高溫高壓高產氣井油管柱三維非線性流致振動模型

郭曉強，李 瀟，柳 軍，方達科，黃 亮，魏安超，王國榮

（1.西南石油大學機電工程學院，四川成都 610500；2.中海石油（中國）有限公司湛江分公司，廣東湛江 524057）

引 言

隨著淺層油氣資源的日益減少，中國鉆井、完井工藝不斷向高壓、高溫和復雜的深部地層方向發展，以高產的開采方式才能夠滿足當前的需求。與常規氣井油管柱相比，三高氣井（地層孔隙壓力大于69 MPa，溫度高于150oC，產量高于120 萬方/天［1］）油管柱將面臨更大的風險，主要表現為管內高速流體誘發油管的非周期性劇烈振動，將增加其軸向載荷，引起屈曲變形，更加容易導致油管發生疲勞、磨損等失效［2］。一旦油管柱發生破壞，將被迫井下作業，甚至導致井筒報廢，造成重大的經濟損失和環境污染。

國內外學者針對內流引起的管道振動問題開展了相應的研究，并取得了一些成果。早期學者針對內流作用下的輸流管道振動問題開展了初步研究［3］，通過試驗驗證了內流對輸流管道的動力響應有顯著影響［4］。隨后，諸多學者針對管道振動模型開展了研究，建立了流體作用力的計算方法［5］、管柱縱向振動［6］、橫向振動［7］以及流固耦合振動模型［8］，以上模型主要集中在單個方向的振動，且主要適用于輸流管道，無法有效分析油氣井開采管柱的振動響應。近年來，桑松等［9］發現細長結構的縱橫向耦合效應明顯，不可忽略；邢譽峰等［10］針對結構的縱橫向振動問題，建立了結構的縱橫向耦合振動方程；Liu 等［11?12］考慮幾何非線性因素，建立了海洋立管的縱橫向耦合振動模型；針對油套管非線性接觸碰撞問題，文獻［13?15］主要集中于鉆柱?套管、油管?套管、換熱管束?支承板之間的接觸載荷研究，提出了管柱屈曲后接觸力的靜態計算方法和換熱管束動態碰撞力計算方法。同時在前期研究中［16］，建立了高產氣井油管柱雙重非線性振動模型，重點考慮了管內流體和油套管接觸碰撞作用，且屬于二維振動模型，能夠有效分析由于井斜角變化引起的流致振動響應，忽略了高溫高壓對管柱振動的影響，以及方位角變化引起的流致振動響應，具有一定的局限性。對于高溫高壓氣井管柱安全性的研究，文獻［17?18］主要考慮井筒溫度和壓力變化引起的附加應力，提出了管柱“四大效應”變形理論。但忽略了油管柱內部流致振動引起的附加應力。

隨著中國南海高溫高壓高產曲井（定向井和水平井）的大力開發，面臨著作業困難、管柱失效率高等問題，亟需開展三高氣井油管柱三維非線性流致振動模型研究，以指導現場管柱的設計及作業參數的優化配置，保障中國南海高溫高壓高產氣井的安全開采。所建模型包含的主要創新為：①模型考慮油管柱的三維振動，即縱向振動和兩個橫向振動。主要原因是目前中國南海東方、陵水以及樂東等區塊主要采用的深井（井深大于4500 m）、曲井（定向井、大斜度井以及水平井），在這些復雜的氣井中，油管柱屬于大長徑比結構，易發生縱橫向耦合效應，為此不能忽略管內氣體引起的縱橫向耦合振動；同時其井眼軌跡復雜，方位角和井斜角變化較大，容易影響管柱兩個橫向方向的振動，二維振動模型無法滿足其精度要求。②模型考慮高溫高壓對管內氣體的影響，中國南海高溫高壓氣田井底溫度達151oC，壓力達65 MPa，易導致管內氣體密度和流速隨井深方向發生變化，進而影響管柱的振動，如考慮管內氣體為恒定的流速將與現場不相符，導致分析的振動響應也不準確。

