一維PT對稱非厄米自旋軌道耦合Su-Schrieffer-Heeger 模型的拓撲性質*

李家銳 王梓安 徐彤彤 張蓮蓮 公衛江

(東北大學理學院,沈陽 110819)

理論上分析了受自旋指標調控并施以增益和損耗復勢能的一維非厄米自旋軌道耦合Su-Schrieffer-Heeger(SSH)模型的拓撲性質和能譜特性.發現虛勢能導致體系的拓撲非平庸區出現能譜虛化,而在拓撲平庸區發生 PT 相變.此外,虛勢能和自旋軌道耦合共同作用使得拓撲平庸區中發生拓撲相變,并且拓撲非平庸區變寬.能譜結果顯示,虛勢能和自旋軌道耦合對于體系的零能態有明顯的調控作用,主要在于出現了4 種局域性、數目均不同的零能態.這說明虛勢能和自旋軌道耦合對體系的能帶結構的特殊調節效果.本文有助于理解 PT 對稱非厄米系統的拓撲相變行為.

1 引言

多年來,具有空間和時間反演組合對稱性(PT對稱性)的非厄米哈密頓量一直是量子物理領域的研究熱點.PT對稱性的概念最早是在1998 年由Bender 和Boettcher 提出的,他們發現在PT對稱破缺發生之前,系統能夠出現純實數的本征能譜[1].隨著非厄米和拓撲量子物理的發展,PT對稱拓撲量子物理已經成為一個重要的研究方向[2-5].

在眾多非厄米PT對稱體系的結構中,Su-Schrieffer-Heeger (SSH)模型是最基本、最重要的體系之一[6-8].所謂的一維SSH 模型是一種具有交替跳躍系數的一維兩能帶晶格[9-12].在厄米情況下,通過調節胞內和胞間躍遷系數的比值,在布里淵區的邊界處會出現能隙閉合再打開的過程,即拓撲相變[13].在開邊界條件下,拓撲非平庸區的能隙中會出現局域在系統兩端的零能邊緣態.正因為SSH 模型清晰的拓撲特性,被視為非厄米拓撲量子物理的重要研究對象.朱保剛等[14]研究了在模型兩端具有增益和損耗虛勢能的PT對稱非厄米SSH 模型.發現虛勢能的加入會導致體系的拓撲平庸區和非平庸區表現出不同的特性.在拓撲平庸區中,虛勢能會導致系統經歷自發的PT對稱破缺轉變.而在拓撲非平庸區,僅會出現自發的PT對稱破缺相.隨后,許多課題組致力于研究PT對稱非厄米SSH 模型的性質,討論了自發PT對稱破缺,添加次近鄰耦合、拓撲相位以及奇異點和拓撲邊態[15-21].在此基礎之上,其他復雜結構也得到討論,如PT對稱的三聚體晶格、Kitaev 模型、六角蜂窩晶格等[22-25].

雖然在自然界中找不到特殊的PT對稱系統,但實驗上可以等效實現.如利用光波導通道可以得到具有增益和損耗效果的復勢能[26],利用光學微腔或單向隱形Bragg 光柵結構實現PT對稱[27,28].PT對稱光學和拓撲光子學的發展直接推動了PT對稱拓撲系統的發展.除了光學系統之外,在聲學領域[29]以及LRC 電路中也能實現PT對稱[30,31].

隨著自旋軌道耦合體系研究的深入,有研究組指出自旋軌道耦合對厄米體系的拓撲性質具有重要影響和驅動作用[32-34].受此啟發,本文擬設計一個復雜的體系,即在一維自旋軌道耦合SSH 模型的基礎上施加與自旋方向相關的虛勢能.目的在于,研究虛勢能和自旋軌道耦合對一維自旋軌道耦合SSH 模型拓撲性質的共同驅動作用.研究發現,隨著虛勢能的增加,體系發生自發PT對稱破缺.此外,虛勢能和自旋軌道耦合共同作用會誘導拓撲平庸區發生相變,使得拓撲非平庸相的范圍增加.在此過程中,兩種參數對拓撲非平庸區也產生了不同特性的零能態.所有現象都表明了虛勢能和自旋軌道耦合對非厄米自旋軌道耦合SSH 模型拓撲性質、邊緣態特征等因素具有豐富的調控作用.

