在活動中思考 在思考中體驗
——以蘇科版八（上）“全等三角形”教學為例

■楊牛扣

數學概念是數學教學的核心，是學生思考問題、解決問題的源泉。學生數學能力的提升，本質上取決于對數學概念理解的深刻程度。“全等”是初中數學最為基礎的概念，也是核心的概念之一，是相似等概念的基礎。筆者在平時的教學實踐中，力求通過具體的教學活動，借助圖形運動與演繹推理的有機結合，引導學生在活動中思考，在思考中體驗，提升思維水平，更好地感受知識價值，獲得“情感、態度、價值觀”等方面體驗的同時，凸顯核心素養。

一、創設情境，引入概念

（多媒體展示一些全等圖形的圖片。）

師：觀察這些圖片，找一找它們共同的特征。

生1：形狀一樣。

生2：它們一樣大。

生3：成軸對稱。

師：同學們很聰明！確實，它們的形狀和大小完全一樣。你能再舉出生活中的一些類似例子嗎？

（師生活動，相互補充。）

設計意圖：借助現實生活中實物的圖片，讓學生抽象出形狀、大小完全一樣的幾何圖形，在對周圍環境直接感知的基礎上生成新知識，建立形象直觀的數學概念模型。

二、動手實踐，生成概念

1.在實踐活動中，動手感知全等三角形形狀、大小的“定”。

師：請同學們在復寫紙上畫個三角形。因為我們用的是復寫紙，所以我們可得到兩個三角形。用剪刀剪下這兩個三角形，觀察它們有何關系？

（學生動手操作，對比，交流。）

師：請用語言歸納這兩個三角形有何關系？

生4：它們大小相同，形狀一樣。

生5：兩個圖形能夠重合。

師：再操作看看，用一個更貼切的詞描述。

生（齊答）：是完全重合。

師：同學們太棒了！在數學中，我們把兩個完全重合的三角形叫作全等三角形（教師展示全等的△ABC與△DEF）。在數學里，用符號“≌”表示全等，△ABC與△DEF是全等三角形，就記作“△ABC≌△DEF”，讀作“△ABC全等于△DEF”。

2.在變化過程中，正確識別全等三角形對應元素的“等”。

師：那么，同學們再細心觀察一下，全等的△ABC與△DEF各元素有何對應關系？

（學生以小組為單位進行觀察。）

生6：我發現點A與點D，點B與點E，點C與點F重合。

生7：我發現邊AB與邊DE，邊BC與邊EF，邊AC與邊DF重合。

生8：我發現∠A與∠D，∠B與∠E，∠C與∠F重合。

師：很好，同學們發現問題的能力都比較強。全等三角形有嚴格的對應關系，我們把對應重合的頂點稱為對應頂點，對應相等的邊稱為對應邊，對應相等的角稱為對應角。

師：由此，我們可以知道兩個三角形全等最顯著的特點。

生（齊答）：對應相等。

師：太棒了！在數學中，為了清晰準確表示這樣的對應“等”，你認為用“≌”符號書寫時應該注意什么？

生9：一一對應，不能出錯。

生10：對應著寫。

生11：點的對應就是角的對應，也就是邊的對應，要對應著寫。

師：同學們講得太好了！是的，必須對應著寫，這樣能直接看出對應相等的關系。這樣的對應關系也體現了全等三角形對應相等的“唯一性”。

師：“≌”是全等符號，“∽”表示形狀相同，“=”表示大小相等。利用全等符號，我們可以這樣寫出幾何語言：

∵△ABC≌△DEF（已知），

∴AB=DE，BC=EF，AC=DF（全等三角形的對應邊相等），

∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的對應角相等）。

3.在互逆活動中，對比理解全等三角形本質特征的“動”。

師：請同學們拿出準備好的素材，自己動手進行圖形的變換，并請思考三角形在平移、翻折、旋轉變換的前后是否全等？

生12：都是全等的。

生13：三角形經過平移、翻折、旋轉，位置變了，但形狀、大小沒變。

生14：三角形變換前后的圖形是全等的。

師：同學們能說出它們的對應頂點、對應邊和對應角嗎？

（學生逐一回答。）

師：換一種思路，改變其中一個三角形的位置，怎么使它與另一個三角形重合？

生15：第一個圖經過平移。

生16：第二個圖經過翻折。

生17：第三個圖經過旋轉。

師：非常好！通過這兩個互逆的活動，大家應該感受到了圖形的運動可以幫助我們認識、理解幾何圖形。

設計意圖：本環節是課堂教學的重點。筆者設計了3 個層次的活動，力求讓學生通過“畫、剪、比對”，經歷動手操作、觀察實驗、歸納等探究過程，深刻理解全等三角形的概念。第一層次，學生通過動手實踐活動，直觀感知全等三角形形狀、大小的“定”，得到全等三角形的基本概念。第二層次，學生以小組為單位動手比對，找出全等三角形對應角、對應邊相等的關系式，培養學生的語言表達和抽象思維能力，同時，教師規范幾何語言的呈現，引導學生學會圖形語言、文字語言、符號語言之間的互相轉化。第三層次，學生在動手實踐中體會三角形變換前后的“定”，會用圖形運動去認識、理解幾何圖形，從而提升合情推理和簡單演繹推理的能力。

