高階單向傳播內孤立波理論模型適用性*

郅長紅 徐雙東 韓盼盼? 陳科 尤云祥

1) (上海交通大學,海洋工程國家重點實驗室,上海 200240)

2) (上海交通大學,三亞崖州灣深海科技研究院,三亞 572000)

3) (中國船舶及海洋工程設計研究院,上海 200011)

內孤立波在海洋中廣泛存在,其在生成、傳播演化以及耗散過程中對海洋環境、地形地貌和海洋結構物等有著深遠的影響.針對內孤立波理論模型研究,已有理論模型包括單向傳播Korteweg-de Vries (KdV) 類方程和雙向傳播Miyata-Choi-Camassa (MCC) 類方程,然而,兩類方程均未能有效地模擬大振幅內孤立波的傳播演化過程.本文采用漸近匹配方法,對原始單向傳播內孤立波方程的系數進行修正,建立了改進的單向傳播內孤立波理論模型.在此基礎上,通過比較分析改進了前后內孤立波的理論模型,結果表明,改進后的理論模型穩態內孤立波的理論極限振幅能達到MCC 方程穩態內孤立波的理論極限振幅.結合系列實驗結果,通過定量分析穩態內孤立波有效波長、波速和波形與MCC 方程穩態內孤立波理論解的吻合度,進一步分析了改進后的內孤立波理論模型在表征定態內孤立波特性方面的適用性.此外,針對平坦地形條件下大振幅內孤立波非定態傳播演化過程,探究各類單向傳播孤立波理論模型的穩定性.研究表明改進后高階單向傳播內孤立波理論模型可用于表征大振幅內孤立波傳播演化特性,為海洋結構物水動力學研究提供理論依據.

1 引言

內孤立波是發生在穩定密度層化海洋內部的一種特殊波動,具有水平尺度大、能量集中且能夠在海洋中長距離傳播而保持波形不變的特點.我國南海北部地形復雜多變,是大振幅內孤立波最為頻發的海域之一[1-3].據觀測,南海北部海域內孤立波最大波幅可達 240 m,最大流速高達2.55 m/s[4],被認為是目前世界海洋內波觀測資料中所記載的最大波幅.內波尤其是大振幅內孤立波在傳播過程中通常攜帶巨大的能量,能夠引起海水輻聚下沉與輻散上升運動,同時誘導產生突發性的強水平流,對海洋工程結構物和水下作戰平臺等產生強烈的沖擊性載荷,甚至導致潛艇、魚類等水下航行器瞬間喪失操縱能力[5].因此,內孤立波已經成為海洋工程界和海洋軍事活動中不容忽視的災害性因素[1].

Korteweg-de Vries (KdV)系列理論已經廣泛地用于表征小振幅穩態內孤立波及其傳播演化過程[6-10].針對大振幅內孤立波,Miyata[11,12],Choi和Camassa[13]基于原始完全非線性歐拉方程,結合自由面剛蓋條件以及兩層流體界面的完全非線性運動學和動力學條件,采用速度深度平均方法,建立了完全非線性和弱色散條件下Miyata-Choi-Camassa (MCC)理論模型,其穩態解與實驗測量結果[13,14]、完全非線性歐拉方程的內孤立波解和海洋觀測結果[15]吻合較好.2020 年,Zhao 等[16]提出在深水條件下展現更優性能的強非線性內孤立波HLGN-FS 模型.當上下兩層流體密度差較大時,自由表面的影響不可忽略,Kodaira 等[17]研究發現,與結合自由面剛蓋條件的MCC (Miyata-Choi-Camassa-rigid lid,MCC-RL) 理論模型比,考慮了自由表面效應的MCC (Miyata-Choi-Camassa-free surface,MCC-FS) 模型[18]的穩態內孤立波波形較窄,與實驗測量結果更接近.Choi 和Camassa[13]從原始MCC 方程出發,保留高階非線性項和線性色散項,推導得到高階單向內孤立波理論(high-order unidirectional,HOU)模型.Ostrovsky 和Grue[15]也提出類似的模型,將KdV 方程中色散項中的線性速度和未擾動層厚度分別替換為淺水方程的特征速度和局部層厚度,其修正方程更具物理意義.

