基于翻轉(zhuǎn)課堂模式的三重積分教學(xué)研究

王艷華 潘志剛

1.成都錦城學(xué)院 四川成都 611731；2.西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 四川成都 611756

一、翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式的內(nèi)涵及其實(shí)施的必要性

生活在流量時(shí)代的當(dāng)代大學(xué)生，在層出不窮的QQ、微信等APP的出現(xiàn)中潛移默化地改變著他們的思維方式和學(xué)習(xí)習(xí)慣。絕大多數(shù)的學(xué)生大部分時(shí)間會(huì)利用這些智能終端瀏覽網(wǎng)頁(yè)獲取信息，完成知識(shí)的內(nèi)化。因此，互聯(lián)網(wǎng)作為資源共享與信息交互的載體使得傳統(tǒng)的大學(xué)教育教學(xué)體制受到嚴(yán)重挑戰(zhàn)。整合教學(xué)資源，推行翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式符合當(dāng)代大學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣，有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)效率，以強(qiáng)化學(xué)生的核心專業(yè)素養(yǎng)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)新時(shí)期人才的培養(yǎng)目標(biāo)。

翻轉(zhuǎn)課堂，一般被稱為“翻轉(zhuǎn)課堂式教學(xué)模式”，翻譯于英文“Flipped Class Model”。傳統(tǒng)的教學(xué)模式，即老師在課堂上講課，布置家庭作業(yè)，讓學(xué)生回家練習(xí)。在“翻轉(zhuǎn)課堂式教學(xué)模式”下，教學(xué)與傳統(tǒng)的課堂教學(xué)模式開始變得不同，學(xué)生在家完成知識(shí)的學(xué)習(xí)，而課堂則變成了老師與學(xué)生之間、學(xué)生與學(xué)生之間互動(dòng)的場(chǎng)所，包括答疑解惑、探討知識(shí)的來(lái)源及運(yùn)用等，從而達(dá)到更好的教育效果。互聯(lián)網(wǎng)的普及和計(jì)算機(jī)技術(shù)在教育領(lǐng)域的應(yīng)用，使“翻轉(zhuǎn)課堂式教學(xué)模式”變得可行和現(xiàn)實(shí)。課堂上同伴間的互助教學(xué)能促進(jìn)知識(shí)的內(nèi)化吸收，使得學(xué)習(xí)正確率增加一倍。而翻轉(zhuǎn)課堂正是順應(yīng)了這一趨勢(shì)。簡(jiǎn)單地講，翻轉(zhuǎn)課堂是幫助學(xué)生完成知識(shí)內(nèi)化的一種新興教學(xué)模式。它將具體的知識(shí)點(diǎn)作為獨(dú)立的課程內(nèi)容，組織課前準(zhǔn)備，課中學(xué)習(xí)與課后反饋等一系列教學(xué)活動(dòng)，旨在將主要的知識(shí)傳遞于課堂之外，使得學(xué)生在課堂之內(nèi)主動(dòng)進(jìn)行探究、交流、反思等翻轉(zhuǎn)學(xué)習(xí)活動(dòng)。相較傳統(tǒng)的教學(xué)活動(dòng)而言，翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式下的教育教學(xué)賦予了每一位學(xué)生自我表達(dá)的權(quán)利，課堂活動(dòng)不再是簡(jiǎn)單單一的理論傳授，更多的是學(xué)生思維的啟發(fā)，整個(gè)課堂呈現(xiàn)的是一種活躍思維碰撞的熱鬧場(chǎng)面，從而強(qiáng)化學(xué)生的核心素養(yǎng)。

翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式已經(jīng)在國(guó)內(nèi)外部分高校使用，并取得良好的教學(xué)效果。將翻轉(zhuǎn)課堂融入高等數(shù)學(xué)的教學(xué)，學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)、學(xué)習(xí)環(huán)境、創(chuàng)新意識(shí)及學(xué)習(xí)積極性都有不同程度的提升；另外翻轉(zhuǎn)課堂所實(shí)施的資源共享，更使得各地域的學(xué)生都可以享受到同等的教學(xué)資源。

