含慣容和接地剛度的黏彈性動力吸振器的參數優化

范舒銅，申永軍，2

（1.石家莊鐵道大學機械工程學院，河北石家莊 050043；2.石家莊鐵道大學省部共建交通工程結構力學行為與系統安全國家重點實驗室，河北石家莊 050043）

引 言

動力吸振器（dynamic vibration absorber，DVA）是通過調整主系統的振動特性以減小主系統振動的設備［1］。Frahm［2］發明了第一個適用于窄頻帶范圍的無阻尼動力吸振器。Ormondroyd 等［3］在無阻尼動力吸振器的基礎上增加阻尼，發現了減振效果更好的動力吸振器模型，即經典的Voigt 型動力吸振器。他們首次提出了固定點理論，被后人廣泛地應用并且成為了振動工程教科書［4?5］中的經典結論。隨后，Asami 和Nishihara 等［6?8］提出了有阻尼動力吸振器的精確級數解，驗證了固定點理論的正確性。Ren［9］提出了一種減振效果更佳的接地式動力吸振器。文獻［10］利用另一種方法也推出了與文獻［9］相同的結果。Shen 等［11?12］研究4 種半主動動力吸振器的近似解析解，并分析了半主動動力吸振器的參數設計和時滯對半主動控制效果的影響。

隨著實際工程研究的逐漸深入，黏彈性材料的使用給各個領域提供了更大的發展空間。黏彈性材料的模型一般可簡化為Kelvin 模型或者Maxwell 模型。在實際工程中，阻尼器本身一般具有一定的彈性，故Maxwell 模型更能代表工程實踐中的黏彈性材料［13］。王孝然等［14?15］和郝巖等［16］將Maxwell 模型應用到動力吸振器中，極大地降低了共振幅值，同時拓寬減振頻率。

具有放大功能的元件如杠桿、慣容等也被應用在吸振系統中，以獲得更好的性能。慣容最早應用在F1 賽車懸架上，并取得了很好的效果［17］。Wang等［18］將慣容器應用到列車懸掛系統，可以有效地提升列車的動力學性能。Chen 等［19］分析了慣容器對隔振系統固有頻率的影響。Hu 等［20?21］把慣容用在動力吸振器和隔振器上，并給出了最佳設計方案，結果表明慣容有很好的減振效果。Yang 等［22］研究了ISD（I——慣容，S——彈簧，D——阻尼）結構在雙層隔振系統中的性能，表明ISD 在一定的頻率范圍內有很好的減振效果。葛正等［23］提出了車輛主動慣容式動力吸振懸架構型和車身加速度補償控制策略。文獻［24］也證明了ISD 結構具有很好的減振功效。陳杰等［25］將慣容器和負剛度彈簧引入到動力吸振器來抑制梁的橫向振動，具有顯著的減振效果。近年來，Giaralis 等［26］和Xu 等［27］分別研究了含慣容的動力吸振器對高層建筑和大跨橋梁風致振動的控制效果。文獻［28］研究了旋轉慣質雙調諧質量阻尼器對光熱電站吸熱塔橫風向與順風向風致振動的控制效果。李亞峰等［29］將慣容加入到動力吸振器，通過不同模型的對比分析減振性能。文獻［26?29］都表明慣容可產生遠大于其物理質量的表觀質量，在減振方面有著明顯的優勢。

慣容元件自身具備慣性調整功能，改變結構慣性的同時基本不改變結構的物理質量。黏彈性器件和慣容器同時用于動力吸振器的設計，可提高系統的控制性能，但目前的大多數研究僅僅在動力吸振器中引入慣容器或黏彈性器件。少數研究同時引入了慣容器和黏彈性器件，但慣容接地，本質上是增加了子系統的質量，未能體現慣容的兩端點特征。