1 油管柱三維非線性流致振動模型

1.1 振動控制方程

三高氣井以定向井和水平井為主（如圖1（a）所示），井斜角和方位角隨井深發生變化，當管內高速氣田流動時，將產生沖擊載荷誘發油管縱橫向三維振動。為此，采用能量法結合哈密頓原理建立油管微段的三維縱橫向耦合振動控制方程，由于油管微段很短，視為直段，建立以豎直向下為z軸的正方向，水平向右方向為x軸的正方向，y軸滿足右手定則的直角坐標系（如圖1（b）所示）。在建模之前，作了如下假設：

圖1 三高氣井油管柱井身結構和微段坐標系Fig.1 Wellbore structure and micro segment coordinate sys?tem of tubing string in 3H gas wells

（1）油管掛將海水段與地層段分開，重點建立地層段油管柱流致振動模型；

（2）將管內高速氣井視為單一氣體，重點考慮氣體因井筒溫度壓力變化而引起其密度、流速的變化，忽略氣體在井筒流動過程中的相態變化。

基于以上假設，把油管簡化為均勻的Rayleigh梁，考慮縱橫耦合，其格林應變為［11］

式中εij(i，j=x，y，z)為6 個應變分量；u1，u2，u3為與坐標系（x，y，z）對應的位移場函數，其表達式為：

式中υx，υy，υz分別表示油管在x，y，z方向上的位移（m）；x，y為橫坐標（m）；t為時間（s）。

管內氣體速度V的水平分量和垂直分量分別為vx=+Vυ′x，vy=+Vυ′y，vz=V。得油管柱總動能T、勢能U和外力做功W的表達式為：

式中ρυ為油管的密度（kg/m3）；mυ，m0分別為單元長度油管和氣體的質量（kg）；分別為油管三個方向位移隨時間的一階導數；υ′x，υ′y和υ″x，υ″y分別為油管橫向位移隨z的一階導數和二階導數；A為油管橫截面積（m2）；V為管內氣體速度（m/s）；I為油管的慣性矩（m4）；E為油管彈性模量（Pa）；f(z，t)，p(z，t)和q(z，t)分別為油管的x，y，z方向上的外力（N）。

由于油管是標準的圓柱體，積分滿足以下公式

實際油管上端為油管掛，下端為封隔器，把上下端視為固定端，初始時刻油管不發生振動，可得模型的邊界條件和初始條件為：

1.2 載荷分析

三高氣井油管在生產作業過程中，誘發其振動的外載荷主要包括管內高速氣體的沖擊載荷和油套管的接觸碰撞載荷，而影響管內氣體沖擊載荷的因素包括井眼軌跡和井筒溫度壓力，為此，需建立三高氣井油套管接觸碰撞載荷計算方法、氣體沖擊載荷計算方法、井眼軌跡插值方法和井筒溫度壓力場計算方法，為油管模型的求解奠定載荷基礎。

1.2.1 油套管非線性接觸載荷

采用彈塑性力學理論［19］，建立油套管接觸載荷計算方法。其變形結構如圖2所示，油管發生碰撞后，油管上的A2點變形到套管上的A1點。由幾何關系得：

圖2 油套管接觸變形示意圖Fig.2 Contact deformation between the tubing and casing

式中R1，R2分別為套管和油管的半徑（m）；z1，z2分別為套管和油管接觸點到套管內壁的徑向距離（m）；r為接觸點到油套管軸心的水平距離（m）。

在力的作用下，套管和油管發生變形，它們之間的形變為δ，并產生了寬為2b的接觸帶。套管和油管在接觸后沿徑向產生的位移分別為ω1和ω2，由幾何關系可得：

式中δ為油套管接觸后產生的形變（m）；z2-z1為油套管接觸邊緣點移動的徑向位移（m）；ω1，ω2分別為套管和油管接觸后徑向產生的位移（m）。

若接觸帶的寬度比油管的半徑小很多時，則每個油管都可以近似地當作彈性半平面來考慮，由文獻［19］可得到ω1和ω2的計算公式：

式中F為油套管接觸力（N）；2b為油套管接觸帶寬度（m）；E1，E2分別為套管和油管材料彈性模量（Pa）；μ1，μ2分別為套管和油管材料泊松比；q(x)為套管和油管均布載荷（N）。

