基于CHSH 不等式幾何解釋的“X”態量子非局域關聯檢驗*

曾柏云 辜鵬宇 胡強 賈欣燕 樊代和

(西南交通大學物理科學與技術學院,成都 610031)

量子非局域關聯現象是量子理論區別于經典理論的重要特征之一.“X”態作為一種典型的量子混合態,基于其進行的量子非局域關聯的檢驗研究,不論對驗證量子理論的正確性,還是在量子信息論的應用領域研究,都具有重要的意義.本文在基于傳統Clauser-Horne-Shimony-Holt (CHSH)不等式進行量子非局域關聯檢驗的基礎上,提出了一種基于“X”態幾何解釋的量子非局域關聯檢驗策略.利用“X”態的幾何解釋策略,可使物理圖像更為直觀地研究檢驗時最優化測量基選取,以及可獲得的最大CHSH 不等式檢驗值等.最后給出了基于CHSH 不等式幾何解釋策略,“X”態成功進行量子非局域關聯檢驗的參數范圍.

1 引言

量子非局域關聯現象最早于1935 年由Einstein等[1]引入(即所謂的EPR 佯謬現象的提出),其揭示了量子理論和經典局域實在論之間的尖銳矛盾.隨著量子非局域關聯現象在量子信息學中的深入研究和應用,諸如量子通信[2]和量子計算[3]等方案應運而生.可以說,量子非局域關聯性是量子理論最基本的特性,也是量子信息學發展的關鍵[4].

為了檢驗量子非局域關聯的存在,1964 年,Bell[5]提出了著名的Bell 不等式.在Bell 不等式的基礎之上,1969 年,Clauser 等[6]發展出了一種更適于實驗驗證的不等式,即CHSH 不等式.CHSH不等式的經典上限為Sc-max=2,而對于量子理論,其上限可達到.因此,通過檢驗CHSH不等式的上限值,即可檢驗量子非局域關聯的存在.在CHSH 不等式提出之后,相關量子非局域關聯的實驗檢驗也相 繼展開.如1972 年,Freedman和Clauser[7]報道了對CHSH 不等式6 倍標準差違背的實驗驗證.Aspect 等[8]在1982年利用時變分析儀檢驗了CHSH 不等式,結果與量子力學預測一致.盡管在CHSH 不等式提出之后,CGLMP不等式[9]、Inn22不等式[10]、MABK 不等式[11-13]等量子非局域關聯檢驗方案被相繼提出,并且一些無不等式的方法,如GHZ定理[14]和Hardy 定理[15]也相繼問世,但CHSH不等式仍然是用來證明量子非局域關聯存在的強有力工具.在如今量子信息學的各個領域,如量子通信、量子密鑰分發和量子隱態傳輸等也不乏利用CHSH 不等式檢驗量子非局域性的身影[16-18].

然而,無論是基于不等式的方法還是基于無不等式的方法,它們在進行量子非局域關聯檢驗時,均存在物理圖像不直觀的問題.這種不直觀性體現在,人們難以尋找最佳的測量基,并且進一步加大了量子非局域檢驗的計算量.針對這一問題,2021 年,Seiler 等[19]提出了一種基于CHSH 不等式的非最大糾纏態的幾何解釋方案.該方案使用兩個Bloch 球和一個關聯矩陣的組合,通過直觀的圖像分析,可以較為方便地找出最優的測量基策略,最終使利用CHSH 不等式的檢驗過程的物理圖像更加直觀.并且,這種圖像解釋不僅適用于糾纏純態,還適用于糾纏混合態.

眾所周知,由于實驗過程中存在各種噪聲,以及環境退相干效應對量子態制備的影響,使得實驗制備的量子態通常為一混合態,所以基于混合態的量子非局域關聯檢驗就變得尤為重要.1989 年,Werner[20]構造了一種典型的混合態(即Werner態).2002 年,Zhang 等[21]利用光子的自發參量下轉換和受控退相干成功制備了Werner 態,這為實驗檢驗基于混合態的量子非局域關聯提供了可能.實際上,在量子理論中,還存在一種典型的混合態,由于該混合態密度矩陣的對角線和反對角線中非零元組成了一個“X”的形狀,且在常見的噪聲影響下,其演化過程仍能使密度矩陣保持為“X”型[22],因此也被稱為“X”態.

