基于GeoGebra對2021年全國新高考Ⅰ卷數學第21題的分析與思考

◎吳啟霞 （廣東省清遠市華僑中學，廣東 清遠 511538）

2021年全國新高考Ⅰ卷，進一步深化了對“立德樹人”這一根本任務的考查要求.2021年全國新高考Ⅰ卷的設計進一步從“考知識”向“考能力”轉化，尤其加強了對創新能力與批判性思維能力的考查.以“一核、四層、四翼”為主體內容的高考評價體系，意味著高考命題和評價的新標準已然確立，高考指揮棒的指揮方向發生了根本性的轉變，它將深刻地影響每位考生和一線教師，也必將助推中國基礎教育改革邁向縱深.2021年的全國新高考Ⅰ卷重視數學本質，突出理性思維，聚焦核心素養，考查關鍵能力，穩步推進改革，倡導理論聯系實際，科學地把握了必備知識和關鍵能力的關系，利用真實問題情境，加大了開放題的創新力度，科學地把握了數學題型的開放性和數學思維的開放性，很好地體現了數學思想、數學方法在解決實際問題中的價值和作用，穩中求新，對深化中學數學教學改革發揮了積極的導向作用.這既是一份中學數學教師喜聞樂見的“標準卷”，又是一份突出通性通法、落實四基四能的“方向卷”.整份卷子難度適中且保持穩定，梯度分布合理.總而言之，這是一份質量很高、引導性很好的試卷，它啟發我們：對于2022年高考備考，要按部就班地培養學生的學科素養，認真抓落實就是最好的方式，“過程”落實了，“結果”也就瓜熟蒂落了.本文以2021年全國新高考Ⅰ卷數學第21題為例，通過GGB軟件分析解決問題的動態過程，深入剖析該題.

一、真題再現與賞析

（1）求的方程；

【題型分析】

又，皆為正根，

∴由弦長公式可得：

即（+）（-）＝0，

顯然≠，

∴+＝0，

即直線的斜率與直線的斜率之和為0.

【題目賞析】

本題主要考查雙曲線的定義及其標準方程，以及直線和雙曲線之間的位置關系等基礎知識，同時考查學生分析問題、解決問題與運算求解的能力，包含著對通性通法的常規考查，如：聯立方程組、韋達定理、弦長公式，可謂“一按三連鍵”.

第一問直接用雙曲線的定義和+＝即可求出雙曲線的標準方程.

二、GGB動態實驗探究，追本溯源

（一）對學生答題的思考

（二）利用GGB進行動態實驗探究

圖1

結論：已知，是雙曲線的兩條弦，它們所在直線的斜率分別為，，則，，，四點共圓的充要條件是+＝0.據此我們在感嘆結論如此神奇的同時，又欲罷不能地借助GGB軟件繼續探索任意橢圓、雙曲線、拋物線與圓相交于四點的情況，分別如圖2、圖3、圖4所示.

圖2

實驗探究成果：若橢圓與圓有四個交點，四點兩兩連線，則對應邊直線的斜率必互為相反數.

圖3

實驗探究成果：若雙曲線與圓有四個交點，四點兩兩連線，則對應邊直線的斜率必互為相反數.

圖4

實驗探究成果：若拋物線與圓有四個交點，四點兩兩連線，則對應邊直線的斜率必互為相反數.

根據探究結果，我們可以得出一般性結論，若圓錐曲線與圓相交于，，，四點，則四點構成的三組直線（與，與，與）斜率相反（若存在斜率），或者敘述為傾斜角互補.我們可以用八個字將其簡述為“與圓四交，叉連互補”.

（三）追本溯源，高考題背景的研究

（1）求橢圓的方程；

經過對比，發現這兩道高考題如出一轍，都源于人教A版選修4-4第38頁例4“如圖5所示，，是中心為點的橢圓的兩條相交弦，交點為兩弦，與橢圓長軸的夾角分別為∠1，∠2，且∠1＝∠2.求 證：｜｜·｜｜＝｜｜·｜｜”為背景進行命制的，這體現了高考題有源可溯這一特點.四點共圓的知識在數學學習中有著重要的意義，多年來，四點共圓問題在高考或數學競賽中頻繁出現，很多試題都是以“四點共圓”作為解題手段或解題目的，考查學生對平面幾何知識的掌握與運用情況的.備考過程中，教師要善于引導學生重視并學會歸納一些結論，從而快速解決高考或競賽題目.

圖5

三、運用GGB軟件進行教學的若干反思

（一）利用GGB軟件，激發學生的學習興趣

高中解析幾何模塊知識是高中數學的主要內容之一，解析幾何知識在歷年高考中具有舉足輕重的地位.然而在教學過程中，筆者發現學生對其概念的理解、軌跡的探索、數學結論的探究總是困難重重，學生的學習興趣很難被激發，解析幾何的課堂氣氛也不太理想，教學效率十分低下.一些生源較為薄弱的學校的數學教師，對解析幾何模塊的教學存在恐懼、茫然、不知所措的心態，甚至有一些教師認為與其將時間用在“無用”的數學解析幾何壓軸題型的教學上，倒不如給其他知識模塊讓路.但是筆者認為，如果高考回歸基礎和常規，學生在此模塊選擇了讓路，如果別的學校的考生在這個模塊選擇提升分數，那么這些“讓路的學生”就相當于隱性退步，這一策略可謂得不償失.因而我們一線教師還是要腳踏實地地做好這一模塊的教學工作.如能立足于功能強大的動態幾何軟件——GGB軟件，挖掘該軟件在解析幾何高中數學教學中的應用功能，就可以改善上述現狀.我們要充分利用GGB軟件的輔助功能，一方面教師在課堂上通過演示，當然條件允許的話部分環節也可以選擇讓學生自己操作，讓探究的過程引導學生體驗GGB動態教學軟件本身的趣味性.另一方面，在GGB環境支持下，以前教學過程中較為抽象的、學生難于理解的數學概念、數學定理、數學結論等也會較為容易地被學生理解.在整個學習過程中，學生學習的成就感油然而生，學習解析幾何的積極性自然也會被調動起來.因此，用GGB軟件整合解析幾何的教學，是激發學生學習興趣的一種很好的方式.