假定q(x)是與以直徑2b所作的半圓弧的縱坐標成比例，得［19］：

將E1=E2=E，μ1=μ2=0.3 以及公式（11），（12）代入式（10），化簡得油套管接觸載荷和摩擦力計算方法；

式中f為油套管摩擦力（N）；μ為油套管的摩擦系數，可由摩擦試驗或材料手冊確定［20］。

詳細推導見前期研究工作［16］

1.2.2 管內高速流體沖擊載荷

當管內高速氣體經過井斜角變化區域時，對油管柱產生沖擊載荷（如圖3所示），引起油管振動。

圖3 管內高速氣體沖擊載荷示意圖Fig.3 Schematic of the impact load by high-speed gas

根據流體力學［21］可知管內氣體沖擊載荷計算方法：

式中ρ0為氣體密度（kg/m3）；A0為井筒橫截面積（m2）；α1，α2分別為上下微段的井斜角（rad）；φ1，φ2分別為上下微段的方位角（rad）；Fx，Fy，Fz為x，y，z方向的氣體沖擊力（N）。

由于氣體沖擊載荷與井眼軌跡有關，為此，采用三次樣條插值方法［22］可求出任意井深處的井斜角和方位角，區間[sk-1，sk]（k=1，2，…，N）上井斜角函數α(s)具體表達式為：

1.2.3 井筒溫度壓力場

三高氣井井筒溫度壓力隨井深發生變化，引起管內氣體流速、密度發生變化，從而導致油管柱不同位置處的沖擊載荷發生變化，需建立井筒溫度壓力場計算方法，確定管內高速氣體在不同井深處的流速和密度。根據前期的研究工作［23］得到井筒溫度、壓力、流速和密度耦合計算方法：

式中T，p，V，ρ0分別為井筒溫度（oC）、壓力（Pa）和氣體流速（m/s）、密度（kg/m3）；ke，Ua分別為地層導熱系數和井筒總導熱系數（W/m ?℃）；Tei為地層溫度（oC）；rco為套管外徑（m）；ft為瞬態傳熱時間函數；Zg為天然氣壓縮因子，采用Gopal 方法［24］；R為氣體常量（J/（mol·k））；M為氣體摩爾質量（kg/mol）；cp為定壓比熱（J/(kg ?K)）；wi為流體質量流量（kg/s）；α為井斜角（rad）為氣體摩阻壓力梯度。基于現場提供的井底或井口溫度壓力數據，采用四階龍格?庫塔法數值求解出井筒不同位置處的溫度、壓力、流速和氣體密度。

1.3 模型求解

1.3.1 有限元離散

采用拉格朗日函數和三次埃爾米特函數表示油管x，y，z方向位移，其有限元離散形式為：

把位移函數式（18）代入單元油管振動控制方程（7）中，得系統的離散形式動力學方程：

式中D，M，C，K和F分別為系統的位移矩陣、質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣和載荷列向量。其表達式為：

1.3.2 迭代求解

由于模型考慮的非線性因素過多，只用New?mark?β 法進行逐步積分，會導致求解精度下降，不易收斂。為此，采用增量形式的Newmark?β 法和Newton?Raphson 法聯合求解。首先給出ti和ti+1時刻的控制方程：

由ti+1減去ti時刻的運動方程可得其運動的增量形式的平衡方程：

式中

當時間步長Δt取得足夠小時，認為在ti-ti+1區間內系統為線性的，如圖4所示，即：

式中ksi為ti，ti+1點之間的割線剛度。

則增量形式的平衡方程為：

采用增量形式的Newmark?β 法逐步積分求解：

式中

求得Δui后，計算ti+1時刻的總位移：

利用ti+1時刻的位移，計算ti+1時刻的加速度和速度：

為提高Newmark?β 法的求解精度，采用Newton?Raphson 法對其位移進行進一步矯正，提高求解精度，圖4表示Newton?Raphson 法迭代原理圖，在Newmark?β 法逐步迭代的過程中，對等式（28）用其可求得以后再進行了l次迭代計算，位移疊加得：

圖4 Newton-Raphson 法迭代原理示意圖Fig.4 Schematic of Newton-Raphson method iteration principle

圖5 油管柱三維非線性流致振動模型求解流程圖Fig.5 Flow chart of solving 3D nonlinear flow induced vibration model of tubing string

