函數的單調性與極值教學策略分析與探究

◎葉美鳳 （江蘇省泰興中等專業學校，江蘇 泰興 225400）

函數的單調性與極值這部分內容是中職數學的一個重要組成部分，要求學生可以充分掌握其中的基本概念，并且可以通過求導、畫圖求某一函數的單調性與極值.這部分的內容主要包括：函數增減區間的界定、函數極值的概念、函數的最值問題、函數的求導方法等，需要數學教師在實際教學過程中實施有效的教學策略，使學生可以充分掌握函數的單調性與極值，從而有效促進學生的數學解題能力和邏輯思維能力的提高.

一、創設教學情境，激發學生學習興趣

目前，很多學生對函數單調性的概念不夠重視，也沒有深入研究其中所蘊含的意義，這就導致學生在解決函數單調性問題的時候會出現很多問題.因此，數學教師可以針對函數單調性的概念創設教學情境，充分激發學生對函數單調性的學習興趣，讓學生可以充分理解函數單調性的界定原理，以此為學生之后的學習奠定良好的基礎.

（一）視頻應用情境的引入

函數的視頻應用情境的引入，應該以學生生活為基礎，注重興趣激發，尋求數學在實際應用中的價值，建立起情境化的課堂引入方式，拉近數學與生活、數學與學生之間的距離，激發學生的學習動機，喚起學生的求知欲望，提升學生主動參與學習、主動參與課堂的信心.高中生有豐富的生活體驗，對于函數的認識有充足的生活案例和素材資源.教師可以據此進行教學設計及開展課堂教學活動.例如，教師可以通過上下樓梯的視頻、潮水漲落的視頻等讓學生尋找其中的相同點，構建“起落”“上下”“升降”“左右”等概念，再舉一反三，讓學生提供更多的相似個例，最終從合適的個例中引入教學主題“單調”.在各個案例中加入生活情境，可以讓學生學習知識，同時培養其健全的生活文化精神.例如，通過“天下奇觀”錢塘江大潮視頻，讓學生在思考的同時，感受大自然的壯麗多姿.

（二）圖片情境的應用

在教學“函數單調性概念”的時候，首先，教師可以用降水量的曲線圖來創設教學情境，向學生出示某地某日降水量隨時間變化而變化的曲線圖，讓學生仔細觀察曲線圖中給出的信息，以此引導學生找出該曲線圖中的規律.之后，教師可以讓學生找出這天最大的降水量及其對應時間，并總結在這天中哪個時間段降水量是逐漸增加的，以此讓學生初步接觸函數單調性的概念.這時，較為細心的學生就會快速回答：“早上9點的時候降水量最大，并且在早上6點到早上9點這段時間，降水量一直處于增加的狀態.”接著，教師可以反過來提問學生，讓他們再找找降水量減少的時間段.然后，教師就可以引入單調性的概念教學，使學生深度理解增函數與減函數的定義.最后，教師可以對函數單調性的概念進行總結，以再一次加深學生對這部分內容的理解和記憶.

（三）動畫情境的應用

圖片情境是靜態的，而動畫情境是動態的，動態的情境更容易吸引學生的興趣及注意力.在同一問題中，引入動畫情境設計教學過程，更加直觀、簡單，而且有效.例如，教師可以應用函數單調性動畫，通過軌跡變遷函數（如圖1），引導學生思考在這一段，函數的變遷特點是什么，從而引出單調升或單調降這一基本思想，讓學生深刻理解增函數與減函數的定義及理論內涵，建構分析與解決問題的思維框架.從函數動畫實現效果和便攜性考慮，選擇用Canvas來實現，實現原理較為簡單，調用Canvas的基礎接口API就可以很方便地生成.

圖1 軌跡變遷函數

圖2 希沃白板軟件交互函數

（四）交互情境的應用

交互情境，更加強調學生的參與性與主體性，體現了行知特征，讓學生在做中學、在動中學，構建行動導向的學習形態.交互，必須有構建的工具及軟件，智能觸摸交互屏及交互課件的應用是必備條件.交互情境的創設，對教師的技術要求較高，更加強調教師的教學思想的提升.例如，教師可以通過某一案例函數值，讓學生通過交互構建圖形，再實施交互分析，最終自己總結單調升或單調降的規律，從而理解增函數與減函數的定義，形成自己的分析與解決的邏輯思維方式，建立個人思考模型、學習模式，提高學習興趣，獲得學習能力增長.在希沃白板軟件中，打開“學科工具”，點擊“函數”，就可構建各類型函數圖像（圖2），通過改變各函數表達式中的數值，就可改變函數圖像.交互情境的創設，讓課堂教學更為高效，讓學生通過自己設置不同表達式，進行交互分析，最終實現深度學習.

二、應用現代信息技術，提升學生理解能力

學生是否能正確畫出函數的圖像直接影響其能否正確判斷該函數的單調性.因此，中職數學教師可以利用現代教育設備幫助學生正確畫出函數的圖像，揭示出函數圖像與導數之間的緊密聯系，使學生學會用求導來確定函數的正確圖像，讓學生更加直觀、清晰地判斷函數的單調性，并且最后可以得出該函數的增減區間，從而有效促進學生數學理解能力的提升.