事實上,這種“X”態并不罕見,它可以在各種物理環境中產生.目前,“X”態在量子信息領域中被越來越多地利用.如 Shi 等[23]利用“X”態研究了量子比特與局域退相干信道相互作用時多體糾纏的動力學演化.Namitha 和Satyanarayana[24]構造了單光子相干態和雙光子相干態這兩類“X”態,并將它們作為初始態來研究馬爾可夫近似下的糾纏動力學等.2022 年,Mishra 等[25]研究了“X”態在馬爾可夫和非馬爾可夫信道中的相干性.Guo 等[26]研究了任意兩比特“X”態的局域量子不確定性和幾何結構的突變性等.

但是,到目前為止,一種能夠較為直觀或基于圖形化的、基于“X”態的量子非局域關聯檢驗方案還未見報道.盡管我們課題組在2020 年利用Hardy 定理對“X”態進行了量子非局域關聯檢驗研究,給出了任意“X”態能夠進行量子非局域關聯檢驗的條件和范圍[27],但是,該檢驗方案依然存在檢驗中物理圖像不直觀的問題.

基于上述原因,在文獻[19]的啟發下,本文從CHSH 不等式的Bloch 球描述出發,首先給出基于幾何解釋的策略,然后利用上述方法對 “X”態進行了基于圖形化的量子非局域關聯檢驗研究.并對得到的圖像進行詳細分析,給出最優化檢驗策略.最終給出了“X”態在不同糾纏度和不同保真度下,成功進行量子非局域關聯的條件和范圍.

2 基于“X”態的CHSH 不等式幾何解釋方法

考慮一 “X”態作為研究對象,其密度矩陣可以寫為[22]

對(1)式所示的“X”態進行量子非局域關聯檢驗時,關于CHSH 幾何解釋的最優化測量基問題,可歸為研究一個橢球與一個截面相交的橢圓內接平行四邊形的周長問題.如對“X”態的兩個子系統,可分別進行兩種測量: 在A(B)系統中,可用Q=q·σA(P=p·σB),J=j·σA(T=t·σB)兩個算符來表示相應的測量.其中,q(p)和j(t)分別表示A(B)系統中的兩個測量向量,表示A(B)系統中兩個測量基的選取方向.σA(σB)表示泡利算符,可以是σx,σy,σz中的任意一個.

根據CHSH 不等式[6],可以將(2)式所示的S期望值的大小與經典理論上限Sc-max=2 做比較,當S＞Sc-max時,即可說明“X”態能夠被成功用于基于CHSH 不等式的量子非局域關聯檢驗.

將上述對A,B 系統的測量算符分別代入到(2)式,通過計算可進一步得到CHSH 不等式中的S表達式為

實際上,上述理論分析可用圖1 所示的兩個Bloch 球來進行幾何分析.即可用A,B 系統的兩個Bloch 球中,選取4 個測量方向(即j,q,p和t)和它們的關聯矩陣K來描述(3)式所示的期望值S.

圖1 基 于CHSH 不等式 的Bloch 球表示 圖.左右兩 個Bloch 球分別代表A 和B 兩個系統,它們之間的關系由一個關聯矩陣K 進行描述. j 和 q 表示A 系統中的兩個測量方向,p 和 t 表示B 系統中的兩個測量方向Fig.1.Diagram of Bloch ball representation based on CHSH inequality.The left and right Bloch sphere represents the two sub-system A and B,respectively.The relationship between them is described by a correlation matrix K.j and q represents the two measurement directions in system A,p and t represents the two measurement directions in system B.

根據泡利算符的具體表達式,并將(1)式代入kmn的表達式中,即可計算得到“X”態A,B 兩個子系統之間的關聯矩陣K的矩陣元素為

在考慮上述等效操作后,(3)式可以進一步寫為

為了能夠獲得最大的S值,接下來用幾何方法,對(5)式的結果做進一步分析.在實際的量子非局域關聯檢驗過程中,由于A,B 兩個子系統中的4 個向量(即j和q,p和t,分別表示了選取的測量基)可任意選取,因此可以通過選取最優化的向量方向來獲取(5)式的最大值.如考慮到向量q和j分別是子系統A 中的單位向量,因此可以選取向量pK -tK(pK+tK)和向量q(j)的方向相同,即可將(5)式中的向量點乘關系,最大化地約化到僅與向量模大小運算相關的表達式:

為了能夠進一步得到 (6)式的最大值,可以將圖2 所示的Bloch 球進一步簡化到一個橢圓平面進行研究.如圖2 中,選取過B 系統橢球的球心O,且包含向量pK和tK構成的平面,與Bloch 橢球相交,得到一個新橢圓平面.并以O為坐標原點,建立新的二維坐標系x′-y′,如圖3(a)所示.其中x′軸處于橢圓短軸方向,y′軸處于橢圓的長軸方向.

