調頻式鋼軌阻尼器對曲線軌道動力特性影響研究

譚新宇，劉衛豐

（北京交通大學土木建筑工程學院，北京 100044）

引 言

近年來，城市軌道交通迅猛發展。曲線軌道對地形地物具有高適應性，在城市軌道交通線路中被大量設置：以北京地鐵為例，地鐵線路中曲線軌道超過軌道總里程的30%［1］。然而，當地鐵列車通過曲線軌道時，多種問題往往隨之產生：例如曲線軌道處時常產生大量異常鋼軌波浪形磨耗［2］；列車通過曲線段時引起的地表振動響應有時會較直線段更大，并在某些情況下存在水平向振動強度高于鉛垂向振動強度的特殊現象［3］。

針對地鐵列車運行引起的軌道振動和波磨發展問題，各國學者進行了較為廣泛的研究，提出通過增加軌道系統阻尼的方式改變軌道的動力特性，以此達到控制軌道系統振動、減緩鋼軌波磨產生和發展的目的。基于這一思想，在對鋼軌振動特性進行研究之后，Thompson 等［4］提出一種裝配在軌道鋼軌軌腰處的鋼軌阻尼器模型，此為TRD 的雛形。隨后，Thompson［5］發現通過設計阻尼器的自振頻率，可以使整個軌道系統的阻尼得到提升，從而相應地降低列車運行引發的輪軌輻射噪聲。Croft 等［6］通過建立二維有限元，發現鋼軌阻尼器可一定程度上使鋼軌pinned?pinned 共振頻率發生改變，從而使軌道的動位移曲線變得平滑，以此達到控制鋼軌波磨發展的目的。文獻［7?9］建立了直線軌道?TRD 模型，通過解析的方法求得了連續支承和離散支承形式下鋼軌的動位移和振動衰減率，并模擬了鋼軌波磨的發展過程，進一步證實了TRD 在控制鋼軌波磨發展和減小輪軌噪聲方面的積極作用。近年來，劉衛豐等［10?11］、陳嘉梁等［12］通過錘擊試驗和現場實測發現，TRD 能使鋼軌振動衰減率在某些頻段內得到提升，有效控制鋼軌波磨的發展，同時發現TRD 在抑制鋼軌振動方面也具有一定效果。總的說來，目前對TRD 作用效果的研究多集中于直線軌道。曲線軌道較直線軌道而言，具有平面內和平面外彎扭耦合振動的特性［13］，故其振動特性更為復雜，但針對安裝有TRD 的曲線軌道動力特性的研究相對較少，因此，需要對這一問題進行進一步研究，確定TRD 在曲線軌道中的性能表現。

對TRD 的研究可通過解析法、數值模擬和現場測試的方式進行。相較而言，解析法能夠更為準確地反映TRD 的力學作用機理、提高計算效率，節省成本。本文采用頻域解析法，將曲線鋼軌簡化為具有周期性的離散支承無限長Timoshenko 梁，將TRD 簡化為由雙質量塊組成的質量?彈簧體系，僅考慮TRD 和鋼軌的垂向相互作用，建立安裝有TRD 的曲線軌梁頻域動力微分方程。引入無限周期結構理論和曲線軌道梁的數學模態，通過求解固定諧振荷載和移動諧振荷載分別作用時軌道“基本元”的動力響應得到曲線軌道任一點的動力響應，分析TRD 對曲線軌道動力特性的影響。

1 曲線軌道-TRD 模型建立

1.1 TRD 的基本構造

TRD 由兩部分組成，內部為按照特定幾何和物理要求配置的質量塊，外部為包裹質量塊的具有高阻尼損耗因子的彈性材料，TRD 通過特定金屬卡夾被緊密固定在鋼軌軌腰的兩側。原理上，TRD 中質量塊與彈性材料構成了具有高阻尼的彈簧?質量體系，體系的自振頻率階數與質量塊的數量相同。通過對質量塊的質量、相對位置以及彈性材料的剛度和阻尼等參數進行設計，可以調整TRD 的自振頻率，使軌道系統在特定頻段內的阻尼得到提升，從而降低軌道系統的振動能量，抑制鋼軌內能量的傳播，達到控制軌道系統振動、減緩鋼軌波磨產生和發展的目的，TRD 的橫剖面示意圖如圖1所示。

