含有Kappa 分布電子的多組分等離子體中的 (3+1) 維非線性離子聲波

林麥麥 蔣蕾 宋秋影 付穎捷 王明月 文慧珊 于騰萱

(西北師范大學物理與電子工程學院,蘭州 730070)

應用約化攝動法推導得到用來描述含有Kappa 分布電子的多組分復雜等離子體中非線性離子聲孤波的Zakharov-Kuznetsov (ZK)方程.進而獲得了非線性離子聲孤波的非線性強度隨系統參數的變化規律.同時,利用Sagdeev 勢方法求得Sagdeev 勢函數,明確了系統參數對含有Kappa 分布電子的多組分復雜等離子體相圖、Sagdeev 勢函數及非線性離子聲孤波的振幅與寬度等傳播特征的重要影響.

1 引言

近年來,多組分等離子體的理論研究在物理學各個領域皆有廣泛應用,而復雜等離子體中非線性波的研究也是等離子體物理學的熱門課題之一[1-6].例如,EI-Taibany 等[7]利用分岔原理研究了孤立波的非線性特性,并首次探討了雙流體復雜等離子體的引力和極化力對塵埃聲波結構的影響;Moinuddin等[8]研究了碰撞產生的非線性波和孤立波的沖擊特性;Prasad 等[9]首次探討了電子-離子磁化太陽風等離子體中離子聲波解的分岔問題,揭示了離子聲波的周期解、超周期解、扭結解、反扭結解、壓縮孤立波解和稀疏孤立波解的存在性;Hameed 等[10]研究了非均勻無碰撞、呈Kappa 分布電子且帶有塵埃電荷漲落的離子-電子對等離子體中的塵埃聲波.與此同時,關于Kappa 電子分布對等離子體非線性波的影響,也受到眾多科技工作者的關注[11-13].1992 年,Summers 等[14]在空間等離子體中觀測到粒子分布具有非麥克斯韋高能量,可以利用Kappa分布進行建模;Alam 等[15]研究了塵埃聲波在含有Kappa 分布電子的復雜等離子體中的斜碰撞效應;Abbasi 等[16]探討了熱黏性流體離子和不同溫度的Kappa 分布電子組成的磁旋轉等離子體中離子聲孤波的非線性特征.

本文研究了含有Kappa 電子分布的多組分復雜等離子體中的(3+1)維非線性離子聲波.首先,利用約化攝動法推導得到用來描述(3+1)維非線性離子聲波的Zakharov-Kuznetsov (ZK)方程.并通過數值方法討論Kappa 電子分布及平衡狀態下,多種粒子的數密度對ZK 方程非線性系數的影響.然后,利用Sagdeev 勢方法得到二維自治系統及Sagdeev 勢函數,并借助數值模擬獲得系統相圖,Sagdeev 勢及孤立波的振幅、寬度和波型隨Kappa 電子分布和其他系統參數的基本變化規律.

2 基本方程

為了研究含有Kappa 電子分布的多組分復雜等離子體中(3+1)維非線性離子聲波的傳播特征.假設復雜等離子體由正離子、負離子、離子束和含有Kappa 分布的電子組成,依據大量的空間觀測和實驗室等離子體檢測,在多組分等離子體中由于多種物理過程的出現,導致等離子體中存在著諸如正離子、負離子、離子束和偏離麥克斯韋分布而呈現Kappa 分布的電子,這些粒子對多組分等離子體中非線性波的運動特征存在顯著的影響[17].正離子、負離子、離子束遵循麥克斯韋分布[18-21],本文重點分析電子的Kappa 分布對復雜等離子體中離子聲波傳播的影響.流體力學是離子聲波理論研究的方法之一.忽略粒子間的相互碰撞作用,依據磁流體理論,假設多組分的等離子體流體隨3 個空間坐標x,y,z和1 個時間坐標t演化,從而給出非線性離子聲波的無量綱化演化方程[17]:

其中κ表示Kappa 分布系數.

