宇稱-時間對稱與反對稱研究進展*

唐原江 梁超 劉永椿

1) (清華大學物理系,低維量子物理國家重點實驗室,北京 100084)

2) (教育部量子信息前沿科學中心,北京 100084)

在標準量子力學中,描述物理系統的哈密頓量一般是厄米的,以保證系統具有實能譜及系統演化的幺正性.近些年來,研究發現具有宇稱-時間(parity-time,P T)對稱特性的非厄米哈密頓量也具有實能譜,并且在PT 對稱相和 PT 對稱破缺相之間存在一個新奇的非厄米奇異點,這是厄米系統所不具有的.最近,人們在各種各樣的物理系統中實現了 PT 對稱和 PT 反對稱的非厄米哈密頓量,并演示了新奇的量子現象,這不僅加深了對基本量子物理規律的理解,也促進了應用技術的突破.本綜述將介紹 PT 對稱和 PT 反對稱的基本物理原理,總結在光學系統和原子系統中實現 PT 對稱和 PT 反對稱的方案,并回顧利用 PT 對稱系統非厄米奇異點進行精密傳感的研究.

1 引言

標準的量子力學對系統進行描述時引入了一條基本假設: 系統的哈密頓量為厄米的.這一基本假設保證了系統的能量本征值為實數,同時也保證了系統的量子態在演化過程中的概率守恒.一直以來,非厄米的哈密頓量僅被用來唯象地描述耗散系統,然而,研究者們在非厄米哈密頓量中找到了大量具有實數本征值的算符,這引發了對非厄米哈密頓量的極大關注[1].1998 年,Bender 和Boettcher[2]提出空間反演(P)和時間反演(T)共同作用下不變的非厄米哈密頓量也可以有實數本征值(此類算符被簡稱為PT算符).隨著系統參量的變化,PT算符描述的系統可以處于PT對稱相或者PT破缺相,處于PT對稱相的系統具有實數的本征值,處于PT破缺相的系統有一對共軛的本征值,兩個相的分界點為非厄米系統特有的奇異點(exceptional point,非厄米奇異點)[3],在該點處系統的本征態和本征值同時合并在一起.

PT對稱性的研究引領了理論物理各個領域的新發展,包括量子場論[4]、李代數[5]等.PT對稱的概念被引入光學系統后,很快成為了研究的熱點.隨著PT對稱光學系統的構建和對其特性的深入研究,發現了基于PT對稱的大量新奇效應和應用,例如雙折射[6]、功率振蕩[7-9]、非互易性光傳播[10-12]、單向不可見性[13-15]、單模激光器[16,17],軌道角動量激光器[18,19]等.除了光學系統外,人們也在其他各種系統中對PT對稱展開了廣泛的研究,如原子系統[20,21]、電子學系統[22-24]、NV 色心系統[25]、光力學系統[26,27]、聲學系統[28,29]和微波系統[30]等.

隨著對PT對稱系統研究的深入,人們又提出了具有PT反對稱特性的新系統[31-41].PT對稱系統的哈密頓量在P和T的聯合操作下形式不變,作為與PT對稱相對偶的概念,PT反對稱系統的哈密頓量在P和T聯合操作下形式與原來相反,出現一個負號.PT反對稱系統呈現出與PT對稱系統對偶的特性,例如PT對稱系統中的無損耗傳播對應到PT反對稱系統中就是無折射傳播,這為光的控制提供了嶄新的概念和技術手段,大大擴展了非厄米光學的研究范圍.

目前已有許多相關綜述,例如,光學和光子學中的PT對稱綜述[42-47]、利用相干原子實現PT對稱綜述[48],基于PT對稱的人工合成激光綜述[49]、PT對稱中的非線性綜述[50,51]等.本文的側重點主要是綜合PT對稱和PT反對稱兩種系統,以展現兩者的諸多類似之處以及各自的獨特性質.

本文首先介紹了PT對稱與PT反對稱哈密頓量,然后介紹在光學系統和原子系統中PT對稱的實現,進而介紹光學系統和原子系統PT反對稱的典型研究,以及基于PT對稱系統中非厄米奇異點的精密傳感研究.