圖1 安裝有TRD 的鋼軌橫剖面示意圖Fig.1 The cross-section of the rail with a TRD

1.2 曲線軌道-TRD 力學模型

由于TRD 的長度較短，在建模計算中，質量塊可被簡化為具有一定質量的剛體［7］，故雙層TRD 可被模擬為通過彈簧阻尼原件連接在鋼軌上的具有雙自振頻率的彈簧?質量體系。本文僅考慮TRD 和鋼軌的垂向相互作用，以此為基礎建立力學模型，對TRD 的作用進行原理性探究。當安裝有TRD 的周期性離散支承無限長曲線Timoshenko 梁受移動單位諧振荷載作用時，其力學模型示意圖如圖2所示。軌下支承扣件用等距離的彈簧阻尼原件模擬，TRD裝配在兩相鄰扣件跨中處。需要指出的是，模型中坐標系的正方向由右手螺旋法則確定，且同時假定Timoshenko 梁為半徑恒定的等截面均質梁，梁截面關于y軸對稱；曲線Timoshenko 梁的半徑遠大于梁截面尺寸以及梁長，且梁截面的形心與剪切中心重合。

圖2 安裝有TRD 的曲線軌道結構力學模型示意圖Fig.2 The mechanics model of the curved rail with TRDs

圖中，m1和m2分別為TRD 中底部質量塊M1和頂部質量塊M2的質量；k?1，k?2和k?3分別為鋼軌與M1，M1與M2以及鋼軌與M2間的彈性層支承復剛度，復剛度均考慮彈性層的損耗因子η，記為k?j=kj(1+iη)，其中，kj為彈性層支承剛度且j=1，2，3；ux，uy分別為鋼軌在x，y方向上的位移；uy1，uy2分別為M1，M2的垂向位移；R為曲線軌道的半徑；L為相鄰兩支承點間的距離，即軌道基本元的長度；kx，ky和kφ分別為扣件的徑向、垂向以及繞z軸的扭轉支承剛度；cx，cy和cφ分別為扣件的徑向、垂向和繞z軸的扭轉支承阻尼系數；Fx和Fy分別為作用在鋼軌軌頂中心線的移動橫向、垂向荷載，移動速度為v。

1.3 曲線軌道-TRD 模型的動力微分方程

當速度為v，激振頻率為ωF的橫向、垂向移動單位諧振荷載eiωFt作用于曲線軌道時，根據文獻［14］，可推得鋼軌在頻域中的動力平衡方程為：

式中 符號“^”代表各物理量在頻域中的相應表示；E*=E（1+iη）和G*=G（1+iη）分別為考慮鋼軌材料阻尼的彈性模量和剪切模量，η為鋼軌的損耗因子，E為鋼軌的彈性模量，G為鋼軌的剪切模量；k*x=kx+icxω，k*y=ky+icyω，k*φ=kφ+icφω分別為考慮阻尼影響的徑向、垂向、扭轉支承復剛度；Kx，Ky分別為鋼軌截面橫向、垂向剪切因子；A為鋼軌截面面積；m為鋼軌單位長度質量；h為鋼軌軌頂到截面形心的垂向距離；Id為鋼軌截面扭轉常數；I0為鋼軌截面極慣性矩；Ix為繞x軸的截面慣性矩；Iy為繞y軸的截面慣性矩；zF0為移動荷載的起始坐標；zrj為第j個支承點的坐標；Nr為計算范圍內支承點的個數；zck為第k個TRD 的坐標；Nc為計算范圍內TRD的個數。