1.4 模型驗證

由于無法從現場獲得有效的振動數據驗證所建模型的正確性，故借助模擬試驗方法驗證模型的正確性。根據中國南海某氣田的實際情況（產量200 萬方/天，地層壓力54.93 MPa，地層溫度151.14 ℃，常溫25 ℃，標準大氣壓0.1 MPa），通過氣體狀態方程，確定管內模擬氣體速度，得到模擬試驗參數（如表1所示），搭建了油管柱模擬試驗臺架，如圖6所示。

圖6 試驗系統結構圖Fig.6 Structure of experimental system

采用建立的非線性振動模型，設置與模擬試驗參數一樣（如表1所示），采用模擬試驗臺架結構，其中油管分為300 個單元，模擬總時間為70 s，步長為0.001 s，提取了4 個位置處（與試驗中安裝傳感器的位置相同）的振動響應。

表1 模擬試驗參數Tab.1 Simulation test parameters

由圖7和8 可知，通過非線性振動模型計算和試驗測量所得到油管橫向振動幅值和振動頻率基本一致，其中兩種方法都表明位移響應存在50 s的瞬態響應，試驗結果的高頻分量相對較多，主要由于實驗環境因素的干擾。由幅頻響應曲線可知油管在0～2.0 Hz 范圍內的振動能量較大，主頻率集中在1.5 Hz 左右。如表2所示，理論模型計算結果和實驗測量結果精度高于92%，相對于二維非線性振動模型（對比精度高于88%）［25］的對比精度提高了4%。驗證了所建立的三維非線性流致振動模型的正確性及有效性。

表2 理論計算結果與模擬實驗結果對比表Tab.2 Comparison of theoretical calculation results and simulation experiment results

由圖8可知，實驗測量結果與理論計算結果在低頻段和高頻段存在誤差，其中低頻段存在誤差（靠近臺架固定位置，測點2 和測點7）的主要原因是外界振動的干擾，由于實驗場地存在其他實驗儀器，在測量時，其他儀器運行產生的振動引起實驗結果在低頻段的幅值較大，理論模型無法考慮外界因素，其幅值相對較小。而在試驗測點3 位置處恰好存在一個接頭，其外徑略大于管柱的外徑，阻礙了管柱的振動，導致此位置處的幅值反而更小。在管柱高頻段振動區域，實驗測量結果小于理論模型計算結果，其主要原因是實驗采用了小波分析法處理了實驗數據，將能量小的高頻振動進行了過濾處理，使得其幅值較小。以上外界原因對主頻率的振動幅值影響較小，主要原因是管柱的主頻振動包含了整個管柱振動的能量，反映了管柱主要振動響應特性及振動趨勢，為此，對比主頻率的幅值能夠有效驗證模型的正確性。

圖8 油管不同測點的橫向振動幅頻響應曲線Fig.8 Amplitude-frequency curve of the transverse vibration of tubing string corresponding to different positions

2 案例分析

根據中國南海M 三高氣井的井眼軌跡（如圖9（a）所示）、井身結構（如圖9（b）所示）及參數（如表3所示），計算得到井筒溫度壓力分布曲線（如圖9（c）和（d）所示），預測了三高氣井油管柱振動情況，揭示了三高氣井油管柱非線性振動特性，具體分析如下。

表3 中國南海M 三高氣井計算參數Tab.3 Calculation parameters of M 3H gas well in South China Sea

根據管柱的空間振動軌跡（如圖10（a）所示）和平面振動軌跡（如圖10（b）所示），再結合圖9（b）管柱的井深結構，可知直井段管柱的橫向振動最明顯，其次造斜段，再次下部穩斜段，最后是中部管柱，且中部管柱長時間緊靠套管壁做x?y平面的振動，易導致油管柱在此位置發生摩擦磨損失效；同時表明，當現場油氣井的方位角發生顯著變化時，僅考慮管柱縱橫兩個方向的振動，對管柱的磨損分析將不太精確，需考慮管柱的三維振動引起的縱向和橫向的振動磨損。同時表明中下部管柱的磨損比上部磨損將更加嚴重，現場需重點關注中下部管柱的磨損安全性。

圖9 中國南海M 三高氣井井眼軌跡、井身結構及井筒溫壓曲線Fig.9 Well trajectory，wellbore structure and wellbore temperature pressure curve of M 3H gas well in South China Sea

