二次求導(dǎo)在解題中的妙用

許國慶

(黑龍江省大慶市第二十三中學(xué))

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用是高中數(shù)學(xué)的一個重要的主干內(nèi)容,也是歷年高考中的必考基本知識.利用導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用解決一些相關(guān)的函數(shù)問題,當(dāng)一次導(dǎo)函數(shù)無法直接(或很難)判斷正負(fù)取值情況時,可以通過構(gòu)建新函數(shù),利用二次導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)取值情況分析與解決,這是解題常用的方法.本文結(jié)合實例加以剖析,以期指導(dǎo)復(fù)習(xí)備考.

1 利用二次求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性

例1已知函數(shù),試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

分析根據(jù)題目條件,先確定函數(shù)f(x)的定義域,通過對函數(shù)f(x)求導(dǎo),從導(dǎo)函數(shù)的分式結(jié)構(gòu)出發(fā)進(jìn)一步構(gòu)建函數(shù),通過二次求導(dǎo)來確定一次導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與最值,從而得以確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

解由于函數(shù)f(x)的定義域為x∈(0,1)∪(1,＋∞),求導(dǎo)得,令函數(shù)u(x)＝,所以u(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,＋∞)上單調(diào)遞減,故當(dāng)x∈(0,1)∪(1,＋∞)時,u(x)＜u(1)＝0,即f′(x)＜0,因此函數(shù)f(x)在(0,1)和(1,＋∞)上單調(diào)遞減.

在利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性時,特別是導(dǎo)函數(shù)中的部分關(guān)系式(分式中的分子或分母中的一者易確定正負(fù),另一者不易確定正負(fù)等情況)的符號很難直接判斷或無法確定時,可以構(gòu)造新的函數(shù),采用二次求導(dǎo)處理,判斷出一次導(dǎo)函數(shù)的符號以及最值,進(jìn)而最終確定函數(shù)的單調(diào)性.

2 利用二次求導(dǎo)判定代數(shù)式的大小

例2若函數(shù),0＜x1＜x2＜1,設(shè)a＝f(x1),b＝f(x2),則a,b的大小關(guān)系是( ).

分析根據(jù)題目條件,關(guān)鍵是確定函數(shù)f(x)在(0,1)上的單調(diào)性,但直接判斷單調(diào)性較困難,且求導(dǎo)后難以確定導(dǎo)函數(shù)的符號,從而考慮將一次導(dǎo)函數(shù)中分子所對應(yīng)的關(guān)系式視為新函數(shù),利用二次求導(dǎo)確定一次導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與最值,再確定函數(shù)f(x)在(0,1)上的單調(diào)性,進(jìn)而判定代數(shù)式的大小關(guān)系.

解由于函數(shù),求導(dǎo)得f′(x)＝,令函數(shù)g(x)＝xcosx－sinx,x∈(0,1),求導(dǎo)得g′(x)＝－xsinx＜0,所以函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,則g(x)＜g(0)＝0,所以f′(x)＜0,即函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,而0＜x1＜x2＜1,則f(x1)＞f(x2),即a＞b,故選A.

利用導(dǎo)數(shù)判定代數(shù)式的大小,其實質(zhì)就是判斷函數(shù)的單調(diào)性.對于以上問題,為得到函數(shù)f(x)在(0,1)上的單調(diào)性,需判定一次導(dǎo)函數(shù)f′(x)的符號,而其分母為正,那么只需判斷分子xcosxsinx在給定區(qū)間上的符號,由于很難直接判斷,故通過二次求導(dǎo),判斷出一次導(dǎo)函數(shù)的符號,最終得以順利解決問題.

3 利用二次求導(dǎo)確定參數(shù)的最值(或取值范圍)

例3已知函數(shù)f(x)＝2(x－2)ex＋a(x2＋4x)＋4,其中a∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù).若不等式f(x)≥0在區(qū)間[0,＋∞)上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

分析根據(jù)題目條件,求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),通過對參數(shù)分a≤0與a＞0討論,當(dāng)a≤0時直接確定不等式不可能恒成立;而當(dāng)a＞0時,結(jié)合二次求導(dǎo)處理,進(jìn)一步對參數(shù)分4a－2≥0與4a－2＜0討論,確定不等式是否恒成立,從而得以確定參數(shù)的取值范圍.

解對f(x)求導(dǎo)可得

當(dāng)a≤0 時,若x∈(0,1),則f′(x)＜0,所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,又f(0)＝0,所以f(x)＜0,故f(x)≥0在[0,＋∞)上不可能恒成立.