然而無論是KdV 類的單向傳播內孤立波理論模型,還是MCC 類雙向傳播內孤立波理論,在模擬強非線性內孤立波傳播過程中均存在缺陷.其中,單向傳播內孤立波理論模型 (包括KdV,eKdV,HOU 模型) 的穩態內孤立波理論極限振幅不能達到MCC 型穩態內孤立波理論極限振幅[19];MCC 雙向傳播內孤立波理論模型在用于傳播大振幅內孤立波時,其數值計算過程中可能會產生Kelvin-Helmholtz 不穩定性問題[20].針對此缺陷,Zhi 等[21,22]采用漸近匹配方法,對原始Gardner 方程進行修正,推導得到修正的Gardner 模型以及適用于變化地形的系數變化修正的Gardner 模型,其理論計算結果與實驗測量結果符合良好.此外,Choi 和Zhi[19]從原始HOU 方程出發,通過漸近匹配方法,調整方程中各項系數,建立了修正系數的HOU (adjusted high-order unidirectional,aHOU)模型,其內孤立波穩態解的最大波幅、最大波速和最大振幅處有效波長與原始MCC 方程相符合.但由于缺乏實驗數據支撐,aHOU 方程的可靠性和適用性有待進一步驗證.鑒于此,本文將依據系列實驗結果,分析單向傳播內孤立波理論模型(包含KdV,eKdV,aHOU 模型)與MCC 模型穩態內孤立波波形的符合度;探究KdV,eKdV 和aHOU 模型表征穩態內孤立波的適用性;通過對各類單向傳播內孤立波理論模型傳播大振幅內孤立波的穩定性分析,進一步驗證aHOU 模型的可靠性和適用性.

2 改進的單向傳播內孤立波理論模型

與MCC 理論相比,HOU 型單向傳播內孤立波理論模型不適用于更大振幅內孤立波的原因有兩個方面: 一方面是對大振幅內孤立波,HOU 方程理論解的有效波長與MCC 模型相比存在差異;另一方面是HOU 方程的內孤立波理論極限振幅要比MCC 模型的小.進一步分析發現,這些缺陷與HOU 方程中的系數選擇不合適有關.為此,通過調整HOU 方程系數的方法對其進行改進.采用漸近匹配方法確定改進方程中系數,其具體推導過程詳見先前工作[19,22],為保證文章的完整性及可讀性,后文將簡要列出單向傳播內孤立波理論模型的改進方法.

2.1 HOU 方程的改進方法

將原始HOU 方程改寫為

在(1)式中,調整系數μ0,μ21和μ22是為了更好地描述內孤立波的色散效應;調整系數μ1和μ3是為了更好地描述內孤立波非線性效應,而調整μ4是為了更好地描述內孤立波非線性與色散性的耦合效應.進一步將(1)式改寫為

由(2)式可知,aHOU 模型除了滿足質量守恒關系(3) 式外,還滿足如下形式的能量守恒關系 (4)式:

(2)式的內孤立波穩態解為

由邊界條件:ζ=a時,ζX=0,可得(5)式的內孤立波波速為

2.2 aHOU 方程系數的確定方法

(2)式中系數μi(i=0,1,2···)為上下層流體深度比和密度比的函數,通過選取適當的μi使得aHOU 模型能夠擬合MCC 型內孤立波.在(2)式中,μ0,μ21和μ22與內孤立波的線性色散關系有關,將aHOU 方程線性化,可得到其線性速度為

由MCC 理論的線性波速公式,可得

將HOU 方程線性化,可得其線性速度為

由此可知,對O(k4) 項,HOU 方程的線性速度與MCC 方程的線性速度并不匹配,而aHOU 方程的線性速度與MCC 方程的線性速度完全匹配.

下面選擇合適的μ1和μ3使得aHOU 方程的最大振幅和最大波速與MCC 方程相同.將(8)式中的和分別用MCC 中的am和cm替代,可得

由于am和cm均為上下兩層流體密度比ρ1/ρ2和深度比h1/h2的函數,因此μ1和μ3也均為ρ1/ρ2和h1/h2的函數.為確定μ4,將aHOU 方程和MCC方程穩態內孤立波在最大振幅處的有效波長進行匹配,可得

2.3 對比aHOU 方程與原始HOU 方程

通過比較aHOU 和HOU 方程與MCC 方程線性速度clin/(gh) 隨 波數kh的變化特性,進而研究分析aHOU 系數改進的有效性.在數值計算中,令環境參數水深h=1 m,上下層密度比ρ1/ρ2=0.972,上下層流體深度比h2/h1=4.圖1(a),(b)分別給出了h2/h1=4 時,aHOU 和HOU 方程與MCC 方程的 線性速 度clin/(gh) 隨kh的變化特性以及kh隨波幅|a|/h的變化特性.由圖1(b)可知,當h2/h1=4 時,MCC 方程的理論極限振幅為=0.2965,在此理論極限振幅范圍內,kh的最大值為5.363.由圖1(a)可知,當kh在(0,5.363]范圍內時,aHOU 與MCC 方程的線性速度符合良好,但僅當kh≤2.226 時,HOU 與MCC 方程的線性速度符合.

