二維超臨界準地轉方程在臨界Besov空間中的唯一性

謝倩倩 蔡 婷

（合肥學院 人工智能與大數據學院，安徽 合肥 230601）

0 引言

中緯度大氣和海洋環流是地球物理流體力學中的一類重要流體，它具有兩個重要的特征：一是流體的厚度要遠小于地球半徑，這使得地球的自轉對其產生顯著影響；二是流體的垂直運動尺度相對于水平運動尺度較小，因而其垂直運動滿足靜力學平衡條件。因此，深入研究這類流體動力學方程組有助于理解地球物理流體力學的發生和演化規律，同時為大氣和海洋科學、氣候變化、長時間天氣預報的預測提供理論依據。然而，由于大氣和海洋流體原本方程的復雜性，學術界難以通過對原本方程的研究進一步分析地球物理流體。因此，從理論層面上嚴格分析大氣和海洋環流流體動力學方程組解的整體適定性一直是偏微分方程的前沿課題之一。

中緯度大氣和海洋環流的理論計算和數值分析最早被國內學術界所關注。上世紀七、八十年代曾慶存院士對這類復雜流動的某些近似數學模型進行了深入的研究，隨后部分學者圍繞相關數學模型進行了豐富的研究[1-5]。但此類非線性偏微分方程模型由于本身的復雜性使得用數學來嚴格證明其解的適定性和大時間性態變得非常困難[6-7]。Masuda[8]從完全可壓縮Navier-Stokes方程中推導出近似模擬這類復雜流動的原本方程，之后一些學者結合大氣和海洋環流的基本特征推導出一些模擬大氣和海洋環流流體運動的簡化數學模型。本研究主要考慮1994年Constantin等[9]利用靜力學平衡條件和Boussinesq逼近所建立的描述中緯度大氣和海洋環流的數學模型

其中 0＜α＜1，k＞0 是耗散系數；θ（x，t）表示標量溫度函數，θ0（x）是給定的初始值；u（x，t）是矢量速度場，且具有如下形式

其中R1，R2是普通的Riesz變換，相應的傅里葉變換為

Λα= （-Δ）α/2是分數次拉普拉斯算子，具體是通過傅里葉變換 F[Λαf（ξ）]=|ξ|α（ξ）定義的。

由于準地轉方程（1）是小Rossby數下的一種模型，從而可近似視作淺水波方程，雖然其是一個簡化的數學模型，但該模型與復雜地球流體的基本運動卻有著很多的共同點。當α=1/2時，模型（1）與三維經典Navier-Stokes方程有很多相似之處，所以α=1/2通常被稱為臨界情形；對應的稱1/2＜α＜1為次臨界情形，稱0＜α＜1/2為超臨界情形。已有大量文獻圍繞準地轉方程解的數學理論進行了研究，并在次臨界情形、臨界情形兩個方面取得了豐富的結論[10-15]。具體地，在次臨界情形下，Resnick[16]證明了初始值充分光滑的條件下準地轉方程光滑解的唯一性。在臨界情形下，Constantin等[17]證明了初始值在L∞范數很小時整體經典解的存在唯一性；Kiselev等[18]改進了文獻[17]中的條件，證明了初始值在周期條件下整體光滑解的存在性；Caffarelli和Vasseur[19]建立了Leray-Hopf弱解的整體正則性。然而，超臨界情形下準地轉方程弱解的整體正則性和唯一性仍未得到解決。

近年來，為了刻畫超臨界情形下解的性態，部分學者從次臨界、臨界和超臨界等情形出發研究準地轉方程弱解的弱強唯一性。次臨界情形下，Constantin和Wu[20]建立了小初值情形下準地轉方程在臨界 Lebesgue 空間 θ∈Lq（0，T；Lp（R2））中解的弱強唯一性。臨界情形下，Marchand[21]證明了當 θ∈L∞（0，T；H˙-1/2（R2））∩L2（0，T；L2（R2））∩L∞（0，T；BMO）時，二維準地轉方程弱解的弱強唯一性；Liu等[22]改進Marchand的結果，建立了當▽θ∈L1（0，T；BMO）時方程弱解的弱強唯一性。超臨界情形下，Dong和Chen[23]利用 Littlewood-Paley分解和 Bony 分解，建立了當時二維準地轉方程解的弱強唯一性。