此時，第k個TRD 的頻域動力平衡方程為：

聯立公式（7）和（8），可將(z-zck) 和(z-zck)用鋼軌位移(z-zck)表示，并最終可得：

式中

將式（9）和（10）代入式（4）后可得到僅包含鋼軌位移的曲線軌道動力平衡方程。

2 曲線軌道-TRD 模型動力響應求解

本文通過引入無限周期結構理論以及曲線軌道梁的數學模態，分別求解移動和固定單位諧振荷載作用下曲線軌道在頻域內的動力響應，軌道的時域動力響應結果可由逆Fourier 變換得到。具體的，將周期離散支承的曲線軌道視為“基本元”長度為L的無限周期結構，將其映射到圓形軌道［15］，則曲線鋼軌在頻域內的動力響應具有如下周期性關系［16］：

式中z為鋼軌上任意一點在基本元內的映射點，滿足=z+nL(0 ≤z

構造滿足下式的輔助函數(z，ω，ωF)：

即可發現輔助函數為滿足下式的周期性函數的形式：

可進一步通過Fourier 級數將其表示為：

式中Cn(ω，ωF)是Fourier 級數系數；ξn=2πn/L。

結合式（12）和（14）可得鋼軌頻域動力響應的級數表達：

式中(z，ω，ωF)=ei(ξn+ωF/v-ω/v)z為移動諧振荷載作用下的曲線鋼軌模態［17］，令，此時

由此，曲線鋼軌不同方向的位移及扭轉可表示為：

式中 對應于鋼軌x，y，z方向位移和扭轉變形各階模態的模態坐標分別為(κ，ωF) (i=x，y，z)和(κ，ωF) (j=x，y，z)。實際編程計算時，軌道梁模態(z，κ，ωF)取滿足計算精度要求的有限項。

2.1 移動諧振荷載作用下曲線軌道-TRD 模型動力響應求解

取2N+1 項鋼軌模態，記為NMR=2N+1（-N～+N），之后將式（16）和（17）代入式（1）～（6），同時在方程兩邊同乘（m∈［-N，N］）,之后在方程兩邊同時對z在[0，L]上進行積分，根據模態坐標的正交性與Dirac 函數的篩選特性可得：

整理式（18）～（23），可得：

式中G(κ，ωF)為（NMR×6）階已知方陣；C(κ，ωF)為待求的NMR×6 階鋼軌模態坐標列向量，記為

P(κ，ωF)為NMR×6 階外荷載列向量，其第j行的值滿足下式：

將式（25）代入式（24）即可求得各階模態對應的模態坐標，即：

將式（26）代入式（16）及（17）后，根據式（11）的周期性關系，可最終求得鋼軌上點處的位移振動響應：

B(z，κ，ωF)是由曲線軌梁模態構成的6×(6×NMR)階矩陣，具體表示為：

2.2 固定諧振荷載作用下曲線軌道-TRD 模型動力響應求解

通過對2.1 節得到的曲線軌道頻域振動響應進行逆Fourier 變換可得其時域振動響應：

取式（28）中的荷載移動速度v=0，即可得到固定諧振荷載作用下，鋼軌位移時域響應：

由式（29）可知，固定諧振荷載作用下，鋼軌的時域振動響應也是簡諧的，且其位移最大值為：

通過求解不同激振頻率固定諧振荷載作用下的曲線軌道鋼軌的位移時域振動響應幅值，即可得到曲線軌道的頻率響應函數。

3 TRD 對曲線軌道動力特性影響分析

本節在前文理論推導基礎之上，使用MAT?LAB 軟件進行編程，對曲線軌道安裝TRD 前后的動力特性進行計算分析。

首先對理論推導和編程計算結果的正確性進行驗證。文獻［18］給出了求解移動諧振荷載作用下直線軌道振動響應的解析方法。與其選用相同的計算參數，利用本文方法計算了激振頻率為250 Hz 的單位諧振荷載以v=60 km/h 的速度移動時，直線軌道在z=30 m 位置處的鋼軌振動加速度響應，兩種方法的計算結果如圖3所示。可以看出兩種計算方法所得結果吻合良好，驗證了本文理論和編程的正確性。