圖1 aHOU,HOU,MCC 方程 (a) 線性速度 c lin/(gh) 隨 k h 的變化;(b) k h 隨波幅的變化Fig.1.aHOU,HOU and MCC models: (a) The variation of the linear speed c lin/(gh) with k h ;(b) the variation of k h with amplitude.

3 實驗方法

在上海交通大學大型密度分層內波水槽開展實驗,水槽主尺度為30.0 m × 0.6 m × 1.2 m(長、寬和高),采用注流式方法配制密度分層流體,應用雙推板式造波機技術實現內孤立波振幅的可控化[23],并沿內孤立波的傳播方向設置兩排垂直于來波方向等間距分布的電導率探頭,用以監測內孤立波波形和波速.實驗布置示意圖如圖2 所示,實驗中環境參數與數值計算中保持一致,并選取不同初始內孤立波波幅作為初始條件.通過內孤立波實驗波形與理論模型波形的對比,明確單向傳播內孤立波理論模型表征定態內孤立波方面的適用性.

圖2 實驗布置示意圖Fig.2.Schematic diagram of experimental arrangement.

3.1 實驗結果分析

圖3 為波幅a/h=—0.2028,—0.1362,—0.0584的內孤 立波實 驗波形 與KdV,eKdV,MCC 和aHOU 理論波形的對比曲線.在MCC 理論極限振幅范圍內,選取3 個典型的內孤立波波幅分別代表小振幅、中等振幅和大振幅內孤立波.如圖3(a)所示,針對大振幅內孤立波,KdV 理論波形相對較窄,與實驗波形相差較大,表明該理論不適用于描述大振幅內孤立波;此外,MCC 和aHOU 理論模型均與實驗波形吻合良好,表明aHOU 可用于表征大振幅穩態內孤立波.由圖3(b)可知,中等非線性內孤立波波形與aHOU 和MCC 理論波形基本一致,而與弱非線性KdV 和eKdV 理論波形相差較大.圖3(c)表明對于弱非線性內孤立波,KdV,eKdV,MCC 和aHOU 理論波形差異較小,但KdV理論波形與其實驗波形符合程度最大.圖3 表明,波形隨著內孤立振幅的增大而變寬,總體而言,在MCC 理論極限振幅范圍內,單向傳播內孤立波理論模型中aHOU 理論適用于表征小、中等和大振幅內孤立波.

圖3 KdV,eKdV,MCC 和aHOU 理論波形與實驗波形的比較 (a) a/h=—0.2028;(b) a/h=—0.1362;(c) a/h=—0.0584Fig.3.Comparison of theoretical and experimental waveforms for KdV,eKdV,MCC and aHOU models: (a) a/h=—0.2028;(b) a/h=—0.1362;(c) a/h=—0.0584.

3.2 穩態內孤立波理論解特性

通過對KdV,eKdV,aHOU 和MCC 方程4 類穩態內孤立波理論解特性進行定量分析,進一步探究單向傳播內孤立波理論模型的適用性.數值計算過程中,實驗環境參數不變.圖4(a)給出了當h1/h2=1∶4 時,4 類穩態內孤立波理論解的有效波長λ/h隨振幅|a|/h的變化特性.圖4(b)給出了波速c/c0隨振幅|a|/h的變化特性.由圖4 可知,當|a|/h ＜0.025時,KdV,eKdV,aHOU 的有效波長和波速均與MCC 型穩態內孤立波的有效波長和波速契合良好.KdV 型穩態內孤立波不存在理論極限振幅,當|a|/h ＞0.025,KdV 型穩態內孤立波的有效波長及波速隨著振幅的增大與MCC 型穩態內孤立波的有效波長和波速偏離的程度越大.eKdV,aHOU 和MCC 均為有限振幅內孤立波理論.由圖4(a)可知,eKdV 型穩態內孤立波理論極限振幅=0.2965小于MCC 型穩態內孤立波理論極限振幅=0.2965 .但aHOU 型穩態內孤立波的理論極限振幅與=0.2965 接近.由圖4(a),(b)進一步可知,當時,eKdV 型穩態內孤立波穩態內孤立波的有效波長及波速與MCC 型穩態內孤立波的有效波長和波速符合,而在整個MCC 型穩態內孤立波理論極限振幅范圍內,aHOU 型穩態內孤立波的有效波長及波速與MCC 型穩態內孤立波的有效波長及波速符合.