基于慣容和黏彈性器件的優良特性，本文提出一種慣容器和黏彈性器件共同作用的動力吸振器，利用固定點理論將系統的剛度比、阻尼比等參數進行優化處理。在參數優化過程中，發現黏彈性器件和慣容器共同作用時，慣容比在一定的范圍內存在兩組優化參數。考慮實際工程應用并保證系統的穩定，常規參數下比較兩組優化參數對系統振幅的影響，確定慣容比的最佳工作范圍。通過與傳統的動力吸振器在簡諧激勵和隨機激勵下的比較，證明了恰當地選取慣容比可使含慣容和接地剛度的黏彈性動力吸振器具有較優的減振效果。

1 動力吸振器的模型建立及參數優化

圖1所示為本文提出的含慣容和接地剛度的Maxwell 黏彈性動力吸振器的模型。其中m1，m2分別代表主系統和動力吸振器的質量；k1，k2分別代表主系統和動力吸振器的剛度；b代表動力吸振器的慣容；c和k3分別是Maxwell 型黏彈性模型的阻尼和剛度；k4表示接地彈簧的剛度，F0代表激振力的振幅，ω表示激振力的頻率；x1，x2，x3分別表示主系統、動力吸振器以及串聯彈簧和阻尼分割點的位移。

圖1 動力吸振器模型Fig.1 Mechanical model of dynamic vibration absorber

根據牛頓第二定律可以得到系統的動力學方程：

引入下列參數：

式（1）可以化簡成如下形式：

設式（2）解的形式為：

式中 j 為虛數單位。將式（3）代入式（2）中，可以解出：

其中：

引入參數：

定義主系統的振幅放大因子A：

其中：

2 基于固定點理論的H∞參數優化

由式（5）通過簡單推導，可以證明其歸一化的幅頻曲線都將通過3 個獨立于阻尼比的點，這3 個點稱為該動力吸振器的固定點。為了直觀驗證該結論，圖2給出了阻尼比為0.9，1.5，2 時的歸一化幅頻曲線。從圖2中可以清楚地看出曲線均通過P，Q，R三點。

圖2 μ=0.1，δ=2，υ=3.26，α1=6.76，α2=2.79 時不同阻尼比下歸一化幅頻曲線Fig.2 The normalized amplitude-frequency curves under dif?ferent damping ratios with μ=0.1，δ=2，υ=3.26，α1=6.76，α2=2.79

由于固定點與阻尼比無關，故根據固定點理論，若使三個固定點處的縱坐標相等，只要阻尼比趨于零和無窮時的響應值相等即可，則有：

化簡得到：

其中：

由于固定點與阻尼比無關，因此當ξ=0 時滿足：

當ξ=∞時滿足：

P，Q和R三點在ξ=0 和ξ=∞的幅頻曲線上幅值大小分別相等，但相位均相差180°，即均相差了一個正、負號。所以為了求出P，Q和R三點的值，聯立式（8）和（9）可以得到：

設和是式（10）的三個根，只要λp，λQ和λR的值確定，可以得到P，Q和R三點的縱坐標如下：

當把3 個固定點的縱坐標調到同一高度，就可以得到最優調頻比，從而有可能使得幅頻曲線的最大值最小化。這個調整需要兩個步驟實現。

第一步，把P點和R點的縱坐標調到同一高度，即：

其中，

P點和R點的縱坐標相等時的值與λ2無關，則需要：

即：

化簡式（13），得：

把式（14）代入式（7）中，可以得到：

解式（15）得到：

式（11）可以寫成：

第二步，把P，R點與Q點的縱坐標調整到同一高度，可以得到最優頻率比：

將式（17）代入式（14）得到：

此時：

由于本文模型中的接地剛度可能是負剛度，根據負剛度器件的特性，預壓縮彈簧或者預壓連桿是實現負剛度特性的常見機構，而預加荷載會使系統產生預加位移，故不合適的剛度值有可能導致剛度矩陣非正定從而系統失穩。因此，本文按固定點算法得到可能的接地剛度比值后，進行系統穩定性的驗證，并給出接地剛度比值的范圍。下文通過對所求出的最優剛度比、最優頻率比、最優阻尼比的驗證，說明當預加荷載使系統產生的位移等于固定點處響應值時，所得結果可以在提高振動控制效果的同時保證系統穩定。因此有：