二、翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式應(yīng)用案例分析

“高等數(shù)學(xué)”包括極限、微積分、空間解析幾何、向量代數(shù)、級(jí)數(shù)、常微分方程等主要內(nèi)容。相對(duì)于初等數(shù)學(xué)而言，數(shù)學(xué)的對(duì)象及方法都較為繁雜。“高等數(shù)學(xué)”教學(xué)不同于其他學(xué)科，它是一門要求學(xué)生多動(dòng)腦思考，多分析推理，多動(dòng)筆計(jì)算的邏輯性極強(qiáng)的一門學(xué)科。三重積分作為大學(xué)本科課程“高等數(shù)學(xué)(下)”的一個(gè)教學(xué)內(nèi)容，是定積分思想和理論在多元函數(shù)情形下的推廣。三重積分的計(jì)算需要將其化成累次積分，雖然教材中給出了計(jì)算公式，但要具體實(shí)現(xiàn)公式的計(jì)算，需要學(xué)生具有較強(qiáng)的幾何直觀能力，又需要靈活的選擇計(jì)算公式和方法，這就要求學(xué)生在此知識(shí)內(nèi)容的學(xué)習(xí)過(guò)程中非常主動(dòng)投入。而很多學(xué)生學(xué)習(xí)“高等數(shù)學(xué)”時(shí)感覺晦澀難懂，定積分和二重積分的計(jì)算已經(jīng)讓他們感覺焦頭爛額，再加上學(xué)生經(jīng)歷嚴(yán)峻高考過(guò)后，相當(dāng)一部分同學(xué)一下子松懈了下來(lái)，學(xué)習(xí)積極性變差，目的不明確，教師再考慮到教學(xué)內(nèi)容多，課時(shí)安排少，學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)參差不齊等原因，在教學(xué)三重積分過(guò)程中往往無(wú)法講授透徹，甚至對(duì)此部分教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行舍棄。這些實(shí)際問(wèn)題都使得學(xué)生在學(xué)習(xí)三重積分時(shí)困難重重，備感艱難。席卷全球成為教育界關(guān)注熱點(diǎn)的翻轉(zhuǎn)課堂模式為大學(xué)生提供了一種自主合作的學(xué)習(xí)形式，更好地解決了學(xué)生積極性不高、參與程度低等問(wèn)題。因此，本文將基于翻轉(zhuǎn)課堂模式，對(duì)三重積分的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行探討，以期提高學(xué)生學(xué)習(xí)三重積分的效率，培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力。翻轉(zhuǎn)課堂是一種新的教與學(xué)的模式，對(duì)于老師和學(xué)生都是一種挑戰(zhàn)！如何設(shè)計(jì)三重積分的教學(xué)內(nèi)容以實(shí)施翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)方法？以下將結(jié)合平日教學(xué)特點(diǎn)設(shè)計(jì)如下具體教學(xué)內(nèi)容，以期將翻轉(zhuǎn)課堂功能發(fā)揮至最大。

(一)課前準(zhǔn)備，設(shè)置引導(dǎo)性問(wèn)題

在學(xué)習(xí)三重積分之前，學(xué)生已有定積分、二重積分教學(xué)內(nèi)容基礎(chǔ)：定積分概念的引入可以講到日耳曼著名天文學(xué)家Kepler的三大行星定律，其中第二大定律就是太陽(yáng)到行星的向徑在相同時(shí)間內(nèi)所掃過(guò)的面積相等，當(dāng)時(shí)就是利用“分割近似求和”的思想，這正是定積分思想早期的萌芽，接著為解決曲邊梯形面積問(wèn)題以及做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體在某一時(shí)段[，]內(nèi)所運(yùn)動(dòng)的路程問(wèn)題；二重積分概念的引入為解決曲頂柱體體積問(wèn)題，二者在解決問(wèn)題時(shí)均采用了同一思想：分割、近似、求和、取極限。那么為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)三重積分的熱情，這里可拋出引導(dǎo)性疑問(wèn)：三重積分是為了解決什么實(shí)際問(wèn)題？在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)又采用了怎樣的思想？通過(guò)定積分概念的背景導(dǎo)入，既讓學(xué)生了解了這個(gè)背景，又增添了課堂趣味，大大激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。要通過(guò)翻轉(zhuǎn)課堂引導(dǎo)學(xué)生從不同的實(shí)例中分析數(shù)學(xué)思想上的共性，然后得出抽象的數(shù)學(xué)概念，而這正是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)尤其是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵所在；同學(xué)們思考三重積分的引入是否和定積分、二重積分一致呢？它們有什么共同特征？

