移自由度3-TPT并聯機構[11]，如圖1所示。

圖1 機構簡圖

對該機構進行靜力學分析首先要確定的是驅動與載荷在受力平衡時的聯系，以此求解出并聯機構的雅可比矩陣進而求出其剛度矩陣，該過程是并聯機構結構設計的前提。

1.1 并聯機構雅可比矩陣求解原理

并聯機構驅動力與外載荷之間通過一個矩陣J0相聯系，該矩陣為力學雅可比矩陣。而本文求解該矩陣的公式采用的是虛功原理。

1.2 靜力學逆雅可比矩陣求解

依照虛功原理, 當3-TPT并聯機構處于平衡的狀態時，其所有外力所做的功經過虛位移為零。同時，由于并聯機構本身機構的限制，其動平臺只能做平移運動，所以作功也只能在其支鏈軸向上，由此即可得出并聯機構靜力學雅可比矩陣。由

式中： δx、 δy、 δz是外負載下的虛位移； δ1、 δ2、 δ3是支鏈在外負載下的虛位移。

經推導可得驅動與外負載的關系可表示為

求其逆解則需要

故其逆矩陣得

其中：c=a-b，之后因其力學雅可比矩陣為速度雅可比矩陣的轉置可得J0=JT，故J0-1=J-T，基于此公式可繼續求解支鏈剛度。

1.3 并聯機構剛度矩陣的原理

Gossilin C[12]提出并建立并聯機構的剛度矩陣，其將機構所受負載與其微小形變聯系在一起，故被叫做并聯機構的剛度矩陣。

該矩陣是依據主動部分的彈性模型來推理的。其表達式為 ΔFl=KlΔl，其中 ΔFl為給予支鏈的關節力，Kl為剛度矩陣， Δl為關節變量l的改變量。之后推得

式中： ΔF為并聯機構末端所受的外負載； ΔX為末端受力產生的形變。

于是，可以得出J-TKlJ-1即為并聯機構的剛度矩陣，表達為：K=J-TKlJ-1，Kl為支鏈剛度矩陣，結構形式為

式中：kii為i桿沿支鏈軸向的剛度。

1.4 并聯機構剛度模型建立

基于輸出位置的位姿不同，使得外力作用下機構每個部分發生位移形變不同，如何分析該變化是分析整個機構剛度特性的目的。同時考慮到許多影響并聯機構剛度的變化原因，所以本文所做的討論分析均假設在理想的內外部條件下：（1）不計靜平臺受外負載時產生的形變。（2）不計各組成部件的重力等次要影響。（3）不計溫度、壓強等各種外界環境因素。

通過上述分析可得逆雅可比矩陣為

以此可得機構靜剛度矩陣為

式中：Ki1、Ki2、Ki3為剛度矩陣K中的元素，對機構中其余參數已知時，整機的剛度度矩陣K便可得出。

2 機構支鏈與整機的剛度求解

2.1 支鏈剛度求解

并聯機構的支鏈剛度求解是機構剛度矩陣求解的重要組成部分。由于支鏈的結構組成包括主動部分、被動部分和桿件，具體結構如下圖2所示，使得對支鏈剛度的求解，變成對上述3部分的求解。同時由于支鏈的結構分布，使得其軸向剛度是主要的剛度因素。

圖2 支鏈結構圖

（1）主動部分軸向剛度數學模型分析。在支鏈的構成中，驅動力由主動部分提供，以滾珠絲杠為主要驅動形式。采用絲杠驅動是因其具有優秀的剛度特性，而且可通過事前加壓使滾珠產生斥力，使得整體的剛度變大。

從結構組成上來說，以絲杠、滾珠螺母，支承軸承以及螺母和軸承支架的剛度（分別表示為KS、KN、KB、KH）組成支鏈的軸向剛度。以K2表示主動部分的軸向剛度，上述單位均為N/μm，則K2計算如下。①絲杠的安裝情況決定其軸向剛度，考慮到支

鏈的結構，該處的絲杠為一端固定安裝。絲杠的剛度Ks可按如下式計算。

式中：A為 絲杠的螺紋小徑的面積為 2.826×10-4mm2；E為碳鋼的彈性模量值為 2 06GPa ；La為載荷作用點到支承的長度，設為300 mm。將上述各數值代入式（10）中得：KS=485130N/mm。

②對螺母剛度的分析，因其內外結構不一，所以理論上將它作為一個內部受壓的厚壁圓筒來處理，并且對所涉及的絲桿和螺母要求具有相同的彈性模量、泊松比。則根據國標對于滾珠螺母軸向靜剛度的公式得

其中：滾珠的有效圈數為i，該處取為5；絲杠的導程為p，取為5 mm；接觸角為 α,取為15°；螺母上接觸點處的直徑為Dc，取為40 mm；螺母的外徑為D1，取為50 mm。最終代入得：KN=418181.20N/mm。

因為軸承為標準件，使用時按照設計要求選用，其剛度性能均已知，故不作分析。同時，螺母支架及軸承支架對結構本身影響較小，故忽略不計。因此，該并聯機構主動部分剛度：K2=224587.32N/mm。

（2）被動部分軸向剛度數學模型分析。該部分的主要剛度是虎克鉸的剛度，其包括軸承座、軸承和轉軸三者的剛度。軸承座所在位置，使其受擠壓而發生微小形變，所以在一般計算時，可不計軸承座變形的產生的影響。同時軸承也為標準軸承，其本身對被動部分的剛度同樣不計。所以總的來說故轉軸的變形是導致支鏈軸向剛度變化的主要原因。