即：

其中：

求解上式則可以得到所有可能的最優剛度比的值：

而系統的固有頻率為：

其中：

固有頻率是非負的，故可以得到：

即：

通過研究發現，當α2opt=α2a或α2opt=α2b時，慣容比均可在相對應的范圍內使系統保持穩定并實現減振，故分情況討論最優參數的選取情況，如下：

（1）當α2opt=α2a=時，

根據固定點理論可知，無論阻尼比怎么變化，都會經過P，Q和R三個固定的點，當兩個共振峰調整到同一高度，便可以得到最優阻尼比。由圖3可知，當兩個共振峰處于同一高度時，Q點處的幅頻響應曲線恰好處于斜率為零的區域。故可以根據Q點處的橫坐標和極值條件求出最優阻尼比。

圖3 μ=0.1，δ=2，υ=3.26，α1=6.76，α2=2.79 時不同阻尼比下歸一化幅頻曲線Fig.3 The normalized amplitude-frequency curve under differ?ent damping ratios with μ=0.1，δ=2，υ=3.26，α1=6.76，α2=2.79

根據

從而得到近似最優阻尼比：

其中：

由圖4可知，可以運用和上述同樣的方法根據Q點處的橫坐標和極值條件求出最優阻尼比。

圖4 μ=0.1，δ=0.1，υ=1.43，α1=0.189，α2= -0.145 時不同阻尼比下歸一化幅頻曲線Fig.4 The normalized amplitude-frequency curve under dif?ferent damping ratios with μ=0.1，δ=0.1，υ=1.43，α1=0.189，α2= -0.145

根據

從而得到近似最優阻尼比：

其中

3 不同情況慣容比的工作范圍以及最優參數的選擇

在第2 節中已經驗證了兩組最優參數均滿足系統的固有頻率大于0，故在篩選最優接地剛度比α2opt時，只需考慮各最優參數及其求解過程，即慣容的工作范圍應該同時滿足各表達式分母不等于0，根號下部分大于0，最優頻率比υopt和最優阻尼比ξ2opt大于0 的交集。

3.1 不同的α2 對應的慣容比δ 的取值范圍

將α2a代入最優頻率中去討論慣容比δ的取值范圍，即：

即滿足：

故簡單篩選判定后，δ的取值范圍即為：

其中：

將α2b代入最優頻率中討論慣容比δ的取值范圍，即：

即滿足：

故簡單篩選判定后，δ的取值范圍為：

3.2 最優參數的選擇

從3.1 節的分析中可知，不同的接地剛度比α2對應的慣容比δ的取值范圍是不同的，故在實際工程中該模型的最優參數應該根據不同的慣容比進行選取。

當δ∈(0，δ1)∪(δ2，+∞)時，只有一個α2，即α2=α2b，那么就取α2=α2b及對應的最優參數——最優頻率（式（31））、最優剛度比（式（32））和最優阻尼比（式（34））。

當δ∈(δ1，δ2)時，有兩個α2，即α2=α2a或α2=α2b，此時可以根據固定點處的幅值進行分析。

當α2=α2a時，固定點處的幅值為：

當α2=α2b時，固定點處的幅值為：

兩個幅值作差：

從圖5中可以看出在常規的參數范圍內，即質量比μ∈(0.01，0.4)和慣容比δ∈(δ1，δ2)內都可以使得ΔA>0，因此：

圖5 不同質量比和慣容比下的幅值差Fig.5 Amplitude difference under different mass ratio and in?erter ratio

此時從式（42）可以得出α2=α2a的效果較好，故當δ∈(δ1，δ2) 時取α2=α2a及其對應的最優參數——最優頻率比式（27）、最優剛度比式（28）和最優阻尼比式（30）。