提問(wèn)：設(shè)在空間有限閉區(qū)域Ω內(nèi)分布著某種不均勻的物質(zhì)，密度函數(shù)為(，，)，求分布在Ω內(nèi)的物質(zhì)質(zhì)量。

分割：將空間有限閉區(qū)域Ω分割成個(gè)小閉區(qū)域，，…。

近似：第小塊不均勻閉區(qū)域近似看成均勻物質(zhì)，則其質(zhì)量計(jì)算為=(，，)。

至此，學(xué)生通過(guò)自主學(xué)習(xí)已知道三重積分的概念是因何引入，反復(fù)提到的“分割、近似、求和、取極限”思想讓學(xué)生清楚地認(rèn)識(shí)到定積分、二重積分、三重積分三者之間的一脈相承，通過(guò)對(duì)比分析，學(xué)生更有信心進(jìn)入下一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)中去。

(二)課前視頻學(xué)習(xí)，注重分析重點(diǎn)問(wèn)題

共享教學(xué)資源是教學(xué)工作開展的基礎(chǔ)。翻轉(zhuǎn)課堂打破傳統(tǒng)課堂在教學(xué)資源的單一性，通過(guò)教學(xué)視頻平臺(tái)和信息技術(shù)支持，把分散的教學(xué)資源聚合在一起，為教學(xué)主體提供最優(yōu)質(zhì)服務(wù)。翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式的關(guān)鍵在于制作微視頻。視頻一定要做到短而精，既要通俗易懂又要主題鮮明，這樣既符合了當(dāng)代大學(xué)生學(xué)習(xí)認(rèn)知的規(guī)律，又保證了學(xué)生隨時(shí)隨地進(jìn)行學(xué)習(xí)的靈活性，有效地達(dá)到了見微知著的效果。

“三重積分的概念與計(jì)算”作為三重積分的第一堂課，可制作兩個(gè)教學(xué)微視頻，即三重積分的概念和三重積分在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算。為保證學(xué)生對(duì)視頻講解內(nèi)容產(chǎn)生興趣、主動(dòng)吸收消化其中的知識(shí)點(diǎn)，教師制作微視頻時(shí)務(wù)必要使其具備美感，錄制使用的語(yǔ)言盡量生動(dòng)活潑。在上課之前，教師將已做好的微視頻發(fā)布到教學(xué)平臺(tái)，學(xué)生可根據(jù)自身情況進(jìn)行重復(fù)觀看。

學(xué)生是否觀看了微視頻，是否理解了微視頻中的教學(xué)內(nèi)容，這些都是翻轉(zhuǎn)課堂是否順利開展的重要依據(jù)。因此教師有必要檢測(cè)學(xué)生在課堂前的學(xué)習(xí)情況。可通過(guò)如下練習(xí)進(jìn)行測(cè)試：

直角坐標(biāo)下計(jì)算三重積分的方法有兩種：投影法和截面法。此練習(xí)向?qū)W生明確了本堂課的教學(xué)內(nèi)容，有助于加深三重積分計(jì)算方法及其運(yùn)用的理解。在此測(cè)試中，要求學(xué)生將自己不明白的、計(jì)算過(guò)不去的地方作上標(biāo)記，以便后期課堂中進(jìn)行重點(diǎn)討論。

(三)課堂探究，深化理論認(rèn)知

此堂課的重中之重為三重積分在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算。結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況可提出具有探究意義的問(wèn)題在課堂進(jìn)行分析討論以鞏固學(xué)習(xí)目標(biāo)：(1)三重積分在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算方法有哪些？(2)每種計(jì)算方法的解題步驟是哪幾步？

學(xué)生根據(jù)提問(wèn)，以6人為單位的小組進(jìn)行討論，分工合作給出回答，這既促進(jìn)了學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力，也在無(wú)形中提高了學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)、主動(dòng)應(yīng)對(duì)問(wèn)題以及面對(duì)問(wèn)題時(shí)的解決分析總結(jié)能力，這對(duì)學(xué)生以后無(wú)論是面對(duì)生活還是面對(duì)工作都大有裨益。

以投影法為例，投影法實(shí)則先一后二法，即將三重積分轉(zhuǎn)化為先一重積分后二重積分形式：

可是其中，(，)，(，)該如何確定呢？這至關(guān)重要。投影法顧名思義就是要先找到給定幾何體的投影，具體思路如何？此時(shí)教師可一步一步地引導(dǎo)學(xué)生思考，學(xué)生結(jié)合自身微視頻的學(xué)習(xí)在小組討論中積極發(fā)表自己的想法，從而在探討中總結(jié)得出相應(yīng)的結(jié)論。