圖2 將關聯矩陣K 作用于B 系統后的Bloch 球表 示圖.其中A 系統的Bloch 球保持不變,B 系統的Bloch 球受關聯矩陣K 的影響而發生改變.兩系統間的關聯由單位矩陣I 來描述Fig.2.The Bloch sphere representation diagram by applying the correlation matrix K to system B.The Bloch sphere of system A keep constant.The Bloch sphere of system B is changed.The correlation between two systems is described by the unit matrix I.

圖3 B 系統Bloch 球退變為一橢圓平面時的表示圖 (a)向量 p K 在橢圓上的交點 為 B 1,向 量 t K 在橢圓上 的交點 是B2,紅色虛線表示向量 p K +tK,橙色點劃線表示向量pK -tK ;(b) 向量 p K 在橢圓上的 交點是 C 2,向 量 t K 在橢圓上的交點是 C 3,橙色點劃線表示最大期望值SmaxFig.3.Diagram of elliptic plane when the Bloch sphere of system B is changed: (a) The intersection of vector p K on the ellipse is B 1,the intersection of vector t K on the ellipse is B 2 .The red dashed line indicates vector p K+tK,and the orange dotted line indicates vector p K -tK .(b) The intersection of vector p K on the ellipse is C 2,and the intersection of vector t K on the ellipse is C 3 .The orange dotted line indicates the maximum expectation value of Smax .

此時,在圖3(a)中,通過將向量pK -tK和pK+tK分別平移到的B3B4和B2B3位置,即可在橢圓平面內構成一平行四邊形B1B2B3B4.在這種情況下,B1B2的長度 將等于向量|pK -tK|,且B1B4的長度將等于|pK+tK|.而最大量子非局域關聯檢驗結果的研究,將變為如何通過選取最優化的向量pK,tK,使平行四邊形B1B2B3B4周長實現最大化的幾何問題.

結合上述分析得到的圖2 中B 系統Bloch 球x,y,z軸長度不同的特點,再結合幾何關系分析[29]可以得出,當tK選取為沿x軸方向,pK選取為沿z軸方向時,平行四邊形B1B2B3B4將變為圖3(b)所示的菱形C1C2C3C4,此時,將獲得|pK -tK|+|pK+tK|的最大值,也即獲得CHSH不等式S的最大值.

根據圖3(b)的幾何圖形關系,就可以非常方便地計算得到“X”態基于CHSH 不等式的最大化量子非局域關聯檢驗的結果為

此時,只需判斷Smax＞2 是否成立,即可說明 “X”態能否進行基于CHSH 不等式的量子非局域關聯檢驗研究.同時,進行量子非局域關聯檢驗時的最優化測量基的選取方式也可以確定: 即選取B 系統的兩個測量方向p和t分別沿著Bloch 球的z軸方向和x軸方向,且進一步選取A 系統中的兩個測量方 向q和j,分別滿 足即可.

3 “X”態量子非局域關聯檢驗結果分析

利用幾何分析方法得到的最大CHSH 不等式檢驗結果(7)式(即選取最優化的測量基時),選取3 個 特定的保真度值(即f=0.78,f=0.90 以及f=1),可以得到如(1)式所示的“X”態,進行量子非局域關聯檢驗時,Smax隨r的變化關系曲線如圖4 所示.

圖4 在不同保真度f 下,S max 隨r 的變化關系圖Fig.4.Plot of S max vs. r under different values of fidelity f.

從圖4 可以看出,當f=1 (圖中紅色圓點表示,此時“X”態約化為一偏振糾纏純態)且取最優化測量基的情況下,只要r＞0,“X”態均可進行基于CHSH 不等式的量子非局域關聯檢驗(即Smax＞2 ).且隨著r值的增大,Smax的值也非線性地增大.特別地,當r=1時(最大糾纏態),可獲得該結果與Clauser 等[6]的研究結果完全一致,證明了本文得到的基于幾何解釋的正確性.

當f=0.78 (圖4 中黑色實心框表示)且取最優化測量基的情況下,無論r為何值,均將得到Smax≤2,說明此時的“X”態不能進行基于CHSH不等式的量子非局域關聯檢驗.而當保真度的取值位于 0.78＜f ＜1 時,僅有部分“X”態可成功用于基于CHSH 不等式的量子非局域關聯檢驗研究.