圖4 KdV,eKdV,aHOU 與MCC 方程的穩態內孤立波 (a) 有效波長 λ /h 隨振幅 | a|/h 的變化;(b) 波速 c /c0 隨振幅 | a|/h 的變化Fig.4.Variation characteristics for KdV,eKdV,aHOU and MCC models: (a) The effective wavelength λ /h with amplitude | a|/h ;(b) the wave speed c /c0 with amplitude | a|/h .

進一步考慮KdV,eKdV 和aHOU 型穩態內孤立波波形與MCC 型穩態內孤立波波形的吻合度.為此,在 [—a,0) 范圍內取N個值,設為,其中,n=1,2,3,···,N,A表示內孤立波理論類型,如A=MCC,即表示MCC 方程內孤立波位移ζ的取值.設與ζn對應的X(X＞ 0) 值為Xn,定義A型穩態內孤立波與MCC 型穩態內孤立波波形的誤差為

首先分析KdV 型穩態內孤立波與MCC 型穩態內孤立波的符合度.圖5 給出了當|a|/h=0.010,0.015,0.020 和0.100 時,KdV 型穩態內孤立波與eKdV,HOU,MCC 型穩態 內孤立 波波形的比較.結合圖5,由表1 可知,當|a|/h ＜0.025 時,KdV 型穩態內孤立波波形與MCC 理論模型符合良好,誤差ΔeKdV均達到 1 0-2量級.當|a|/h≥0.025時,其波形與MCC 理論模型符合情況逐漸變差.由圖4 可知,KdV 理論不存在極限振幅.在KdV理論模型中,色散性精確到一階色散項O(μ) (即弱色散條件),非線性精確到O(ε) (即平方非線性條件),滿足非線性與色散性的平衡條件.由此可知,KdV 模型僅適用于表征波幅較小的內孤立波.

表1 三類孤立波理論穩態解波形的契合度Table 1. Waveform fitness of three theoretical models.

圖5 KdV 型穩態內孤立波與eKdV,aHOU 和MCC 型方程穩態內孤立波波形的比較 (a) | a|/h =0.010;(b) | a|/h =0.015;(c) | a|/h =0.020;(d) | a|/h =0.100Fig.5.Comparison of steady-state internal solitary waveform of KdV,eKdV,aHOU and MCC models: (a) | a|/h =0.010;(b)|a|/h=0.015;(c) | a|/h =0.020;(d) | a|/h =0.100.

接下來分析 eKdV 型穩態內孤立波與MCC 型穩態內孤立波的吻合度.圖6 給出了當|a|/h=0.015,0.030,0.040 和0.100 時,eKdV 型穩態內孤立波與aHOU,MCC 型穩態內孤立波波形的比較.結合圖6,由表1 可知,當|a|/h≤0.045 時,eKdV 型穩態內孤立波波形與MCC 理論模型吻合良好,誤差ΔeKdV均達到 1 0-2量級.當|a|/h ＞0.045 時,其波形與MCC 理論模型吻合情況較差.由此可見,eKdV 模型并不是表征MCC 型內孤立波最有效的單向傳播內孤立波理論模型.

圖6 eKdV 型穩態內孤立波與aHOU 和MCC 型方程穩態內孤立波波形的比較 (a) | a|/h =0.015;(b) | a|/h =0.030;(c)|a|/h=0.040;(d) | a|/h =0.100Fig.6.Comparison of steady-state internal solitary waveform of eKdV,aHOU and MCC models: (a) | a|/h =0.015;(b) | a|/h =0.030;(c) | a|/h =0.040;(d) | a|/h =0.100.

最后考慮aHOU 型穩態內孤立波與MCC 型穩態內孤立波波形的吻合度.圖7 給出了當|a|/h=0.015,0.030,0.070,0.110,0.150 和0.290 時,aHOU型穩態內孤立波與MCC 型穩態內孤立波波形的比較.由表1 并結合圖7 可知,在MCC 穩態內孤立波理論極限范圍內,兩者的波形均吻合良好,ΔaHOU均達到 1 0-2量級.MCC 理論模型是在弱色散和完全非線性條件下建立的,而在aHOU 理論中,對色散性精確到O(μ) (即弱色散條件),而對非線性精確到O(ε2) (即立方非線性條件),且同時考慮了非線性和色散性的耦合項O(εμ) .由此可見,用單向傳播內孤立波理論模型aHOU 來表征MCC 型內孤立波可行且有效.