2 PT 對稱與反對稱哈密頓量

在量子力學中,可觀測物理量需要用厄米算符來表示,因此系統的哈密頓量也需要用厄米算符表示,這不僅可以確保其本征值為實數,而且可以確保波函數隨時間的演化過程中的模值不變[52].1998 年,Bender 和Boettcher[2]提出空間反演P和時間反演T共同作用下不變的非厄米哈密頓量也可以有實數的本征值.在空間反演變換下,坐標和動量算符有如下變換:

其中,r和p分別為坐標算符和動量算符.在時間反演變換下:

則系統的哈密頓量滿足PT對稱性.由以上對易關系系統的哈密頓算符滿足PT對稱的一個必要條件,是其中的勢能項滿足:

考慮二能級(模式)系統,如圖1(a)所示,兩個模式耦合構成的系統可以被如下PT對稱哈密頓量描述:

圖1 P T 對稱系統(a)與 PT 反對稱系統(b)示意圖Fig.1.Schematic diagram of PT -symmetric system (a)and anti-P T symmetric system (b).

其中,兩個共振模式的能量由能級ε描述,兩個模式分別為增益和耗散模式,增益和耗散速率由γ描述,兩個模式間的耦合系數為κ.

與PT對稱系統相比,PT反對稱系統的非厄米哈密頓算符H滿足如下反對易關系:

以二能級(模式)系統為例,如圖1(b)所示,相應的PT反對稱哈密頓量為

其中,兩個模式的能級偏移分別為-δ和δ,增益或者耗散速率由|τ|描 述,兩個模式間的耦合系數為 iκ.

3 光學系統中的 PT 對稱

基于光學傍軸波動方程和量子力學薛定諤方程之間的形式等價性,人們提出了在光學框架內實現PT對稱勢的方案[6,14,53].例如,考慮光波導中的光場傳輸方程:

其中,E(x,z) 為電場強度的慢變振幅,k=k0n0為介質中的波矢,k0=2π/λ0為真空中的波矢,λ0為真空中的波長,n0為介質折射率(系統的折射率分別為n0+nR(x)+inI(x)).方程(12)與如下薛定諤方程具有相同的形式:

其中ψ(x,t) 為波函數,? 為普朗克常數,μ為粒子質量,V(x) 為勢能函數.對比兩個方程得到對應關系為

由于折射率分布與量子力學的勢能部分相對應,由方程(7)中PT對稱系統的勢能項滿足的關系可以得出,PT對稱光學系統的折射率實部為坐標x的偶函數,折射率的虛部為坐標x的奇函數:

2010 年,Rüter 等[9]提出了PT對稱的耦合波導光學系統并進行了實驗研究.如圖2 所示,系統為兩波導耦合系統,其中一個波導中的光具有大小為γ的損耗系數,對另一個波導進行泵浦,使該波導中的光獲得大小為γ的有效增益系數,從而構造出了滿足PT對稱的復折射率分布.通過耦合模方法,兩個耦合波導中的光場動力學可以用下面的方程描述:

圖2 傳統和 PT 對稱耦合光學系統 (a) 復折射率的實部(n R,紅線)和虛部(nI,綠線)分布;(b) 傳統和PT 對稱系統的疊加態;(c) 對于傳統和 PT 對稱系統,當系統在通道1 或通道2 處被激發時的光波傳播情況 [9]Fig.2.Conventional and PT -symmetric optical systems: (a) The distribution of real part (n R,red line) and imaginary part (nI green line) of the complex refractive index;(b) superposition state of conventional and PT-symmetric systems;(c) light wave propagation when the system is excited at channel 1 or channel 2 [9].

其中E1和E2分別表示波導1 和波導2 中模式場的幅值,κ為兩個波導模式的耦合系數.系統可以用如下的哈密頓量描述:

當γ＜2κ時,系統處于PT對稱相,系統的本征值為

其中 s inθ=γ/2κ.此時兩個本征值的虛部為零,實部劈裂,相應的本征態為

顯然,處于PT對稱相的模式滿足|E1|=|E2|,這意味著本征態的強度在兩個波導中均勻分布,因此模式經歷了平衡的增益和損耗,導致其本征值的虛部為零.此外,隨著γ/2κ從0 增大到1,θ從0 逐漸增大到 π /2 .