圖10 油管柱不同時刻振動軌跡圖Fig.10 Vibration trajectory of tubing string at different time

圖11 為不同位置處管柱三個方向的振動響應曲線，圖11（a）和（b）同樣表明，上部管柱的x方向振動明顯，且在套管間來回振動，振動頻率顯著高于其他位置；存在兩主振動頻率，中下部管柱的振動情況復雜，但振動頻率很小，主要集中于0～0.3 Hz 之間，由于雙封隔器的作用，底部油管緊靠于套管壁上。

由圖11（c）和（d）可知，上部油管y軸方向的振動同樣最明顯，振動頻率比x軸方向的振動更加復雜，其主要原因是M 氣井的方位角變化比井斜角變化明顯，使得氣體在y軸方向的外激勵也變得更加復雜。同時發現油管橫向振動的頻率都集中于0～1.2 Hz，屬于復雜的低頻振動。

圖11（e）和（f）為三高氣井油管柱縱向振動位移和幅頻響應曲線，由于上端為油管掛，下端為封隔器，都為固定端，使得管柱的縱向位移呈現上下兩端形變小，中間形變大的情形，其中形變量包含了油管自重的靜態形變，但振動幅值在中下部最大，導致管柱的軸力及交變應力在中下部最大，將引起下部油管的磨損和疲勞損傷最大。再次表明，中下部油管的安全性最小，現場設計人員需重點關注。

圖11 不同位置油管柱振動響應圖Fig.11 Vibration response of tubing string at different positions

圖12 為不同位置油管縱向方向相軌跡圖，由圖可知，不同位置油管都出現混沌振動現象（其相軌跡圖呈現多層的封閉環，且出現局部密集現象，即局部吸引子），其中上端和下端的混沌振動更加明顯，其主要原因是所建立的模型是縱橫向耦合模型，即縱向振動和橫向振動相互影響，相互牽制，由前面分析可知，上下段油管的橫向振動更加劇烈，中部及中下部管柱橫向振動很小，導致上下兩端的混沌現象更加明顯，由此表明，下一步研究將重點采用混沌理論分析管柱的非線性行為，找出外界參數對油管Hopf分岔性質的影響，有效控制油管柱的混沌振動，為現場油管柱優化設計奠定理論基礎。

圖12 不同位置油管柱縱向方向相軌跡圖Fig.12 Phase trajectories in longitudinal direction of tubing string at different positions

3 結論與建議

針對三高氣井流體誘發油管柱振動失效問題，采用理論與實驗相結合的方法，開展了油管柱三維非線性流致振動模型研究，探究了油管柱振動響應特性，形成了以下結論及建議：

（1）采用能量法、微元法結合哈密頓原理建立了三高氣井油管柱三維非線性流致振動模型，模型考慮了井眼軌跡變化、井筒溫度壓力變化和油套管非線性接觸碰撞等因素，由于模型考慮的非線性因素復雜，其求解異常復雜，故采用拉格朗日函數和三次埃爾米特函數離散振動控制方程，并借助增量形式的Newmark?β 法和Newton?Raphson 法聯合迭代求解離散后的控制方程，實現了三高氣井油管柱三維非線性振動模型的數值求解；搭建了模擬實驗臺架，測得油管柱橫向振動位移和幅頻曲線，驗證了油管三維非線性流致振動模型的正確性。

（2）采用所建立的油管柱三維非線性振動模型，借助中國南海M 三高氣井實例井參數，分析了油管柱的振動特性，發現上部油管三維空間橫向振動明顯，而中下部油管長時間緊靠于套管壁上發生振動，導致下部油管易發生縱向和橫向的磨損，需重點關注此位置的磨損。由于套管的約束作用，油管柱橫向振動幅值遠小于縱向振動幅值，但其橫向振動頻率比縱向振動頻率復雜，故不能忽略油管橫向振動。同時發現油管縱向振動出現混沌現象，且中下部位置油管混沌現象最明顯，因此，現場設計人員需重點關注下部油管柱的安全性。

（3）目前研究集中建立了油管柱三維非線性振動模型，對油管柱振動失效機理還未開展，建議后期可重點開展三高氣井油管柱疲勞、穩定性及摩擦磨損分析方法研究，探究三高氣井油管柱振動失效機理，提出更加全面的安全控制方法。