因為3-TPT并聯機構各部件的分布，使得每個支鏈都可視作圓柱狀的二力桿，同時因虎克鉸結構的影響，使其僅傳遞扭矩，這也就導致虎克鉸的轉軸在受到外負載時會產生彎曲變形。為便于分析，假設在轉軸所加負載為集中力，使得其每個作用點都為中心位置。故通過上面的分析，可以得出支鏈軸向所受力產生的形變可采用二力桿最大撓度公式得

其 中 ： ωa、 ωb分 別 為 虎 克 鉸1、 5的 形 變 ， ω1、 ω2、ω3、 ω4分別為虎克鉸 1、 5轉軸的撓度變量，l1、l2、l3、l4為軸長度，I1、I2、I3、I4為軸的慣量矩，其中軸看作是圓柱體，分別利用求得兩個虎克鉸的軸向剛度K1、K5分別為

（3）桿件部分軸向剛度數學模型分析。支鏈上的桿件分為連接主動部分與動平臺虎克鉸和靜平臺兩種桿件。因桿3起支撐作用，故為實心圓柱，而桿4內部由于滾珠絲杠的存在，使得其結構為中空圓管狀。

對該支鏈進行受力分析可知，其受軸向力，因此，這也就導致其產生的形變是由受力產生壓縮導致的。而對此剛度的計算，可參考直桿軸向拉壓變形所產生的剛度公式來計算：

其中：桿3的直徑為d3，桿3的長度l3。同理桿4的剛度為K4=965075.22N/mm。

所以經過上面的分析計算可得支鏈主動部分、被動部分和桿件軸向剛度為:

通過對所求得的各個部分的剛度數值進行分析，發現對各支鏈的剛度影響最大的是主動部分的剛度，虎克鉸剛度對被動部分剛度的影響較小，同時也可以看出靜平臺虎克鉸剛度在整體剛度中占比適中和桿件部分雖剛度較大，但其在整條支鏈剛度中占比較小。

綜上所述，該并聯機構支鏈剛度矩陣為

該矩陣主對角線所對應的3個元素為3條桿件的直線剛度，同時由于在進行并聯機構設計時，會將支鏈長度設置為要求的最小值，以保證在機構在受外力導致支鏈長度發生變化，引起剛度變化時，能滿足各個運動狀態的剛度需求。基于此可對支鏈受力形變時所產生的變化進行分析并進一步分析完整機構的受力形變。

2.2 并聯機構整體剛度求解

由于分析并聯機構整體剛度的復雜性，使得僅能通過其逆雅可比矩陣來進行分析，但該矩陣不是固定的，是隨機構的運動軌跡而發生變化。所以，為得到并聯機構的整體剛度矩陣，須將運動軌跡中的某具體點來代入計算，基于此來計算該點的剛度矩陣。

由于機構在Z方向的運動范圍為（608.28，1 081.67），以該范圍選定Z軸兩個軌跡極限運動點A(400, 180, 108.67)、G(0, 0, 608.28)，為防止出現特殊性，再任選軌跡內一點M(20, 90, 800)，基于此3點來求解機構整體剛度矩陣。點A的逆雅可比矩陣為

以此得到輸出端運動到A點時的剛度矩陣為

同理，點G的逆雅可比矩陣與剛度矩陣分別為

同理，點M的逆雅可比矩陣與剛度矩陣分別為

通過對上述位置點的求解分析可以得出如下結論：

（1）當機構輸出端運動到不同位置時，其各個位置對應逆雅可比矩陣和剛度矩陣均有所變化，所以想利用矩陣的數值來分析機構剛度矩陣的變化規律比較難。

（2）當機構受負載，導致輸出端位置產生變化，不能單純的依靠機構的剛度矩陣，還需要將末端外力向量，代入形變公式，求解出輸出的形變。

（3）對機構的運行軌跡在Z軸上時，通過對3點的分析可以發現，機構剛度矩陣的主對角線元素明顯大于其他元素。

（4）以3點做對比得出，當工作點在Z軸極限位置由小到大時，主對角線上的最后一個元素也是由小到大。

3 結語

并聯機構的發展受制于各種因素，而沒有蓬勃發展，而本文從剛度入手，利用剛度矩陣法，對3-TPT并聯機構進行分析，以此來探索并聯機構的發展途徑。首先通過雅可比矩陣，得到外力與驅動力的關系，然后建立剛度模型，分別對并聯機構的支鏈和整體進行了剛度的求解分析，并通過上述分析，得到以下結論：

（1）通過對支鏈軸向剛度與其剛度矩陣分析求解，發現對各支鏈的剛度影響最大的是主動部分的剛度，虎克鉸剛度對被動部分剛度的影響較小，同時也可以看出靜平臺虎克鉸剛度在整體剛度中占比適中和桿件部分雖剛度較大，但其在整條支鏈剛度中占比較小。

（2）同時由于在進行并聯機構設計時，會將支鏈長度設置為要求的最小值，以保證在機構在受外力導致支鏈長度發生變化，使得剛度變化時，能滿足各個運動狀態的剛度需求。

（3）對該并聯機構工作空間上的3個點進行實際求解，發現當末端所受外力確定時，末端的受力變形隨著x、y、z坐標的增大而減小。但對受力點坐標與剛度的關系并不能清晰的表示出來。