當γ＞2κ時,系統處于PT對稱破缺相,系統的本征值為

其中 c oshθ′=γ/(2κ) .此時兩個本征值的實部相等,虛部劈裂,相應的本征態為

處于PT對稱破缺相的系統,隨著γ/(2κ) 從1 開始逐漸增大,θ′從0 開始逐漸增大,顯然,|E12|,這意味著一個本征態主要局域在增益波導,另一個本征態主要局域在損耗波導,導致本征值的虛部劈裂.

當γ=2κ時,系統處于PT對稱相與PT對稱破缺相的相變點,即為非厄米奇異點,系統的本征值為

此時本征值的實部和虛部同時合并,相應的本征態為

處于非厄米奇異點的系統,不僅本征值合并在一起,本征態也合并為同一個模式.

與厄米系統不同,這些本征模不再是正交的,這對光束動力學有重要影響,例如會產生非對稱傳輸特性和功率振蕩等現象.對于傳統的厄米系統,兩個本征模(對稱和反對稱,見圖2(b))的任何疊加都會導致對稱的波傳播: 顯然,圖2(c)的上部分圖中的光場分布具有左右對稱性.當耦合系統涉及增益/損耗時,系統的特性與厄米系統的特性不再相同.在PT對稱相,隨著γ/(2κ) 從0 開始增大,本征態的兩個模式分量之間的相對相位差分別從0 和 π 處的初始值逐漸增大,當γ/(2κ) 增大到1 時,系統處于非厄米奇異點.此時光傳播表現出非對稱傳輸特性: 將輸入通道從波導1 交換到波導2 時,獲得了完全不同的輸出狀態.在PT對稱破缺相,無論光從波導1 輸入還是從波導2 輸入,光總是從波導1 輸出,再次表現出了非對稱傳輸的特性(見圖2(c)底部的圖).這是因為系統的本征值為復數,相應的模式振幅指數增大或者耗散,只有一個模式存留下來.

4 原子系統中的 PT 對稱

近年來,研究發現在原子系統中也可以實現PT對稱.中山大學羅樂課題組[54]與中國人民大學張威、張翔課題組[55]分別利用超冷原子和單個囚禁離子構造了PT對稱系統,并對其量子演化過程進行了測量,同時引入周期性的含時系統哈密頓量,對系統的相圖等進行研究,如圖3 所示.下面將以在單個囚禁離子系統中的實現方案為例進行說明.

考慮具有PT對稱性的單量子比特非厄米哈密頓量:

囚禁離子系統是量子模擬、量子計算等研究平臺之一,具有與環境耦合小、參數可控性高等優點,可以進行量子態層析投影測量,能夠測量態占據數和密度矩陣相干項的演化(見圖3(c)).由此出發,該課題組發現了兩組和實驗參數無關的初態和測量態,可以直接由體系演化測量結果得到體系的能量值,而體系能量值為零的點對應該體系的非厄米奇異點.在此基礎上,課題組引入周期性的驅動和耗散,將定態哈密頓量擴展為含時哈密頓量,并測量了系統的能量和相圖(圖3(d)),而且觀測到系統哈密頓量的周期與量子態耦合強度滿足一定條件下發生的多光子共振現象.

圖3 (a) 在冷原子系統中實現 PT 對稱的示意圖[54];(b) 在單個囚禁離子系統中實現 PT 對稱的鐿離子 1 71Yb+ 的能級示意圖[55];(c) 系統密度矩陣測量圖[55];(d) 系統的相圖[55],紅色和黃色區域對應 PT 對稱相,藍色區域對應 PT 對稱破缺相Fig.3.(a) Schematic diagram of realizing PT symmetry in cold atom system[54];(b) schematic diagram of energy levels of ytterbium ion 1 71Yb+ for realizing PT symmetry in a single trapped ion system[55];(c) system density matrix measurement diagram[55];(d) the phase diagram of the system[55].The red and yellow areas correspond to the PT -symmetric phase,and the blue area corresponds to the PT -symmetry-broken phase.