圖3 激振頻率為250 Hz 的移動諧振荷載作用下鋼軌振動加速度響應圖Fig.3 The acceleration response in the time domain of the rail under a moving vertical harmonic load（f=250 Hz）

Wu［9］給出了求解安裝單質量塊TRD 的直線Euler?Bernoulli 梁動力響應的時域算法，并得到了固定單位諧振荷載作用下梁跨中處的垂向動位移曲線。為進一步說明本文方法可應用于研究TRD 對軌道振動響應特性的影響，應用本文頻域方法對該問題進行計算，兩種方法所得結果如圖4所示。

圖4 安裝有TRD 的直線梁跨中處位移頻響函數Fig.4 FRFs of the beam with TRD at mid-span point

由圖4可以看出，兩種方法計算得到的梁跨中處的振動響應吻合度極高，進一步說明可利用本文方法對TRD 對鋼軌振動響應的影響進行研究。接下來，本文將基于此方法，對安裝雙質量塊TRD 的普通整體道床軌道的動力響應進行計算。軌道及扣件參數如表1所示，TRD 參數如表2所示。在表2所示參數下，利用結構動力學［19］中雙自由度體系的自振頻率計算方法可得TRD 的兩階自振頻率分別為250 和700 Hz。

表1 T60 鋼軌及DTVI2扣件參數表［13］Tab.1 Parameters of the T60 rail and the DTVI2 fastener［13］

表2 TRD 參數表［7］Tab.2 Parameters of the TRD［7］

3.1 曲線軌道頻率響應特性分析

為探究TRD 對曲線軌道頻響特性的影響，本節計算了垂向固定單位諧振荷載作用時，安裝TRD 前后曲線軌道鋼軌跨中處（z=24 m）和扣件處（z=24.3 m）的位移頻響函數。計算不同工況時，保證該工況下的激振點和拾振點位于相同位置。曲線鋼軌的垂向位移頻響函數計算結果如圖5所示，由此可見：

圖5 曲線鋼軌垂向位移頻響函數Fig.5 Vertical FRFs of the curved rail with or without TRD

（1）未安裝TRD 前，計算所得曲線鋼軌的垂向一階自振頻率和一階pinned?pinned共振頻率分別為149和1160 Hz。文獻［19］給出了單位長度Timoshenko梁與扣件構成的含阻尼單自由度彈簧?質量系統的垂向自振頻率計算公式為；同時給出離散支撐Timoshenko 梁垂向第n階pinned?pinned 共振頻率計算公式。根據表1所示參數，通過公式求得鋼軌垂向一階自振頻率和一階pinned?pinned 共振頻率分別為153 和1136 Hz。由此可見，本文計算結果與理論結果基本相等，進一步驗證了本文計算方法和結果的正確性。

（2）跨中處出現鋼軌垂向一階pinned?pinned 共振響應峰值，扣件處出現鋼軌垂向一階pinned?pinned 反共振響應峰值。安裝TRD 后，鋼軌的pinned?pinned 共振響應和反共振響應均得到較大程度地抑制。

（3）裝配TRD 后，軌道系統自重增加導致系統自振頻率向低頻方向移動。無論在跨中位置還是扣件位置處，曲線鋼軌在200～750 Hz 頻段內的振動響應均有所減小且在TRD 兩階自振頻率（250 和700 Hz）處減小明顯，這是由于TRD 的裝配提高了軌道系統在TRD 兩階自振頻率圍成的頻段范圍內，尤其是TRD 自振頻率處的阻尼，使鋼軌在該頻段內的振動能量被消散，減小了鋼軌的振動響應。