基于線性化方法和平面波解法,假設

可求得線性波的色散關系為

3 約化攝動法求解ZK 方程

利用約化攝動法研究含有Kappa 電子的多組分復雜等離子體中(3+1)維非線性離子聲波的傳播特征.首先,對(1)式—(6)式中的自變量進行坐標伸展變換:ξ=ε·x,η=ε·y,τ=ε3·t,?=ε·(z-v0·t),其中ε為表征非線性強度的小參數,v0為相速度.原始方程組為無量綱化方程組,約化攝動法中引入ε(0＜ε ＜1),可依據無量綱化的具體過程完成多個量的量級確定.由于大于四階的小量對系統影響較小,為方便計算,將方程中各未知量進行攝動展開:

將(9)式—(13)式代入(1)式—(6)式,在ε的最低次冪下有

在ε的較高次冪下,有

在ε的最高次冪下,獲得用來描述含有Kappa分布電子的復雜等離子體中(3+1)維非線性離子聲波的ZK 方程:

接下來,利用數值方法討論Kappa 電子分布及平衡狀態下多種粒子的數密度對ZK 方程的非線性系數A的影響.圖1 給出了系統參數μi+,μi-,μb取不同值時,非線性系數A隨電子的Kappa 分布系數κ的變化規律.如圖1 所示,A隨著κ增大而減小,而其他參數的取值對A的影響則各不相同.從圖1(a)和圖1(c)可以看出,非線性系數A隨著μi+,μb的增大而增大.由可知,當平衡狀態下的正離子數密度、離子束密度增多而電子數密度降低時,離子聲波的非線性強度A將逐步增強;圖1(b)表明非線性系數A隨著μi-的增大而減小,考慮到當平衡狀態下負離子數密度增大時,非線性系數A將減小.綜上所述,圖1 表明在含有Kappa 電子的多組分復雜等離子體中,平衡狀態下的正、負離子和離子束的數密度和Kappa 電子分布數均對(3+1)維非線性離子聲波的非線性系數存在不可忽視的重要影響.

圖1 非線性系數A 隨Kappa 分布電子數 κ 的變化規律Fig.1.Nonlinear coefficient A with respect to the Kappa distributed electron κ .

4 Sagdeev 勢函數及孤立波解

假設ZK 方程有孤立波解?1=?1(θ),θ=lξ+mη+p? -u0τ,其中l,m,p分別為ξ,η,?三個方向的波數,u0為非線性波的速度,則ZK 方程變形為

(14)式可簡化為二維自治系統:

其中,

圖2 為二維自治系統(15)式的相圖隨著Kappa電子分布系數κ的變化圖,其中其他系統參數取值分別為α=1,β=0.7,p=m=l=0.4,u0=0.2 .由于p,l,m對孤波振幅均有影響,所以取適當值使得振幅處于恰當范圍更有益于數據分析,模擬實驗中可以得到p=m=l=0.4 時圖形最優[17-20].由圖2(a)可以看出,在含有Kappa 電子分布的多組分復雜等離子體系統中同時存在線性波解、非線性波解和孤立波解3 類軌道.通過對圖2(a)—(c)進行比對,系統相圖表明當系統參數取值不同時,線性波解和非線性波解會出現在含有Kappa分布電子的多組分等離子體系統中波動過程的兩個不同時間段,并表現出線性波、非線性波和孤立波3 種不同的波動行為特征.復雜等離子體系統中所含的Kappa 電子分布數的改變,只會影響系統相圖中不同類型離子聲波解的存在范圍,而不會改變系統相圖中不同類型離子聲波解存在的基本屬性.

圖3—圖5 描繪了系統相圖隨系統參數μi+,μi-和μb的基本變化,其結論與圖2 基本類似.考慮到,這意味著對于含有Kappa 電子分布的多組分復雜等離子體而言,系統平衡狀態時的正、負離子和離子束數密度,以及電子數密度的不同,只會使系統相圖中不同類型離子聲波解的存在范圍發生改變,而不會導致系統相圖中離子聲波的線性波解、非線性波解和孤立波解這3 種不同類型的波解結構發生改變.

圖2 系統相圖隨Kappa 電子分布數 κ 的變化Fig.2.The variations of system phase diagram with Kappa electron distribution number κ .

圖3 系統相圖隨 μ i+ 的變化Fig.3.The variations of system phase diagram with μ i+ .

圖4 系統相圖隨 μ i- 的變化Fig.4.The variations of system phase diagram with μ i- .

圖5 系統相圖隨 μb 的變化Fig.5.The variations of system phase diagram with μb .

其中,Sagdeev 勢函數形式為

圖6 給出了Sagdeev 勢函數隨不同參數的變化規律.圖6(a)—圖6(d)中Sagdeev 勢曲線與橫軸均存在交點?m,且?m＞0,這表明該系統僅存在壓縮型孤立波.表1 為 Sagdeev 勢V(?)=0,μi+,μi-,μb,κ取不同值時,對應振幅的大小.