5 光學系統中的 PT 反對稱

PT反對稱光學系統有很多奇特的性質,如連續譜激光[34]、光完全單向無反射傳播[33]、模式選擇的光放大[32]和散射中心決定的散射特性[40,41]等.2017 年,清華大學尤力、劉永椿課題組[31]提出了利用間接耗散耦合在光學系統中實現PT反對稱哈密頓量的方法.2019 年,吉林大學張旭霖課題組、香港科技大學陳子亭課題組[37]利用該方法在波導系統中實現了光的手性傳輸.

圖4 (a) 耦合波導示意圖;(b) 耦合波導的截面示意圖,波導 c 紅色部分表示存在較大耗散;(c),(d) 波導本征模式的特性;(e) 波導場強的特性;數據點是有限元模擬結果,實線是理論計算結果[31]Fig.4.(a) Schematic diagram of coupled waveguide;(b) cross section diagram of coupled waveguide,the red part of waveguide c indicates large dissipation;(c),(d) characteristics of waveguide eigenmodes;(e) property of waveguide field strength.Data points are finite element simulation results,and solid lines are theoretical calculation results[31].

PT相變過程會顯著改變系統的傳輸特性,利用演化算符U(z)=e-iHz可以得到在兩個相中的分束比例隨著光沿z方向傳播的變化:

時域的PT反對稱同樣可利用間接耦合在光學微腔(如圖6(a),(b))中進行構建.用來描述系統的狀態,系統的演化方程可以寫成i?tΨ=HΨ,其中

圖5 波導內的光場演化圖 [31] (a),(b) PT 對稱相和 PT 對稱破缺相的傳播特性,數據點是有限元模擬結果,實線是理論計算結果;(c) 傳統厄米系統和 PT 反對稱系統的光場分布對比圖;(d) 分束比例對波長的依賴特性,紅色線是 PT 反對稱系統,藍色線是傳統厄米系統Fig.5.Evolution diagram of light field in the waveguides[31]: (a) (b) The propagation characteristics of PT -symmetric phase and PT-symmetry-broken phase,respectively,the data points are the result of finite element simulation,and the solid lines are the result of theoretical calculation;(c) comparison diagram of light field distribution between traditional Hermitian system and anti-PTsymmetric system;(d) the dependence of beam splitting ratio on wavelength,the red line is the anti-P T -symmetric system,and the blue line is the traditional Hermitian system.

圖6 光學微腔構型I (a)和構型II (b)及相應本征頻率在復平面上的演化(c)(d),數據點是有限元模擬結果,實線是理論計算結果 [31]Fig.6.Optical microcavity configuration I (a) and configuration II (b) and the corresponding eigenfrequencies on the complex plane.Data points are finite element simulation results,and solid lines are theoretical calculation results[31].