基于上述文獻梳理的結果，本研究意在擴展二維準地轉方程在超臨界情形下解的唯一性準則；建立了二維超臨界準地轉方程在臨界Besov空間中的弱強唯一性。與以往的結果相比，該問題的主要困難在于如何在Besov空間的框架下控制非線性項。為此，本研究應用了Besov空間的分解技術，換言之把弱解θ分解成兩個部分 θ= θ1+ θ2，其中 θ1∈L1（0，T；W1，∞（R2）），θ2∈Lq'（0，T；W1-α/2，p'（R2）），基于這種分解和能量方法得到如下重要的三線性形式估計：

并在此基礎上建立了方程（1）弱解的唯一性結果。

1 預備知識

本節內容主要包括以下兩個方面：首先，給出一些關于Littlewood-Paley理論、Besov空間等相關基本知識；其次，闡述與本研究結果相關的重要引理等。

定義1.1[24]假設χ，φ是S（R2）上的兩個非負徑向函數，其支集分別包含在球 B={ξ∈R2，|ξ|≤4/3}和環 C={ξ∈R2，3/4≤|ξ|≤8/3}中，對任意的f∈S'（R2）（緩增分布函數空間），定義如下Littlewood-Paley算子和低頻截斷：

下文主要陳述二維準地轉方程（1）弱解的定義以及弱解的存在性定理[16]。

定義 1.2（弱解的定義） 設 θ0∈L2（R2），若可測函數 θ（x，t）滿足如下條件：

2 主要結果及相關引理

特別地，當兩給定的初始值 θ0、0相等時（即：θ0=0），方程（1）的弱解是唯一的（θ=）。

注2.1：上述主要結果擴展了文獻[23]中的結論，但與已有結果相比，本研究的技巧主要是通過插值思想對Besov空間直接進行分解，極大地簡化了證明過程；另外，這種分解技巧同樣適用于臨界的Lebesgue空間。

由于二維經典準地轉方程（1）與三維的Navier-Stokes方程在很多方面都具有類比性，借鑒Chen等[25]利用Besov空間分解技巧建立臨界空間上Navier-Stokes方程的弱強唯一性的想法。本小節也采用空間分解技巧建立了超臨界情形下方程（1）在臨界Besov空間中弱解的唯一性，下面首先就Besov空間的分解引理進行闡述。

引理2.1的證明 采用Littlewood-Paley分解方法，將θ分成低頻和高頻部分

即引理2.1的結論證明完畢。

上述分解結果是證明二維準地轉方程（1）解的弱強唯一性的關鍵點，但想要證明其主要結論還需要下列三線性形式的控制估計：

引理2.2的證明 在上述空間分解（引理2.1）的基礎上，可導出

下面只需要對I和II進行控制估計即可，利用H?lder不等式對I進行分析，可導出

對于 II，結合 H?lder不等式，Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式以及Young不等式，可得

其中q'滿足臨界條件α/q'+2/p'=α/2。

結合式（6）和式（7）的控制估計，將其帶入式（5），則有下列不等式

即引理2.2的證明完畢。

3 主要結果的證明

本部分內容意在證明定理2.1，雖然引理2.1和引理2.2是證明二維準地轉方程（1）弱解唯一性的主要步驟，但在證明過程中，下列能量型等式結果也是必要的。

引理3.1的證明 類似于文獻[18]中的方法，定義磨光函數 ρε= （1/ε）ρ（t/ε），要求其滿足條件

特別地，當兩弱解的初始值相等時（即：θ0=0），結合w的表達式可得w0=0，從而推導出θ=，即二維轉地轉方程（1）的弱解是唯一的。即定理2.1的證明完畢。

4 結語

準地轉方程（1）不僅在物理層面上具有地球物理流體動力學主要的特性，而且在數學結構上作為分數階耗散偏微分方程具有許多獨特的性質。文章主要從該模型的數學結構進行深入分析，利用精細的調和分析技巧得出空間分解結論，進一步結合Gronwall不等式建立超臨界準地轉方程在最大臨界Besov空間中弱解的唯一性，極大地簡化了以往的步驟。本研究可能在如下兩個方面具有一定的理論意義和實踐價值：一方面，所采用的空間分解技巧同樣適用于臨界的Lebesgue空間，從而對三維Navier-Stokes方程解的性態研究具有良好的啟發作用；另一方面，由于準地轉方程（1）是小Rossby數下的一種模型，因此其可以近似視作淺水波方程，與超臨界情形下的準地轉方程方程相比較，在初值充分光滑的條件下，二維歐拉方程整體光滑解的唯一性問題更好被理解。同時，通過歐拉方程與表面準地轉方程之間的插值，對具有奇異關系為 u=-▽⊥（-Δ）-β/2θ=Λ1-βR⊥θ的廣義準地轉方程解的整體適定性研究也具有重要的意義。