3.2 曲線軌道系統垂向鋼軌振動衰減率分析

鋼軌振動衰減率能夠表征軌道結構對鋼軌在某頻段內振動的抑制能力，鋼軌振動衰減率越大說明該軌道系統的阻尼越大，對鋼軌振動的抑制作用越明顯。圖6給出了安裝TRD 前后曲線軌道系統的垂向鋼軌振動衰減率。由圖可知：

圖6 TRD 裝配前后軌道鋼軌垂向振動衰減率Fig.6 Vertical decay rate of the rail with or without TRD

（1）在鋼軌pinned?pinned 共振頻率處，軌道的鋼軌振動衰減率最小，表明軌道系統在此頻段內的阻尼值較小，鋼軌振動較為劇烈。

（2）TRD 的安裝極大地提高了曲線軌道系統在200 Hz 以上的鋼軌振動衰減率，在某些頻段內作用效果尤其顯著，其中，軌道系統在TRD 兩階自振頻率處和鋼軌pinned?pinned 共振頻率處的鋼軌振動衰減率顯著提升，說明軌道系統在相應頻率處的阻尼大大提高，鋼軌的振動響應相應減小。

3.3 TRD 在不同半徑軌道中的效果研究

文獻［20］中指出，曲線軌道存在彎扭耦合振動特性且曲線半徑對其影響較大，當計算與激振力方向成正交方向的軌道位移響應時，曲線半徑的大小對位移響應的結果有顯著影響。故本節對橫向固定諧振荷載作用于不同曲線半徑的鋼軌時，TRD 對其垂向位移頻響特性的影響進行探究。圖7給出了曲線半徑為300 m 時，TRD 安裝前后鋼軌跨中處在橫向固定單位諧振荷載作用下的垂向位移頻響函數。圖8給出了曲線半徑分別為100，300，800 m 以及直線軌道情況下，安裝TRD 前后鋼軌跨中處在橫向固定諧振荷載作用下的垂向位移頻響函數。

由圖7可知：當在橫向固定諧振荷載作用下，鋼軌的垂向位移振動響應較為復雜。垂向位移頻響函數同時受鋼軌的自振頻率以及其橫向、垂向和扭轉模態影響。在TRD 自振頻率附近的頻段內，鋼軌的振動響應受到一定程度的抑制，且TRD 能夠大幅減小鋼軌在某些峰值頻率處（1200 Hz，1750 Hz）的振動響應。總的看來，安裝TRD 后鋼軌的振動響應在全頻段基本不高于未裝配TRD 時鋼軌的振動響應。由圖8（a）可知：在橫向固定荷載作用下，不同半徑的曲線鋼軌在未裝配TRD 前，鋼軌垂向頻響函數曲線的走勢一致，僅在數值上有較大差別，曲線半徑越大其振動響應越小，直線軌道情況下最小。圖8（b）表明：裝配TRD 后，鋼軌垂向頻響函數曲線的特點與裝配TRD 前相似，即頻響函數曲線走勢基本一致，但在數值上隨半徑的增加而減小。綜合圖7和圖8可知，對于任何半徑的鋼軌，在橫向荷載作用下，TRD對其在垂向上的振動響應均有一定的抑制作用。

圖7 TRD 安裝前后橫向固定諧振荷載作用下半徑為300 m鋼軌跨中的垂向位移頻響函數Fig.7 Vertical FRF of rail with or without TRD at mid-span point under a lateral fixed harmonic load（R=300 m）

圖8 橫向固定諧振荷載作用下安裝TRD 前后的不同半徑鋼軌跨中的垂向位移頻響函數Fig.8 Vertical FRF of the rail with or without TRD at midspan point with different radius subjected to a lateral fixed harmonic load