（二）讓數學變得簡單、直觀，提高學生的數學思維能力

高中生普遍認為，解析幾何的學習非常枯燥、煩瑣，很難.難在方法的多樣化、公式的煩瑣、運算的復雜上.解析幾何涉及的知識深廣，解題方法靈活多變，解題過程中會涉及大量的未知數設置、復雜的動點變換與代數運算，使得學生思維受阻，難以正確解題，甚至使學生望而卻步、見之生畏.從本文的高考題的問題解決過程中，我們發現壓軸高考題的思維量是相當大的，對此在課堂教學過程中，數學教師如果用GGB軟件去直觀地詮釋問題，鍛煉學生的思維能力，就會使得這類問題在學生眼中變得簡單而有趣.用GGB軟件充當解題的探究者，可以撥云見日般地助力問題解決，給我們的學生帶來一種成功的體驗和喜悅.

（三）為數學實驗提供了探索的平臺

GGB是國際上非常流行的數學教學平臺，功能十分強大，它能讓數學走入實驗室，所提供的動態的圖形可使數學問題可視化.而數學核心素養的培養正是在可視化的問題情境中，通過讓學生進行數學問題解決的實踐培育起來的.因而，借助GGB軟件清晰的動態變化和幾何直觀，可以帶領學生在數學的海洋中實驗探索，幫助學生感受數學的魅力，更好地啟迪學生的數學思維，開啟學生的智慧，培育學生的數學核心素養.透過現象看本質，教師在課堂上通過靈活地操作GGB繪制精準的動態幾何圖形，可以讓學生先猜后證，確定問題解決的方向，給學生提供形象、生動、直觀、靈活的問題情境，推動學生問題解決能力和創新實踐能力的發展.教師不僅可以將GGB運用在解析幾何中定點、定值、軌跡等問題的解決上，還可以將其運用到函數、數列、概率統計等問題的解決上.用好GGB，以可視化實驗引導學生，會為我們的教學帶來極大的方便，能夠啟迪學生認識數學對象的本質特征，構建認知情境，讓教與學更加豐富多彩.

（四）提高教師的教學效率，減輕學生的學習負擔

靈活地運用GGB軟件整合教學不但可以提高數學課堂教學的效率，還能有效減輕學生的學習負擔.例如，教師在圓錐曲線的定義及其標準方程、幾何性質的新授課上運用GGB整合教學，能夠讓學生親歷整個知識的探究過程，從而將知識的發生、發展過程動態地遷移到腦海里，加深對知識的理解程度.同時，GGB軟件本身易操作，且對知識的詮釋顯而易見.這些特征都能夠加快學生對知識的深度理解，從而提高學生的課堂學習效率，減輕學生的課后學習負擔.GGB軟件提供了很多便利的操作，若想快速掌握GGB軟件的基本操作方法，只需要掌握GGB平臺各項功能的“幾何輸入”方法；若想成為GGB軟件的操作高手，就需要掌握“代數輸入”的方法.另外，軟件本身也提供了豐富的資源，可供教師進行各種數學公式的編輯及各種函數、曲線圖形的構造.很多操作教師都可以在課堂上當堂完成，這就大大地減輕了教師備課時的課件制作負擔，讓教師即教即制圖，提高了教師教學工作的效率，有利于學生透過現象掌握數學的本質.

（五）為高中數學學習架起了數形結合的橋梁

從本文對2021年全國新高考Ⅰ卷數學第21題的探索中可以看出，GGB軟件在探索數學問題中，具備早在二十世紀九十年代就廣泛為數學教師使用的主流數學軟件的幾何畫板、超級畫板的大部分功能，而且與這些軟件相比，它還具備獨到的優勢，如數形同步顯示等.比如，對于本文中的高考題，通過GGB軟件進行展示，學生不僅能感受到四點共圓的優美性質，還能加深對問題本質的認識.我們用GGB軟件直觀地將幾種圓錐曲線與圓相交于四點的情形呈現給學生，隨著圓和圓錐曲線的不斷變換，四點構成的三組直線的斜率始終互為相反數，使學生從心底信服，從而產生非常深刻的印象.這一過程不僅奇妙，而且隱藏了規律，能夠引導學生揭開問題的面紗，激活學生的思維，讓其積極地通過代數運算探尋真相，從代數證明的角度對問題進行拓展，提高學生的數學思維能力.同一個數學對象，在GGB軟件環境下用數和形兩種方式同步顯示出來，這一動態過程實則是深入學習數學、思考數學，從思維上解決數學問題的過程，其中蘊含著數形結合的思想、解析幾何的原理.對于學生來說，借助GGB的教學可以讓其形成對數學問題、數學對象的多元表征.總之，用GGB軟件整合高中數學的教學有利于學生在心理上建立和強化數形結合思想，同時架起數形結合的橋梁，實現寓美于教、以美啟智的教學目標.