表1 Sagdeev 勢 V (?)=0,μ i+,μ i-,μ b,κ 取不同值時,對應振幅的大小Table 1. Amplitude of solitary waves with respect to μ i+,μ i-,μ b,κ at Sagdeev potential V (?)=0 .

圖6 Sagdeev 勢函數 V (?1) 的變化規律Fig.6.The variations of Sagdeev potential function V (?1) .

孤波振幅隨著μi+,μb的增大及μi-,κ的減小而減小.根據數據分析可知,隨著μi+的增大振幅減小幅度越來越小,隨著μi-增大,振幅變大的幅度比較均勻,隨著μb的增加,振幅減小的幅度較為均勻,而隨著κ的增加,振幅減小的幅度越來越小.由于多組分復雜等離子體系統中.這說明: 當多組分復雜等離子體系統中所含的Kappa 電子分布數、負離子數密度的增大時,系統中的壓縮型孤立波的振幅將減小;隨著正離子數密度、離子束數密度的增大振幅減小,隨著κ的增加,振幅減小的幅度越來越大.另外,若平衡狀態下的正離子和離子束數密度降低,而負離子束密度和Kappa 電子分布數增加,則導致孤立波的振幅增大,與此同時,孤立波振幅的改變與正離子、負離子和離子束數密度的改變緊密相關.以上結論表明: 復雜等離子體系統中的多種因素均對Sagdeev勢函數及孤立波的波形特征存在重要影響.

對Sagdeev 勢方程(16)式進行求解,可得到的孤立波解形式為

其中

分別為孤立波的振幅與寬度.

圖7 孤波振幅 ? m 隨Kappa 分布電子數 κ 的變化規律Fig.7.The amplitude of solitary waves ? m with respect to the Kappa distributed electron number κ .

圖9 給出了孤立波的波形隨系統參數的變化趨勢,其他參數取值分別為p=l=m=0.4,u0=0.5 .圖9 顯示當系統參數μi+,μi-,μb和κ取值各不相同時,該系統中僅存在振幅大于0 的壓縮型孤立波.該結論與Sagdeev 勢函數的分析結果一致.由圖9(a),(c)可以看出,當系統參數μi+和μb增加時,孤立波振幅減小且寬度增大;而μi-和 Kappa電子分布數κ增加時,孤立波振幅增大且寬度減小.以上結果與圖6—圖8 中的結論一致.綜上所述,含有Kappa 電子分布的多組分復雜等離子體系統中僅存在壓縮型孤立波,且系統中正、負離子和離子束的數密度以及電子Kappa 分布情況均對非線性離子聲孤波的振幅,寬度及波形存在不可忽略的重要影響.

圖8 孤波寬度 ω 隨系統參數 μb 的變化規律Fig.8.The variations of the solitary wave’s width ω with respect to the parameter μb .

圖9 孤立波 ? 1 的波形變化規律Fig.9.Waveform variation law of the solitary waves ? 1 .

5 結論

本文研究了含有Kappa 電子分布的多組分復雜等離子體中離子聲孤波.利用約化攝動法求得用來描述非線性離子聲波的ZK 方程,通過分析與討論從理論上研究了不同參數對非線性系數的影響.結果表明,非線性強度隨著正離子、離子束數密度的增大而增大,隨負離子數密度和Kappa 電子分布數κ增大而減小;平衡狀態時,孤立波振幅隨著正離子、離子束數密度的增大而減小,隨負離子數密度和Kappa 電子分布數κ增大而增大;孤立波寬度隨正離子、離子束數密度的增大而增大,隨負離子數密度和Kappa 電子分布數κ增大而減小.與此同時,還利用Sagdeev 勢方法求解得到二維自治系統和Sagdeev 勢函數,通過數值模擬給出的相圖顯示: 多組分復雜等離子體系統中存在非線性波解、線性波解和孤立波解,且孤立波具有振幅大于0的壓縮型特征,與此對應的Sagdeev 勢函數的變化規律與相圖結果一致.通過進一步深入討論,不難發現: 多組分復雜等離子體系統中的多種系統參數,包括平衡狀態下的正、負離子和離子束數密度以及Kappa 電子分布數等,均對非線性離子聲孤波的振幅、寬度和波形存在不可忽視的重要影響.本文利用約化攝動法所獲得的非線性離子聲孤波的演化特征隨Kappa 分布系數的變化規律,與其他方法所得的非線性系數孤立波隨Kappa 分布系數的變化規律保持一致[22].