4 數值驗證

為了驗證前述解析結果的正確性，使用MAT?LAB 進行仿真對比。由上一節可知不同的慣容比會存在不同的最優參數，故分別進行仿真分析。選取激振力的幅值為F0=1000 N，系統參數μ=0.1，當δ=0.1 時，根據前述的解析解計算最優參數，即：υ=1.43，α1=0.189，α2=-0.145，ξ=0.602，此時系統的固有頻率比ω'1=1.15，ω'2=3.38，頻率比為ω'1/ω1=0.36，ω'2/ω1=1.07；當δ=2 時，根據前述的解析解計算最優參數，即：υ=3.26，α1=6.76，α2=2.79，ξ=5.96，系統的固有頻率ω'1=2.6，ω'2=6.62，頻率比為ω'1/ω1=0.82，ω'2/ω1=2.09。故圖6橫坐標頻率比選取為0～3，完全涵蓋了此范圍。利用四階龍格?庫塔法，選取計算時間為500 s。略去瞬態響應，取穩態響應的最大值作歸一化處理，可以得到給定激勵下系統響應的數值解。從圖6中，很明顯地可以看出無論接地剛度比選取哪一種情況，數值解和解析解都基本一致，驗證了前述結果的正確性。

圖6 解析解和數值解的對比Fig.6 Comparison between numerical simulation and analyt?ical solution

5 最佳工作范圍的確定

由3.2 節的分析可知，不同的慣容比范圍對應不同的優化參數。當慣容比δ∈(δ1，δ2)時，取質量比μ=0.1，慣容比的有效工作范圍為（1，3.909）。在此范圍內，圖7給出了慣容比對幅頻曲線的影響。由圖7可知，慣容比δ越大，主系統振幅越小，且有效的減振頻帶越寬，減振效果越好。

圖7 慣容比對幅頻曲線的影響Fig.7 Influence of inertia ratio on amplitude-frequency curve

當慣容比δ∈(0，δ1]∪[δ2，+∞)，取質量比μ=0.1，慣容比的有效工作范圍為(0，1]∪[3.9090，+∞)。在此范圍內得到圖8。由圖8可知，慣容比δ越小，主系統振幅越小，直到慣容比減小至零，這個范圍的控制效果達到最優。

圖8 慣容比對幅頻曲線的影響Fig.8 Influence of inertia ratio on amplitude-frequency curve

通過對比圖7和圖8可明顯地觀察出，圖8中的優化結果不如圖7中的優化結果?？紤]實際工程的可行性，當慣容比δ∈(0，δ1]∪[δ2，+∞)，在動力吸振器中加入慣容將增加整個系統的質量卻沒有發揮它良好的控制性能，應該避免這種情況的出現。故在常規參數下，δ∈(δ1，δ2)為本文模型的最佳工作范圍。在實際的應用中可采取折中的方法選取最優參數，當慣容比取值小于或等于最佳范圍下限時，可選取慣容比略大于下限時所對應的最優參數，例如μ=0.1，δ=0.7，0.8，0.9，1 時，均取略大于最佳范圍下限的值δ=1.01，對應的最優參數為υ=0.23，α1=2.03，α2=1.21，ξ=33.44。此時取激勵幅值F0=1000 N，利用MATLAB 進行仿真，可得到圖9。從圖9可以看出，這樣設計吸振器仍有較好的減振效果。但當慣容比的取值接近該范圍的上限時，例如δ=3.9，對應的最優參數為υ=91.47，α1=3198，α2=922.48，ξ=6.33。顯然，此時的剛度比過大，在實際的工程中較難實現，故應該避免選擇過大的慣容比。

圖9 接近最佳工作范圍下限的慣容比對幅頻曲線的影響Fig.9 Influence of inerter ratio close to the lower limit of op?timal working range on amplitude frequency curve

6 模型對比

6.1 簡諧激勵下響應對比

為了驗證本文提出的動力吸振器模型的減振效果，取μ=0.1，將本文提出的模型與其他3 種模型（即文獻［3］，［9］，［14］的模型）進行對比，得到的幅頻曲線如圖10 所示，其中3 種模型的最優參數選取如表1所示。從圖10 中可以看出，本文提出的模型中慣容比取最佳工作范圍時減振效果明顯優于其他幾種情況，且拓寬了頻帶范圍，為以后的研究提供了良好的依據。