2 理論模型

本文提出的非厄米一維自旋軌道耦合SSH 模型是由Nc個原胞組成的一維鏈,具體結構如圖1所示.體系哈密頓量表示為

圖1 非厄米自旋軌道SSH 模型示意圖.A 和B 表示兩種晶格,紫色上箭頭和綠色下箭頭分別表示具有增益和損耗的虛勢能 iγ 和 - iγ,淺綠色線和黑色線分別表示胞內躍遷v 和胞間躍遷w,藍色線和粉色線表示胞內自旋軌道耦合躍遷 λ υ 和胞間自旋軌道耦合躍遷λwFig.1.Schematic diagram of the non-Hermitian spin-orbit SSH model.A and B represent two kinds of lattices,and purple-up and green-down arrows represent imaginary potentials iγ and - iγ,respectively.Light-green and black lines denote intracell hopping v and intercell hopping w,and the blue and pink lines describe the intracell spin-orbit coupling λ υ and the intercell spin-orbit coupling λ w .

右側第一項H0表示一維自旋軌道耦合SSH 模型的哈密頓量:

(2)式右側第二項U描述在位能處引入能量增益和損耗來實現的虛勢能項,其哈密頓量寫為

2.1 對稱性

哈密頓量的對稱性決定了具有拓撲結構的系統中對稱保護的拓撲相位.因此,應首先關注體系的對稱性,以呈現自旋軌道耦合SSH 模型的拓撲性質.利用泡利矩陣,(5)式可以改寫成:

根據所滿足的對稱性,可以將拓撲體系分類[35,36].可以推斷厄米情況下本體系屬于BDI 類,而在非厄米情況下屬于非厄米系統38 種拓撲分類中的BDI?類,具體分類結果如表1 所列.以往的結論[35]表明,一維BDI 類體系存在類拓撲不變量.

表1 厄米和非厄米情況的 B DI 和 B DI? 類Table 1. The B DI and B DI? classes for Hermitian and non-Hermitian Hamiltonians.

2.2 能帶結構與拓撲相變

需要強調的是,只從對稱性的角度確定體系的拓撲性質是不夠準確的.下面計算一維非厄米自旋軌道耦合SSH 模型的能帶結構,探究體系的拓撲相變條件.將(5)式的哈密頓量進行對角化處理,可以得到動量空間能帶表達式:

通過能帶表達式(9)能夠發現,當k=±π 時中間兩條能帶發生閉合,此時λ,δ和t之間滿足條件δ=±λ/t.同樣,當三者滿足δ=±t/λ時,中心能帶在k=0處發生能隙閉合.如圖2(a)和圖2(b)所示的λ=0.3 時的能譜.可以發現,當δ=0.3 時中間兩條能帶在k=±π 相 交,而 當δ=3.333 時能隙 在k=0處閉合,與理論推導結果一致.

圖2 (a),(b) 厄米情況下,體系的 動量空 間能譜 圖,λ =0.3 (a) δ =0.4 ;(b) δ =2.5 .(c) 動量空 間相圖,其中黃 色對應Z=2π,綠色對應 Z =π 以及紫色對應 Z =0 .(d) 體系能譜隨著二聚化參量 δ 的變化Fig.2.(a),(b) The energy spectra of system in the momentum space under the Hermitian condition with λ =0.3 : (a) δ =0.4 ;(b) δ =2.5 .(c) Phase diagram in the momentum space,where yellow region corresponds to Z =2π,green region corresponds to Z=π,and purple corresponds to Z =0 .(d) Energy spectrum with the change of dimerization parameter δ .

根據 B DI 類對稱性的結論,體系存在Z類拓撲不變量.將動量空間哈密頓量轉換為非對角形式,代入拓撲不變量表達式

圖3 隨 γ 和 λ 變化的拓撲相圖.藍色對應 Z =π 的拓撲非平庸相,綠色區域表示=0 的拓撲平庸相.相關參數為 δ =0.4 以 及t=1.0Fig.3.Topological phase diagram with changes in γ and λ .Blue region corresponds to the topologically non-trivial phase of =π,and green region represents the topologically trivial phase of Z =0 .Relevant parameters are taken to be δ =0.4 and t =1.0 .