當(dāng)a＞0 時,令g(x)＝f′(x)＝(2x－2)ex＋2a(x＋2)(x≥0),則g′(x)＝2xex＋2a,則g′(x)＞0,所以y＝g(x)在[0,＋∞)上單調(diào)遞增,則f′(x)≥f′(0)＝4a－2.

當(dāng)4a－2≥0,即時,y＝f(x)在[0,＋∞)上單調(diào)遞增,所以fmin(x)＝f(0)＝0,故f(x)≥0在[0,＋∞)上恒成立.

當(dāng)4a－2＜0,即時,f′(0)＝4a－2＜0,f′(1)＝6a＞0,故存在x0∈(0,1)使得f′(x)＝0,此時函數(shù)y＝f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,又f(0)＝0,所以f(x)在(0,x0)上恒小于0,故f(x)≥0在[0,＋∞)上不可能恒成立,故不符合題意.

綜上,實數(shù)a的取值范圍

在利用導(dǎo)數(shù)求解參數(shù)的最值(或取值范圍)時,求解的關(guān)鍵是確定導(dǎo)函數(shù)的零點,如果能夠直接確定該方程的解就相對簡單一些,若求解導(dǎo)函數(shù)的零點有困難或無法求解時,可以考慮構(gòu)建新函數(shù),借助二次求導(dǎo)轉(zhuǎn)化與變形.

4 利用二次求導(dǎo)證明不等式

例4已知函數(shù)f(x)＝ex－x－x2,x∈(0,＋∞).求證

分析根據(jù)題目條件,通過對函數(shù)f(x)求導(dǎo),此時無法確定一次導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點,進(jìn)一步構(gòu)建函數(shù)進(jìn)行二次求導(dǎo),求出二次導(dǎo)函數(shù)的零點并確定其符號,從而確定一次導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性,最后結(jié)合函數(shù)的極值確定一次導(dǎo)函數(shù)的零點,從而確定函數(shù)f(x)的單調(diào)性與最值,綜合二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)證明即可.

解對函數(shù)f(x)求導(dǎo)得f′(x)＝ex－2x－1,構(gòu)造函數(shù)g(x)＝ex－2x－1,求導(dǎo)得g′(x)＝ex－2,令g′(x)＝0,解得x＝ln2.

當(dāng)x∈(0,ln2)時,g′(x)＜0,當(dāng)x∈(ln2,＋∞)時,g′(x)＞0,所以函數(shù)f′(x)在區(qū)間(0,ln2)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(ln2,＋∞)上單調(diào)遞增,則

在(0,ln2)上,f′(x)＜f′(0)＝0,而在(ln2,＋∞)上,f′(1)＝e－3＜0,,所以存在)使得f′(x0)＝0,即ex0－2x0－1＝0,所以函數(shù)f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,＋∞)上單調(diào)遞增,所以

結(jié)合二次函數(shù)的圖像與性質(zhì),可知fmin(x)＞

在利用導(dǎo)數(shù)證明不等式時,證明的關(guān)鍵在于構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),在一次求導(dǎo)后無法明確或直接求出導(dǎo)函數(shù)的零點時,可以通過在相應(yīng)區(qū)間上用二次求導(dǎo)的方法判定一次導(dǎo)函數(shù)的符號,進(jìn)而得到一次導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性,最后再利用原函數(shù)的單調(diào)性來證明相應(yīng)的不等式.

在解決一些函數(shù)問題時,函數(shù)的圖像與性質(zhì)雖然可以直觀地反映出兩個變量之間的變化規(guī)律,但大多數(shù)復(fù)合函數(shù)或復(fù)雜的函數(shù)作圖困難較大,這時可以借助導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用,特別是進(jìn)行二次求導(dǎo),拓展應(yīng)用函數(shù)的圖像與性質(zhì)解題的空間,讓導(dǎo)數(shù)這個強有力的工具為函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等相關(guān)問題的研究提供更為簡單、程序化的方法,具有更強的可操作性、可應(yīng)用性.

鏈接練習(xí)

1.(2022年全國乙卷理16)已知x＝x1和x＝x2分別是函數(shù)f(x)＝2ax－ex2(a＞0 且a≠1)的極小值點和極大值點.若x1＜x2,則a的取值范圍是________.

2.若過點P(1,λ)最多可作出n(n∈N*)條直線與函數(shù)f(x)＝(x－1)ex的圖像相切,則下列結(jié)論中錯誤的是( ).

A.λ＋n＜3

B.當(dāng)n＝2時,λ的值不唯一

C.λn可能等于－4

D.當(dāng)n＝1時,λ的取值范圍是

鏈接練習(xí)參考答案

(完)