圖10 μ=0.1 時與其他形式動力吸振器模型的對比Fig.10 Comparison between the DVA in this paper and oth?er DVAs under μ =0.1

表1 吸振器模型參數最優設計公式Tab.1 Optimal design formula for model parameters of DVAs

6.2 隨機激勵下響應對比

由于實際工程中機械或結構受到的激勵多為隨機的，故本文近一步地討論吸振器在隨機激勵下的減振效果。設該系統受均值為零、功率譜密度為S(w)=S0的白噪聲激勵，則本文模型與其他3 種吸振器模型絕對位移響應的功率譜密度函數分別為：

式中 下角標V，R，N，I 分別代表文獻［3］中的Voigt 模型，文獻［9］提出的接地式動力吸振器模型，文獻［14］提出的N?三要素模型以及本文模型。其他模型與本文模型主系統的位移均方值為：

其中：

選取4 種動力吸振器的質量比為μ=0.1，根據現有文獻中的結果和本文計算的最優結果，可以得到4 種吸振器的均方值分別如下：

從上面的結果中可以發現，當主系統的參數相同時，本文模型慣容比取最佳工作范圍時具有良好的減振效果。

為了更貼近實際工程，本文構建了50 s 均值為0方差為1 的隨機力激勵，其時間歷程如圖11 所示。選取系統參數為m1=1 kg，主系統剛度為k1=100 N/m，吸振器質量為m2=0.1 kg，根據文獻［3，9，14］和本文的推導過程得到其他最優參數。主系統不附加動力吸振器的位移響應如圖12 所示。圖13～17 為主系統附加4 種不同的動力吸振器的位移響應。表2為主系統位移方差統計值及其衰減比。從圖13～17和表2可以發現，在本文模型中，當慣容比為最佳工作范圍時比其他3種模型具有更優良的吸振性能。

表2 主系統位移方差統計值及其衰減比Tab.2 The variances and reduction ratios of the primary system

圖11 隨機激勵時間歷程Fig.11 The time history of the random excitation

圖12 無吸振器的主系統時間歷程Fig.12 The time history of the primary system without DVA

圖13 附加Voigt 型動力吸振器的主系統時間歷程Fig.13 The time history of the primary system with Voigt DVA

圖14 附加接地式動力吸振器的主系統時間歷程Fig.14 The time history of the primary system with ground?ed DVA

圖15 附加N-三要素型動力吸振器的主系統時間歷程Fig.15 The time history of the primary system with N-three elements DVA

圖16 附加慣容和接地剛度動力吸振器的主系統時間歷程（δ = 0.1）Fig.16 The time history of the primary system with inerter and grounded stiffness DVA under δ = 0.1

圖17 附加慣容和接地剛度動力吸振器的主系統時間歷程（δ = 2）Fig.17 The time history of the primary system with inerter and grounded stiffness DVA under δ = 2

7 結 論

本文提出了一種含慣容和接地剛度的黏彈性動力吸振器模型，對其參數進行了研究。通過基于固定點理論的H∞優化得到吸振器的最優頻率比、最優剛度比和最優阻尼比。在參數優化過程中，發現慣容比在一定范圍內有兩組優化參數?？紤]實際工程應用，在常規參數下比較兩組參數對系統的控制性能的影響，確定了慣容的最佳工作范圍。分析慣容在最佳工作范圍內外系統參數的選擇對系統響應的影響，給出實際工程應用的建議。然后與傳統吸振器在簡諧激勵和隨機激勵下的對比發現，本文提出的模型中，當慣容比在最佳工作范圍時可以大幅度地降低振動幅值，拓寬了振動頻率的適用范圍。進一步研究表明，在慣容比的最佳工作范圍內，慣容比越大，動力吸振器的減振效果更佳。