3 數值結果與討論

基于上述理論推導,接下來從動量空間和坐標空間出發,詳細討論非厄米一維自旋軌道SSH 模型的能帶結構.為方便計算,整篇文章中取t=1.0 .

圖4 給出了在動量空間中非厄米一維自旋軌道耦合SSH 模型的能譜.參數設置為λ=0.3 和δ=0.4,對應厄米情況下的拓撲平庸區.從圖4 可以發現,隨著γ的增加,體系確實經歷了兩次相變過程,這意味著虛勢能在調控體系的拓撲屬性方面扮演了重要角色.具體來說,從圖4(a)和圖4(b)可以觀察到,當γ增加至時,中間兩條能帶在k=±π處相遇.在這個過程中發生了拓撲相變,與(11)式結果一致.隨著γ繼續增加,閉合的能隙重新打開.在γ=0.8 時(如圖4(c)),上下兩條能帶在k=±π 處相交,此時簡并點能量為|E|=2λ.當γ＞2δt時,虛勢能使簡并點劈裂成兩個與PT對稱性破缺相關的奇異點,此時出現能量虛部.當γ ≈1.986 時,能隙重新在k=0 處閉合,且閉合點的能級虛部 I m(E)=0 (如圖4(e)).這說明了體系發生第二次相變,而且條件與(12)式一致.隨著非厄米勢能的增加,兩個奇異點繼續移動,復能區逐漸擴展到中心.在γ=2t=2.0 時,兩個奇異點在k=0處合并,虛部在k=0 處形成狄拉克錐,此時實部能量為E=±2δλ(如圖4(f)).最后,γ＞2t時,整個體系的能量全部為復數,不再存在奇異點.根據以上結果,可以確定虛勢能在非厄米自旋軌道耦合SSH 模型中誘導出了豐富的能帶結構.

圖4 不 同虛勢能 γ 的能帶結構 (a) γ =0.3 ;(b) γ =/5 ;(c) γ =0.8 ;(d) γ =1.0 ;(e) γ ≈1.986 ;(f) γ = 2 .0 .對 應于圖3中標出的各個位置.藍線表示能量的實部,紅線對應于虛部.其他參數為λ=0.3和δ=0.4Fig.4.Band structures for different values of imaginary potentialγ: (a)γ=0.3;(b)γ=/5 ;(c) γ = 0 .8 ;(d) γ =1.0 ;(e) γ ≈1.986 ;(f) γ =2 .Correspond to the respective points in Fig.3.The blue lines indicate the real part of energy,and the red lines correspond to the imaginary part.Other parameters are λ =0.3 and δ =0.4 .

接下來討論開邊界情況下體系的能譜結構,相關參數取λ=0.3 .根據厄米情況的結論知道,當δ ∈[-1.0,-0.3] 時,存在四重簡并零能,而在δ ∈[-0.3,0.3]時表現為二重簡并零能,剩下區域δ ∈[0.3,1]為拓撲平庸區.

圖5 給出的是在Nc=50 的條件下能帶的實部和虛部.由(11)式和(12)式可知,非厄米情況下體系在和δ3(4)=處會發生相變.從能量的實部和虛部圖中可以發現,虛勢能對于體系的拓撲非平庸和平庸相的體態和零能態具有不同的調控作用.首先,對于拓撲平庸區而言(厄米 0.3＜δ＜1),隨著γ的增加,由虛勢能誘導的零能態區域逐漸變寬.當γ=1.908 時,達到拓 撲相變條件δ1,在δ ∈[0.3,1.0]全區間內存在零能態(如圖5(e)).在整個過程中新產生的零能態無虛部出現.而在拓撲非平庸區(厄米δ∈[-1.0,0.3])中,虛勢能對兩個非平庸相的作用效果不同.虛勢能的加入導致厄米的四重簡并零能態出現虛部,即E=0±ib,說明該階段發生PT對稱破缺,而原來二重簡并的狀態仍表現為純實數的零能.γ的增加使滿足δ2的拓撲相變點逐漸靠近δ=-1.0,導致原來四重零能態區域減小,二重零能態區域逐漸增大.另外,在δ ∈[-δ2,0] 中出現從體態析出的孤立態.隨著δ趨近于-1.0,孤立態也逐漸進入到零能態中并伴有能量虛部,形成具有純實零能又有純虛能的混合六能態區域.由于該部分的零能態不是由于能隙閉合再打開產生,推斷其不具有拓撲性.當γ=2.0 時,拓撲相變的破缺導致體系不再存在拓撲相,僅存在具有虛勢能的能態.對于體態,在-γ/2＜δ ＜γ/2范圍內體態有虛部出現,發生PT對稱破缺,而其余區域的體態均為實數.以圖5(d)為例,當γ=2.0時,整個參數空間的體態都有虛部.基于以上結果,可以發現虛勢能對于開邊界條件下的的能帶結構和拓撲態具有明顯的調控作用.