（一）傳統多媒體的應用

在教學“函數的單調性”的時候，首先，教師可以用多媒體設備向學生展示三角函數的圖像，并且讓學生判斷三角函數的圖像屬于什么類型，從學生所學過的三角函數圖像的復習入手，使學生在課堂上的數學思維開始變得活躍.其次，教師可以引導學生思考導數與函數的增減性之間的關系，讓學生通過基本概念總結出導函數與原函數之間的關系.再次，教師可以用多媒體設備為學生展示二次函數的圖像，并且讓學生再次進行判斷.最后，教師可以讓學生嘗試畫出三次函數甚至是四次函數的圖像，以此讓學生對導數和圖像之間的關系有一個更加清晰的認識和理解.

（二）現代多媒體的應用

隨著信息技術的發展，先進的教學設備逐漸進入課堂，以希沃觸摸屏為主體的交互投影屏取代了傳統的多媒體投影儀.教師使用希沃觸摸屏進行教學，更加強調課件的動態性及交互性，通過教學設計，將虛擬及真實相融合，實現現代多媒體技術的應用，構建新型現代教學課堂形態.例如導彈攔截——單調隊列問題，從實際角度思考：給出一些入侵導彈的高度（不知道數量），要將攔截導彈發射到與入侵導彈相等的高度才能攔截掉這一顆導彈，并且每套系統每次發射的導彈的高度都不能超過前一顆，則一套系統最多能攔截幾顆導彈？攔截所有導彈最少需要多少套系統？在這種問題式設計中，通過希沃交互課件，交互演示發射導彈高度的變化，可以將復雜的問題簡單化，在虛擬中構建真實情境，在個體與協作之間實現互助.

（三）人工智能的應用

將學生的實際情況（如某一時期上課的抬頭率）通過大數據的分析，建立起函數關系，引導學生思考自身存在的問題，可以提升學生思考問題的深度，促使學生靈魂升華，實現知識與人的和諧統一.教師有效地利用人工智能的技術優勢，可以實現精準化、個性化、協作化教學，為學生提供學習支持，讓學習過程更為簡單.人工智能可以充分利用學生的視覺、聽覺、觸覺，實施教學設計，并依據學生語音、情緒、眼神、行為、專注度等數據，反饋學生的學習狀態、學習心理及學習效果.在這樣的設計中，教師可以根據學生的數據，建立起數據函數，打造探究型課堂，提高學生的理解能力.

三、注重典型習題講解，培養學生數學思維

數學教師要注重對典型習題的講解，讓學生在解題過程中充分掌握求解函數極值這一類型習題的解題技巧，以此促使學生的數學思維得到更好的培養，使學生可以以一種更加輕松的姿態求解函數的極值問題.

（一）加強典型習題特征分析，建立典型習題分析框架

對于各類型問題，我們在分析其內部知識結構及框架的基礎上，要努力尋找解題的基本方法，并根據典型習題的特征，建立典型習題分析思路框架.例如，對于函數的單調性問題，我們一般采用定義法、復合法、圖像法、導數法進行求解.教師應加強對典型習題特征的分析，引導學生選擇正確的解題方法.例如，對于習題“求函數＝-｜1-｜的單調增區間”其主題詞為“單調”和“增區間”，相對于這一特征，比較好的分析思路是畫出圖像進行分析.因此，我們可以通過取特殊點，求出值，畫出其圖像，從而得到結論.

（二）掌握典型習題解題技巧，提高典型習題解題能力

在教學“函數的極值”的時候，首先，教師可以為學生選擇一道難度適中的函數極值習題，讓學生判斷所給函數是否存在極值.接著，教師不要急著為學生講解習題，而應留出時間讓學生單獨思考，鼓勵他們嘗試著將所學知識運用起來.在學生有了答案之后，教師也不要急于評價學生做得是否正確，而是要帶領學生從頭開始將這道題再做一遍，并在最后一起求出正確的結果.這樣可以讓出錯的學生逐步發現自己出錯的原因，使他們不再犯同樣的錯誤，同時可以讓所有學生都參與到解題的過程中，使每位學生都親身經歷正確答案的產生過程，從而有效提升學生學習函數極值知識的積極性.

四、強化訓練提升，即時鞏固提升

（一）參照學習題型，強化訓練提升

在學生學會分析與求解各種典型題型后，教師可布置批量作業，實施強化訓練.只有進行強化訓練，才能讓學生對所學知識理解得更透徹、應用得更熟練，對解題的方法技巧掌握得更加嫻熟，從而建立起個人解題的思維框架，并提高對其他同類知識的學習能力.沒有鞏固強化，所學內容只能曇花一現，逐漸被學生淡忘，達不到教學要求.教師應該加強對學生在組合類題型方面的鞏固訓練，拓寬學生的解題視野，豐富學生的解題思路，提升學生的解題能力，讓學生較為熟練地解決各類題型.

（二）即時鞏固提升，定期查漏補缺

即時鞏固提升，是對當下的要求.而定期查漏補缺，則是長期的要求.任何知識都會隨著時間逐步淡忘，即時的復習鞏固與提升、查漏補缺是必須的.教師定期布置一些函數單調性、極值問題，或者在新的知識、內容中穿插相關習題，可以喚醒學生對此類知識的理解記憶，讓學生構建穩定的解題思路框架，掌握穩定的解題步驟.

綜上所述，函數的單調性與極值這部分內容對學生的數學進步和成長有著不可忽視的推動作用.因此，數學教師在實際的教學過程中要從函數的定義域、函數的單調性概念、函數的圖像和導數之間的聯系、函數的最值這些方面入手，使學生可以學好函數的單調性與極值這部分內容.