三、啟發嘗試，應用概念

問題1：如圖1，已知△OCA≌△OBD。你能找出對應相等的量嗎？這兩個三角形通過什么樣的變換可以重合？

圖1

問題2：如圖2，已知△ABN≌△ACM，若BM=10cm，則CN的長為______；若∠B=40°，則∠C的度數為______；若∠B=40°，∠MAC=80°，求∠ANB的度數。

圖2

問題3：如圖3，若△EFG≌△NMH。

圖3

（1）FG與MH平行嗎？為什么？

（2）求證：EH=NG。

師生一起分析解答。

設計意圖：通過這組變式訓練，強化學生對全等三角形概念的理解，培養學生初步運用全等三角形概念、性質解決問題的能力。3 道題目隱含圖形的運動，滲透利用圖形運動解決幾何問題的思想。通過變化兩個全等三角形的位置，將全等三角形的概念、性質與相交線、平行線、三角形內角和等知識相結合，培養學生綜合解題的能力。

四、課堂小結，強化概念

教師利用思維導圖（圖略），逐行呈現知識點。

設計意圖：利用思維導圖梳理所學內容，圖文并茂地詮釋全等三角形概念的內涵和外延。這樣歸納，學生易于接受，也易于對知識點進行消化理解。

五、教學反思

1.正確理解基本概念教學的三維目標。

概念教學之初，首要的是科學確定符合實際的三維目標。三維目標的三個維度相互交融，相互統一，都指向人的發展。所以，課堂教學首先關注的不是“學生要學什么”，而是“學完本節數學課，學生將獲得什么發展”。基于此，在概念教學中，教師必須正確理解教學內容，以數學知識和技能為載體，制定恰當的三維教學目標。全等三角形是最基本的全等圖形，對于其基本概念、性質的教學，筆者設計了基于生活情境的探究活動，制定了讓學生厘清全等意義的“知識與技能”目標；引導學生邊做邊交流反思，制定了提升學生思維水平的“過程與方法”目標；考慮積極的情感、態度，制定了從生活升華至數學的“情感、態度與價值觀”目標。這樣的三維目標在課堂教學中發揮著真正的定向作用，效果躍然紙上。

2.注重設計基本概念教學的探究活動。

章建躍博士說過，“數學在根本上是玩概念的，只有圍繞數學概念的核心展開教學，才能實現有效教學”。筆者的理解，這里的“玩”就是數學概念教學中探究活動的開展。在教學中，教師開展有效的探究活動，能夠激發學生的學習興趣和好奇心，而好奇心恰恰是構成核心素養的重要內容。學生在探究活動中獲得愉快的體驗，好奇心得到滿足，培養了良好的學習品質，激發了求知動力，自然就能引發學生大膽進行探索活動，深化對概念的理解。本節課的教學，盡管知識點不多，也不難，但要讓學生實現從具體到抽象，從感性上升到理性，有效的探究活動必不可少。教學一開始，筆者帶領學生到生活中尋找全等圖形，不斷追問：“全等圖形美不美？”“兩個三角形全等與位置有關嗎？”“全等三角形對應元素之間有什么關系？”“怎樣運動來驗證全等三角形的對應相等？”“全等三角形能幫助我們解決什么問題？”在一連串的追問下，學生通過親手實踐，厘清了概念，消解了困惑，拓展了思維。

3.重視滲透基本概念教學的內涵、外延。

學生對數學概念的掌握程度會受到許多因素的影響。在教學中，筆者力求讓學生體驗概念的形成過程，把概念放到相應的概念體系中，追本溯源，了解它的來龍去脈，不僅要知道學習這個概念需要什么樣的基礎，還要知道它以后能干什么，從而形成結構完整的概念體系。全等三角形的概念，是在前期學習了線段、角以及平行線的相關知識之后的內容，而后續全等三角形的判定方法、相似三角形、四邊形的學習也是基于全等的概念展開的，這些概念之間存在一定的邏輯關系。講解時，筆者有意識地借助圖形的運動去幫助學生認識、理解幾何圖形，進一步夯實學生對線段、角、平行線的知識，為學生接下來識別復雜圖形中的全等三角形以及四邊形、圓提供有效的指引。

總而言之，在數學概念教學中，充分把握概念的本質，回歸基本概念，積極創造條件，讓學生在做中學，在學中做，多種感官協調統一，滲透數學思想方法，是“雙減”背景下實施有效概念教學的根本途徑。