6 原子系統中的 PT 反對稱

2016 年,復旦大學肖艷紅課題組[38]在原子系統中實現了宇稱-時間反對稱的哈密頓量.在該研究中,利用原子的熱運動構建了光學模式之間的耦合.如圖7(a)所示,實驗在87Rb 原子氣室中進行,溫度約為40 ℃.氣室的內表面覆蓋著不破壞量子態相干的石蠟,這使原子能夠經受數千次與壁的碰撞,而不會破壞其內部量子態.原子蒸汽室被封裝在一個四層屏蔽層內,從而屏蔽環境磁場.在屏蔽層內部,利用螺線管產生均勻的磁場,該磁場可誘導一個塞曼位移δB到雙光子失諧上.利用半波片(HWP)和偏振分束器(PBS)將來自腔外半導體激光器(ECDL)的一束激光分為4 束.探測光和控制光(具有正交線性偏振)首先通過1/4 波片(QWP)重新組合并轉換為圓偏振,然后被引導到兩個相距1 cm 的光學通道(稱為Ch1 和Ch2).Ch1 和Ch2的能級結構如圖7(b)所示,Ch1 和Ch2 中的右旋圓偏振控制場分別與躍遷|1〉→|3〉共振;而Ch1 和Ch2 中的左旋圓偏振控制場分別與躍遷|2〉→|3〉近似共振,但與共振頻率在相反方向上偏移了相同的大小|Δ0|,其中Δ0是探測光和控制光頻率之間的差值.Δ0利用聲光調制器產生,為了穩定探測光和控制光之間的相位關系,所有聲光調制器都由彼此間相位固定不變的振蕩器驅動.在每個通道中,共同傳播的探針光和控制光構建了 Λ 型EIT 效應,并產生了壽命約為100 ms的基態相干性.一個光通道中的光和原子相互作用,改變了原子的量子態,然后該原子通過熱運進入另外一個光通道,與另一個通道的光相互作用,將之前通道內的光的信息傳遞給這束光,從而實現了兩個通道內的光模式之間的間接耦合.兩個自旋波通過氣室中87Rb 原子的運動自然耦合,在一些特定的近似下,兩個集體自旋波激發的動力學可以由以下非厄米哈密頓量Heff來描述:

圖7 (a) 通過熱 87Rb 蒸汽池中的快速原子相干傳輸,實現 PT 反對稱 性的示意圖;(b) 兩個通道中的三能級Λ型EIT 構型 [38]Fig.7.(a) Schematic diagram of realizing anti-P T -symmetry through fast atomic coherent transmission in hot 87Rb vapor cell;(b) three level Λ-type EIT configuration in two channels[38].

此 2×2 哈密頓量H滿足{PT,H}=0,為PT反對稱的哈密頓量.

該工作在實驗上能觀察到了相變現象,在對稱相,兩個光模式的諧振峰位置完全重合;在對稱破缺相,兩個光模式的諧振峰位置劈裂.由于原子的量子態壽命較長,因此相變的觀測精度達到了1 Hz 級別.在此PT反對稱系統中,在體系對稱性破缺前,雖然兩束光經過的介質的折射率不同,但實現了無折射傳播.

7 基于非厄米奇異點的傳感

由于PT對稱與反對稱系統中存在非厄米奇異點,因此在精密傳感領域有重要的應用價值.在厄米系統中,微擾(|ε|?1)引起的本征譜的偏移或劈裂最多與微擾ε自身在一個階次上.對于N個模式合并所對應的N階非厄米奇異點,本征頻率分裂 Δω對外界微擾具有ε1/N的依賴關系.當外界微擾|ε|?1 時,與厄米系統相比,在非厄米系統的奇異點附近可以極大地提高對外界微擾的探測靈敏度.理論與實驗結果表明,二階非厄米奇異點可以增強諧振模式對外部擾動的敏感性[56,57],而使用更高階非厄米奇異點在原則上可以進一步提高系統對外界微擾響應的靈敏度.

2017 年,美國Khajavikhan 課題組[58]利用耦合腔構造了具有3 個模式的PT對稱系統,實驗證明了系統中存在高階非厄米奇異點,且系統對外界微擾的響應表現出對微擾強度的立方根特性.如圖8 所示,系統由3 個諧振腔組成: 增益腔和損耗腔被無增益和損耗的中性腔隔開,兩側的環形腔的增益和損耗強度相等,環形腔之間以相同的耦合強度交換能量.此PT對稱系統的模場的演化由如下方程決定:

圖8 (a) 3 個等距微環腔構成的 PT 對稱系統示意圖,兩側的諧振腔具有平衡的增益和損耗,而中間的諧振腔是中性的;(b) 系統處于三階非厄米奇異點的激光模式的強度分布;(c) 相鄰激光譜線之間的分裂隨微擾強度 ε 的變化,數據點是實驗測量結果,實線是理論計算結果[58]Fig.8.(a) Schematic diagram of PT -symmetric system composed of three equidistant micro-ring cavities,the resonators on both sides have balanced gain and loss,while the resonators in the middle are neutral;(b) the intensity distribution of the laser mode with the system at the third-order non-Hermitian exception point;(c) splitting between adjacent laser spectral lines with perturbation intensity ε .Data points are experimental measurement results,and solid lines are theoretical calculation results[58].