同理,圖5 給出了在3 個特定r值(即r=0,r=0.50 以及r=1)下,且選取最優化測量基時,Smax隨保真度f的變化關系曲線.

圖5 在不同r 下,S max 隨保真度f 的變化關系圖Fig.5.Plot of S max vs. fidelity f under different values of r.

從圖5 可以看出,不論r取何值,隨著保真度f的增大,Smax均將線性地增大.并且隨著r值的增大,可用于成功檢驗量子非局域關聯檢驗(即Smax＞2)的f值的范圍也將增大.為了能夠清晰地表示在不同r取值范圍下,“X”態能夠成功進行基于CHSH 不等式的量子非局域關聯檢驗的保真度范圍,給出了fmin隨r的變化關系曲線,如圖6 所示.

從圖6 可以看出,隨著r的增大,fmin的值將非線性地減小,這也意味著可用于進行量子非局域關聯檢驗的“X”態的范圍將非線性地增大.特別地,當(1)式所示的“X”態中|ψ〉為一最大偏振糾纏態時(即r=1),可用于進行量子非局域關聯檢驗的“X”態的范圍最大,即只要保真度f＞0.781 即可.

圖6 f min 隨r 的變化關系圖Fig.6.Plot of f min vs. r.

為了更加全面地描述“X”態在不同保真度f以及r取值時的量子非局域關聯檢驗情況,圖7 給出了(1)式所示的“X”態進行量子非局域關聯檢驗時的最大期望值Smax隨f和r的變化關系.從圖7 可以看出,Smax的值隨f和r值的增大均呈現出連續變化的現象.只有在滿足一定條件時,“X”態才能夠成功地(即Smax＞2)進行基于CHSH 不等式的量子非局域關聯檢驗研究.進一步,從圖7 可以看出,不論r取何值,Smax隨保真度f值的變化,基本呈現線性變化關系;而不論保真度f取何值,Smax隨r值的變化均呈現出非線性變化關系.

圖7 S max 隨保真度f 和r 的變化關系圖Fig.7.Plot of S max vs. fidelity f and r.

4 總結

在傳統基于CHSH 不等式進行量子非局域關聯檢驗研究的基礎之上,本文提出了一種以量子“X”態作為研究對象的幾何解釋策略.從“X”態的Bloch 球分析研究出發,利用幾何解釋的方法,分別給出了“X”態進行基于CHSH 不等式的量子非局域關聯檢驗研究時,最優化測量基的選取策略,以及可獲得的最大CHSH 不等式檢驗值.這種幾何解釋的方法,可進一步降低進行量子非局域關聯檢驗時的理論計算量,同時也可使量子非局域關聯檢驗的物理圖像更為直觀.

通過幾何解釋研究發現,當“X”態的保真度f=1時,由于“X”態將直接約化到一偏振糾纏純態,對其進行的量子非局域關聯檢驗結果與傳統的基于CHSH 不等式進行檢驗的結果完全一致(最大CHSH不等式值為),證明了本文提出的幾何解釋方案的正確性.而當f＜1 時,僅有部分“X”態(即r值存在一定范圍)可成功用于量子非局域關聯的檢驗研究.同時,研究還發現,隨著r值的增大,可進一步擴大可成功進行量子非局域關聯檢驗的保真度f值的范圍.特別地,當r=1時,保真度f取值范圍最大,即只要滿足f＞0.781,該“X”態即可成功用于基于CHSH 不等式的量子非局域關聯檢驗研究.

實際上,本文的研究結果在基于“X”態進行的量子非局域關聯實驗檢驗方面也具有一定的指導價值.如可通過密度矩陣的重構操作,首先得出制備的“X”態的密度矩陣具體表達式,并進一步分析得到該“X”態的保真度f以及r參數值.而本文的研究結果,已經較為清晰地給出了在特定f和r值的情況下,該“X”態能否成功進行量子非局域關聯的實驗檢驗研究.如能夠滿足檢驗要求,則可進一步選取本文基于幾何解釋得出的最優化測量基,進行實際的實驗檢驗.

本文提出的幾何解釋方案,實際上為量子態進行量子非局域關聯檢驗的研究提供了一個物理圖像較為直觀的研究策略.相信本文的研究將對后續開展基于其他方案的量子非局域關聯檢驗研究提供參考.