圖7 aHOU 型穩態內孤立波與MCC 型方程穩態內孤立波波形的比較 (a) | a|/h =0.015;(b) | a|/h =0.030;(c) | a|/h =0.070;(d) | a|/h =0.110;(e) | a|/h =0.150;(f) | a|/h =0.290Fig.7.Comparison of the steady-state internal solitary waveform between aHOU and MCC models: (a) | a|/h =0.015;(b) | a|/h =0.030;(c) | a|/h =0.070;(d) | a|/h =0.110;(e) | a|/h =0.150;(f) | a|/h =0.290.

4 KdV,eKdV 和aHOU 內孤立波理論模型的穩定性

探究3 類內孤立波方程的穩定性問題,即在平坦地形的情況下,分別用KdV,eKdV 和aHOU 型穩態內孤立波作為初始波,并用其各自內孤立波理論模型進行傳播,研究初始波在傳播過程中的波形變化特性.在數值計算過程中,空間上采用二階中心差分方法,時間上采用四階Runge-Kutta 方法.

針對aHOU 方程,圖8(a)給出了當0 ≤t(h/g)1/2≤3000 時,初始波幅為a/h=-0.25 的內孤立波傳播過程中波高-ζ/h隨時間t(h/g)1/2的變化特性.在數值計算過程中,以aHOU 方程的理論波速作為移動參考系的速度.由圖8(a)可知,當0 ≤t(h/g)1/2≤3000時,在數值求解aHOU 方程的過程中,內孤立波的波幅和波形始終保持不變,且未發生相位移的改變,進一步表明波速始終保持不變.由此可見,文中選取的數值格式穩定有效,且aHOU 型單向傳播內孤立波理論模型可用于描述aHOU 型內孤立波的傳播過程.圖8(b),(c)分別給出了利用eKdV和KdV 方程模擬初始波幅為a/h=-0.05 的內孤立波在傳播過程中波高-ζ/h隨時間t(h/g)1/2的變化特性,進一步分析可知,KdV,eKdV 和aHOU型單向傳播內孤立波理論模型分別適用于傳播其各自穩態內孤立波.

圖8 當 0 ≤t(h/g)1/2 ≤3000 時,- ζ/h 隨 t (h/g)1/2 的變化特性 (a) aHOU 方程;(b) eKdV 方程;(c) KdV 方程Fig.8.Variation characteristics of - ζ/h witht (h/g)1/2 when 0 ≤t(h/g)1/2 ≤3000 : (a) aHOU model;(b) eKdV model;(c) KdV model.

5 結論

本文基于原始單向傳播內孤立波理論模型,通過調整方程中各項系數,進而更好地描述內孤立波的色散效應、非線性效應以及非線性和色散項的耦合效應,提出了aHOU 模型.采用漸近匹配方法,通過將aHOU 方程的線性色散關系、最大振幅與最大波速以及最大振幅處有效波長與MCC 方程相匹配,進而確定aHOU 方程中各項系數.

由系列實驗結果,表明在MCC 理論極限振幅范圍內,aHOU 理論適用于表征小振幅、中等振幅和大振幅內孤立波.通過對KdV,eKdV 和aHOU方程與 MCC 方程穩態內孤立波解特性進行定量分析,進一步表明KdV 模型僅適用于表征波幅較小的MCC 型內孤立波,且eKdV 模型不是最有效的用于表征MCC 型內孤立波的單向傳播內孤立波理論,而在aHOU 理論中,對色散性精確到O(μ)(即弱色散條件),而對非線性精確到O(ε2) (即立方非線性條件),且同時考慮了非線性和色散性的耦合項O(εμ),由此用單向傳播內孤立波理論模型aHOU 來表征MCC 型內孤立波是可行且有效的.此外,研究發現KdV,eKdV 和aHOU 型單向傳播內孤立波理論模型分別適用于傳播其各自穩態內孤立波.

鑒于此,aHOU 方程可作為統一的高階單向傳播內孤立波理論模型,表征小振幅、中等振幅和大振幅穩態內孤立波及其傳播演化過程,解決了已有單向傳播理論模型均未能表征大振幅內孤立波的缺陷,將單向傳播內孤立波理論模型拓寬至強非線性范疇.