其中,g和-g分別描述增益和損耗,ε為在增益環形腔上加的外界微擾.

當系統不存在微擾時(ε=0 ),假設V對時間的依賴關系為,則系統本征頻率可以通過求解如下方程得到:

當系統環形腔的增益和損耗強度g和環形腔之間的耦合強度κ滿足時,系統的3 個本征頻率合并為相同的ωn=0,與此同時,系統3 個本征矢量合并為相同的其中A0為歸一化常數.此時系統處于三階非厄米奇異點,當系統受到微擾ε時,系統的本征頻率頻率發生劈裂,該課題組求解得到了系統本征頻率對外界微擾依賴關系的近似解析表達式,并進行了數值求解驗證,在此基礎上,該課題組實驗證明了系統相鄰本征頻率的劈裂與微擾強度之間具有三次方根的形式.這表明,與傳統的微腔傳感器相比,此系統對足夠小的微擾的探測靈敏度有極大提高.

盡管這些實驗已經證明在奇異點處可以獲得劈裂增強,但沒有仔細考慮噪聲的變化.之后的一些分析顯示奇異點附近的噪聲也得到了增強,因此對于信噪比來說并沒有提高[59].目前,相關方面的研究仍然在進行中,例如在文獻 [60]中通過發展量子噪聲理論來計算奇異點傳感器的信噪比性能,利用量子Fisher 信息來確定信噪比的下限,結果表明奇異點傳感器是有可能改善信噪比的,在實驗方面,基于奇異點探測器增強的Sagnac 效應[61],基于六階奇異點PT對稱電路的靈敏度增強傳感[62],基于奇異點增強信噪比的加速度計[63]等實驗也已經實現.

8 總結與展望

本文介紹了PT對稱和反對稱的基本物理原理,主要回顧了PT對稱和反對稱在光學系統和原子系統中的理論和實驗實現,并介紹了基于非厄米奇異點的精密傳感研究.在未來,關于PT對稱和反對稱的研究有望進一步加深對相關基礎理論的理解,以及在多個領域獲得應用.

在理論方面,盡管PT對稱量子力學的數學形式已經比較完善,但大部分研究中只考慮了經典區域,例如將經典波動方程寫成類似于薛定諤方程的形式.如果進一步考慮更一般性的量子效應,有可能揭示更加豐富的物理.例如,由于PT對稱與反對稱系統中具有增益和耗散,這與量子漲落-耗散定理、量子噪聲等有本質聯系,因此可以探索系統中的量子漲落和噪聲等[64,65].

PT對稱的相關變體也PT大的研究價值.例如,PT對稱中的操作可以被另一種空間操作(例如旋轉)所取代[66,67].這將進一步擴展相關領域.此外,基于PT對稱啟發的對稱范式,如超對稱性、非厄米粒子-空穴對稱性[68]等也是一個重要的發展方向.例如,超對稱性可為設計光學結構提供有效的工具[69],在光通信等領域有廣泛應用[70].不僅如此,近年來,在光學系統中非PT對稱復勢(即的研究也引起了關注,在這種情況下也可以保證哈密頓量具有實能譜[71-73],可以實現單向無反射的光傳輸[74],非局域孤子[75]等.

除了在理論方面的發展,在具體應用方面,PT對稱的光子系統可能為未來集成光子學器件的實現提供一條新的途徑.實際應用的物理器件不可避免地與環境有耦合導致耗散的存在,而PT對稱系統可以巧妙地設計增益模式,可以有效地補償損耗或者放大光脈沖,也可以設計高效可集成的新型光開關、單向非反射光學器件[11,12]、CPA 激光器[49]、聲子激光器[76]等新型器件.除了在光學系統中的應用外,在原子系統中,利用PT對稱原理實現耦合調控,也為構造新型光子器件和原子器件提供了新的思路.