圖5 開邊界情況下,不同 δ 的能量實部和虛部 (a),(b) γ =0.1 ;(c),(d) γ =/5 ;(e),(f) γ ≈1.908 ;(g),(h) γ =2.0 .左側顯示能量的實部,右側對應于能量的虛部.其他參數設為 λ =0.3 .圖中紅線代表零能態的實部和虛部Fig.5.Real and imaginary parts of energy for different δ : (a),(b) γ =0.1 ;(c),(d) γ =/5 ;(e),(f) γ ≈ 1 .908 ;(g),(h)γ=2.0.Left panel shows the real part of energy,and the right corresponds to the imaginary part of energy.Other parameters are λ=0.3.The red lines denote the real and imaginary parts of zero energy states.

為了更好地描述體系中零模的特征,圖6(a)—(d)依次給出了δ=-0.7,δ=-0.32,δ=-0.23 及δ=0.32時的本征能譜和波函數概率密度.可以觀察到,不同區域的零能態呈現出異樣的特征.具體在于,當δ=-0.7 時,在能隙中存在四個純虛能態.圖6(a)概率密度譜中(i) 和(iii)對應 0 +0.514i,(ii)和(iv)對應 0-0.514i .由于虛勢能的加入導致本征能量變為復數,四個態都呈現局域在晶格的左端或右端的趨勢,并且相同能量的兩個態的局域性相反.圖6(b)對應δ=-0.32 的結果.可以看出,能隙中存在六個態,其中四個有虛能量,兩個能量為純實數.從前面的結果可知,有能量虛部的態是由體態中析出的孤立態導致的,不具有拓撲性.從概率密度可以發現,兩個純實零能態(i)局域在系統的兩端.四個能量為 0 +0.271i (ii)和 0-0.271i (iii)的態也呈現局域在系統兩端的趨勢.為了確定從體系析出的孤立態情況,圖6(c)給出了δ=-0.23 的結果.從能譜可以觀察到,新產生的孤立態是二重簡并的,在能隙中間形成純實能的二重簡并零能態.從概率密度可知,孤立態和零能態一樣,都呈現局域在系統兩端的趨勢.然而,與孤立態產生的零能模相比(圖6(b)中(ii)和(iii)),局域性相對較弱.最后,當γ=0.32 時,虛勢能的加入導致原有的拓撲平庸區的間隙中出現局域在系統兩端的二重簡并零能態,如圖6(d)所示.綜上所述,虛勢能的加入導致原來的拓撲平庸區的間隙中出現局域在系統兩端的二重簡并零能態,而隨著體態析出的二重簡并孤立態進入到零能態中,導致原有二重實零能態變為六個態.這說明虛勢能可以讓體系的零能態呈現出更加有趣的現象.

圖6 開邊界條件下的能譜和概率密度譜 (a) δ =-0.7 ;(b) δ =-0.32 ;(c) δ =-0.23 ;(d) δ =0.32 .其他參數設為λ=0.3以及γ=/5Fig.6.Energy and probability density spectra with open boundary conditions: (a) δ =-0.7 ;(b) δ =-0.32 ;(c) δ =-0.23 ;(d)δ=0.32.The other parameters are λ=0.3 andγ=/5 .

