NSD隨機變量序列下半參數回歸模型估計的相合性

張 玉

（巢湖學院 數學與統計學院，安徽 巢湖 238024）

0 引言

早期概率論與數理統計研究的主要是統計大樣本背景下的理論，要求樣本序列是相互獨立的，有的情況下還要求獨立同分布，要求的條件過于苛刻與實際應用存在不相符的情況，在這樣的背景下概率論與統計學者提出了相依隨機變量序列的理論。最早，1983年有學者提出負相協（Negatively Association）隨機變量序列，后來又有學者提出正相協（Positively Association）隨機變量序列、負超可加相依（Negatively Superadditive Dependent）隨機變量序列、負象限相依（Negatively Orthant Dependent）隨機變量序列、推廣的負象限相依（Extended Negatively Dependent）隨機變量序列。學者們研究了相關的不等式、收斂性，以及在相依序列作為誤差下估計的相合性，NSD作為相依隨機變量序列之一得到了學者們廣泛的研究。張玉等[1]利用三級數定理探討了NSD隨機變量序列加權和的a.s.收斂性；張玉等[2]應用Rosenthal型不等式研究了NSD隨機變量陣列的完全矩收斂性；鄭璐璐等[3]利用Marcinkiewicz-Zygmund型矩不等式、Kolmogorov型指數不等式給出了NSD隨機變量序列加權和的強收斂性質；Eghbal N等[4]研究了NSD隨機變量序列兩個極大值不等式而且給出了r階矩存在的強大數定律和收斂速度；Shen Y[5]等利用Kolmogorov型指數不等式研究了NSD隨機變量序列a.s.收斂性；蔡婷等[6]應用Fuc-Nagaev型概率不等式研究了NSD隨機變量序列和的一些單邊不等式；付宗魁等[7]研究了在一定矩條件下NSD隨機變量序列的完全收斂性；胡學平等[8]研究了利用Rosenthal型矩不等式和尾截方法獲得了NSD隨機變量陣列加權和最大值的弱收斂；趙珈玉等[9]研究了利用中心極限定理和大數定律獲得NSD隨機變量序列部分和乘積的漸近分布。在前面學者的研究基礎上，利用NSD隨機變量序列的性質，研究在以NSD隨機變量序列為誤差下的半參數回歸模型估計的相合性。

1 NSD隨機變量定義及模型建立

定義1[1]假如x，y∈Rn滿足：

φ（x∨y）+φ（x∧y）≥φ（x）+φ（y），

則稱函數φ為：Rn→R是超可加的，其中x∨y表示兩者之間取大者，x∧y表示兩者之間取小者。

在定義超可加函數的基礎上，定義負超可加相依隨機變量的概念，具體如下：

定義 2[1]稱隨機向量 X= （X1，X2，…，Xn）為負超可加相依的，如果滿足

回歸模型在現實中應用的非常廣泛，有參數回歸模型、半參數回歸模型，在不同的估計方法下會得到不同的估計結果。1986年Engle R F等[10]分析氣候對電力的需求關系時提出了下面的半參數回歸模型：該半參數回歸模型提出后有很多學者對此進行了研究，洪圣巖[11]綜合最近鄰和最小二乘的方法定義了β，g和σ2的估計量，蔡擇林等[12]研究了誤差為鞅差序列的半參數回歸模型而且給出弱收斂速度，高集體[13]給出了如下模型并且獲得了β和g（.）的估計最優收斂速度。

其中{ei}是隨機誤差，Eei=0，，（xi，ti，ui）為已知的設計點列，β 是未知待估參數，g（.）和 f（.）是定義在閉區間上的未知函數。周興才等[14]在負相依NA樣本誤差下獲得了最小二乘估計以及加權最小二乘估計的矩相合性，張鴿等[15]討論了漸近幾乎負相依AANA（Asymptotically Almost Negatively Associated）序列的半參數模型的相合性。

關于模型（2），參數β的最小二乘估計（LSE）和加權最小二乘估計（WLSE）分別如下：

g（.）的的最小二乘估計和加權最小二乘估計分別為：

由（2）（3）和（4）可得：

先假設滿足如下條件：

為了得到相關結果，需要引入如下相關引理：

2 引理

引理 1[1]如果隨機變量 X1，X2，…，Xn是 NSD隨機變量序列，且f1，f2，…，fn全是非降或非增函數，則 f1（X1），f2（X2），…，fn（Xn）也是 NSD 隨機變量序列。

引理2[2]設{Xn，n≥1}是均值為零的NSD隨機變量序列，且E|Xi|r＜∞，n≥1則存在僅依賴于r的常數C使得

引理3[3]設{Xn，n≥1}是被隨機變量X隨機控制的隨機變量序列，則對任意的α＞0和b＞0，有下面兩式成立：

引理 4 設{εni，1≤i≤n，n≥1}是被 X 隨機控制的均值為零的 NSD 隨機變量序列，{dni（Z）；1≤i≤n}為定義在緊集A上的實函數序列，并且，存在 r＞ 1，使得 E|X|r＜ ∞，且存在，滿足：

證明：

3 主要結果

得證。這就獲得了β加權最小二乘估計。同理可證明式（25），β最小二乘估計。

下面給出函數g（.）的最小二乘估計和加權最小二乘估計。

4 結語

概率論與統計學當中要求隨機變量獨立的條件過于苛刻，研究NSD相依隨機變量序列等具有現實意義，回歸模型在日常生活以及科學技術上有著廣泛的應用，在前人的研究基礎上，依據NSD隨機變量序列性質以及不同的隨機變量尾截技術在不同的參數條件下將NA隨機變量序列誤差下半參數回歸模型估計的相合性推廣到NSD隨機變量序列，豐富和推廣了現有的結果。