3.4 移動諧振荷載作用下軌道的振動特性分析

為探究移動諧振荷載作用下TRD 對軌道振動的抑制效果，本節計算了激振頻率從0 到1500 Hz 的垂向單位諧振荷載以60 km/h 的速度沿鋼軌中心線運動時，TRD 安裝前后鋼軌跨中位置處（拾振點坐標為24 m）的時域垂向位移響應峰值，如圖9所示。圖10 和11 分別給出了激振頻率為250 Hz 和700 Hz（與TRD 自振頻率相同）時的垂向移動單位諧振荷載作用下鋼軌振動響應時程和頻譜圖，進一步探究TRD 的作用效果。

圖9 安裝TRD 前后不同頻率移動諧振荷載作用下的鋼軌跨中處時域位移響應最大值Fig.9 Rail’s vertical displacement amplitude in the time do?main under moving vertical harmonic load with differ?ent frequencies with or without TRD

圖10 激振頻率為250 Hz 的移動諧振荷載作用下的鋼軌跨中處振動響應圖Fig.10 Vertical dynamic response of the rail at mid-span point under a vertical moving harmonic load（f=250 Hz）

圖11 激振頻率為700 Hz 的移動諧振荷載作用下的鋼軌振動響應圖Fig.11 Vertical dynamic response of the rail at mid-span point under a vertical moving harmonic load（f=700 Hz）

從圖9～11 可以看出：

（1）移動諧振荷載作用下，荷載激振頻率對鋼軌動力響應有顯著影響。以鋼軌的自振頻率為界，當移動荷載的激振頻率小于鋼軌的自振頻率時，鋼軌的時域振動響應峰值隨荷載激振頻率的增大而增大；當荷載激振頻率大于軌道系統自振頻率時，鋼軌的時域響應最大值隨荷載激振頻率的增大而減小。當移動荷載的激振頻率在軌道pinned?pinned 共振頻率附近，鋼軌的振動時域響應最大值得到顯著提高。

（2）安裝TRD 后，當移動荷載的激振頻率小于鋼軌的自振頻率時，鋼軌振動的時域響應最大值有一定程度的增加；當移動荷載的激振頻率大于鋼軌自振頻率時，TRD 的安裝明顯減小了鋼軌時域振動響應峰值。且當移動荷載的激振頻率等于TRD 的自振頻率和軌道系統的pinned?pinned 共振頻率時，TRD 對鋼軌振動時域響應最大值的抑制作用更為顯著。

（3）當移動荷載激振頻率與TRD 的兩階自振頻率相同時，曲線鋼軌在時域內的振動響應時長和幅值均明顯減小，TRD 的減振效果顯著。

（4）由頻譜圖可知，安裝TRD 后，鋼軌振動響應峰值減小，且鋼軌在TRD 自振頻率附近頻段內的振動響應呈現減小的趨勢；在遠離TRD 自振頻率的頻段中，鋼軌的振動響應在安裝TRD 前后變化不明顯。

4 結 論

（1）TRD 對由于離散支承引起的曲線鋼軌pinned?pinned 共振具有明顯的抑制作用，同時能夠有效降低曲線鋼軌在TRD 自振頻率附近頻段內的振動響應。

（2）安裝TRD 后，軌道系統的垂向鋼軌振動衰減率在較大頻率范圍內得到提升。在TRD 的自振頻率以及鋼軌的一階pinned?pinned 共振頻率處，鋼軌的振動衰減率顯著提升，軌道系統的阻尼得到有效地提高，對減小鋼軌振動有積極作用。

（3）TRD 的安裝能有效抑制橫向荷載作用下鋼軌的垂向振動響應，且其對半徑不同鋼軌的垂向振動響應均有一定的抑制效果。

（4）垂向移動諧振荷載作用下，隨激振頻率的增加，鋼軌在時域內振動的垂向位移響應峰值先增大后減小。當荷載激振頻率高于軌道自振頻率時，TRD 對軌道振動呈現抑制效果；且當荷載激振頻率與TRD 自振頻率、軌道pinned?pinned 共振頻率相等時，TRD 對鋼軌振動的抑制效果尤為顯著，鋼軌振動時長和幅值均明顯減小。