下面討論虛勢能強度γ對不同區域能譜結構的影響,如圖7 所示.其中圖7(a)和圖7(b)對應δ=-0.4,圖7(c)和圖7(d)對應δ=-0.2 以及圖7(e)和圖7(f)對應δ=0.4 .它們分別描述厄米體系中四重簡并、二重簡并的拓撲非平庸區和拓撲平庸區.從圖7(a)和圖7(b)可以發現,在γ＜2δt=0.8 區間內體態能量為實數,而γ＞0.8 區間內體態能量有虛部出現.對于零能態,只要γ不等于零,它的本征能量立刻呈現出虛部,導致體系一直PT破缺.此外,在兩次拓撲相變點＜1.986之間,虛勢能驅動了新的純實零能態出現;當γ＞1.986,有虛勢能驅動的拓撲相變破缺,純實零能態消失.在δ=-0.2 的情況 下(圖7(c)和 圖7(d)),當γ ＜0.4 時,整個體系處于嚴格的PT對稱;當γ ＞0.4時,由于體態能量存在虛部,因此發生PT對稱破缺.除此之外,隨著γ的增加,可以看到確實從體態中析出二重簡并孤立態.由于孤立態產生的零能加入,導致在γ＞1.4 后出現混合六能態區.直到第二次拓撲相變之后,體系的零能轉變為四重純虛能態.最后,對δ=0.4 的情況,如圖7(e),(f)所示,體系經歷PT相 變,即 在γ＞0.8 處發生PT對稱破缺.此外還能發現,在兩次拓撲相變之間的間隙中出現有二重拓撲零能態.基于以上結果可以看出,對于厄米情況下不同類型的拓撲相,虛勢能會對零能和體態產生不同的作用效果.

圖7 γ 變化對能量實部和虛部的影響 (a),(b) δ =-0.4 ;(c),(d) δ =-0.2 ;(e),(f) δ =0.4 .左側顯示能量的實部,右側對應于能量的虛部.其他參數為 λ =0.3 .圖中紅線代表零能態的實部和虛部Fig.7.Real and imaginary parts of energy for different γ : (a),(b) δ =-0.4 ;(c),(d) δ =-0.2 ;(e),(f) δ = 0 .4 .Left panel shows the real part of energy,and the right corresponds to the imaginary part.Other parameters are λ =0.3 .The red lines describe the real and imaginary parts of zero energy states,respectively.

圖8 不同λ導致的能量實部和虛部(a),(b)δ=-0.4;(c),(d) δ=-0.2 ;(e),(f) δ =0.4 .左側顯示能量的實部,右側對應于能量的虛部.參數設置為γ=/5.圖中紅線代表零能態的實部和虛部Fig.8.Real and imaginary parts of energy for different λ : (a),(b) δ =-0.4 ;(c),(d) δ =-0.2 ;(e),(f) δ = 0 .4 .Left panel shows the real part of energy,and the right corresponds to the imaginary part.Other parameters are γ =/5 .The red lines describe the real and imaginary parts of zero energy states,respectively.

4 結論

本文在一維自旋軌道耦合SSH 模型中,通過施加具有增益和損耗的虛勢能來構造一維PT對稱體系,著重考察了由虛勢能和自旋軌道耦合驅動的拓撲相變以及零能態的特性.結果發現,自旋軌道耦合和虛勢能的作用導致體系出現了豐富而有趣的現象.首先,虛勢能的加入讓拓撲非平庸體系發生自發PT對稱破缺,而在拓撲平庸區中可以觀察到PT對稱相變,即從嚴格PT對稱到PT對稱破缺.其次,虛勢能和自旋軌道耦合的共同作用導致非平庸區中出現不同特性、不同數量的零能態:I) 四個能量為 0±ib型的能態;II) 由于從體態析出的二重孤立態進入零能態中而產生的具有二重純實零能態和四個純虛能態的混合六能態區域;III) 具有純實零能的二重簡并零能態.對于拓撲平庸區而言,虛勢能和自旋軌道耦合共同作用使厄米情況下的拓撲平庸區發生拓撲相變,在平庸區的間隙中出現二重純實數零能態,拓寬了體系的拓撲非平庸區.相信以上結果有助于探究PT對稱非厄米系統的拓撲相變行為,同時為探究非厄米零能態的種類和性質提供了理論支持.