截面法則是先二后一法，即將三重積分轉(zhuǎn)化為先二重積分后一重積分形式：

在計(jì)算一些實(shí)際三重積分問(wèn)題時(shí)，有時(shí)候用投影法會(huì)計(jì)算量很大，甚至可能積分困難計(jì)算不出來(lái)，此時(shí)如果采用截面法則會(huì)極大地簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。此時(shí)教師可提問(wèn)：什么時(shí)候使用截面法？什么時(shí)候使用投影法？通過(guò)提問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入思考：如果三重積分中被積函數(shù)與,無(wú)關(guān)，用平行于坐標(biāo)面的平面去截空間閉區(qū)域，所得截面面積比較容易計(jì)算，此時(shí)可以優(yōu)先采用截面法。而在其他情況，即被積函數(shù)與有關(guān)，則通常選用投影法進(jìn)行計(jì)算。

課堂的后半段，教師應(yīng)該對(duì)表現(xiàn)不錯(cuò)的小組給予肯定表?yè)P(yáng)，對(duì)三重積分的計(jì)算及解題步驟進(jìn)行梳理、總結(jié)和提升，最大化師生面對(duì)面的教學(xué)效率。反復(fù)提及闡述本課堂的教學(xué)目標(biāo)，有助于本堂課知識(shí)的內(nèi)化，也讓學(xué)生意識(shí)到做好課前必需充分的準(zhǔn)備，才能在翻轉(zhuǎn)課堂中達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果，促使學(xué)生在下堂課前進(jìn)行充分的學(xué)前研究。

(四)課后總結(jié)及鞏固練習(xí)

有限的課堂時(shí)間沒(méi)法保證所有學(xué)生學(xué)習(xí)透徹，因此課后總結(jié)及鞏固練習(xí)也是非常關(guān)鍵的。此時(shí)微視頻作為移動(dòng)學(xué)習(xí)工具，能輔助學(xué)生在課堂探究之余再次學(xué)習(xí)，結(jié)合小組討論及教師梳理，相信一定能做到知識(shí)內(nèi)化。同時(shí)還需布置相應(yīng)練習(xí)題，強(qiáng)化學(xué)生的理論應(yīng)用與實(shí)踐能力，檢驗(yàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。因此本堂三重積分教學(xué)下來(lái)需布置如下習(xí)題供學(xué)生進(jìn)行鞏固練習(xí)：利用合適的坐標(biāo)計(jì)算下列三重積分。

結(jié)語(yǔ)

綜上所述，以上設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)符合翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)特點(diǎn)，在教學(xué)實(shí)踐中效果不錯(cuò)，學(xué)生反應(yīng)良好，既實(shí)現(xiàn)了學(xué)生的高效自主學(xué)習(xí)，又引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入了一個(gè)全新的課堂境界。翻轉(zhuǎn)課堂設(shè)計(jì)真正做到了“以人為本，以生為本”，做到了學(xué)生自己掌控學(xué)習(xí)節(jié)奏，實(shí)現(xiàn)跨空間跨時(shí)間的自主學(xué)習(xí)。但該教學(xué)模式自身存在的缺陷也是不容忽視的：(1)需要建立在學(xué)生具有較強(qiáng)的自學(xué)能力以及較好的自律性，而這正是大多數(shù)學(xué)生所缺乏的；(2)需要教師具有較好的計(jì)算機(jī)操作能力，這對(duì)于某些教師或者某些地區(qū)的硬件資源是嚴(yán)重的考驗(yàn)；(3)需要教師搜集更多的教學(xué)資源，勢(shì)必會(huì)占用更多的工作時(shí)間，而且務(wù)必保證教學(xué)資源的準(zhǔn)確性，否則無(wú)法及時(shí)傳遞。

因此，將翻轉(zhuǎn)課堂模式引入三重積分乃至整個(gè)高等數(shù)學(xué)內(nèi)容，作為傳統(tǒng)模式教學(xué)的一個(gè)有益補(bǔ)充，將有助于提高學(xué)生的運(yùn)算能力、總結(jié)分析能力及邏輯思維能力，以期完善學(xué)生的專業(yè)素養(yǎng)，達(dá)到新時(shí)期人才的培養(yǎng)要求。