讓核心素養(yǎng)在教學(xué)活動(dòng)中落地生根
——以“直線與平面平行的判定”核心片段設(shè)計(jì)為例

劉 煌

(廣東省梅縣東山中學(xué) 514017)

近年來，有不少學(xué)者指出，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成機(jī)制，數(shù)學(xué)原理和概念是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成的主載體，數(shù)學(xué)活動(dòng)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)形成的主路徑.因此，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在教學(xué)活動(dòng)中的落地生根，必須要深入理解當(dāng)堂課程的數(shù)學(xué)原理和概念的內(nèi)涵和構(gòu)成要素有哪些，所體現(xiàn)的核心素養(yǎng)有哪些，隨后才能結(jié)合具體的學(xué)生特點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)具體的教學(xué)情景，提出具體的數(shù)學(xué)問題.

今年，筆者在“直線與平面平行的判定”的核心片段設(shè)計(jì)過程中，對教學(xué)實(shí)施過程進(jìn)行了反思，談?wù)勛约旱目捶?

1 對原理與概念理解

本課內(nèi)容“直線與平面平行的判定”，取自《普通高中數(shù)學(xué)必修第二冊》人教A版(2019)第八章《立體幾何初步》的第五節(jié)《空間直線、平面的平行》第二課時(shí).《立體幾何初步》這一章，是對義務(wù)教育階段“空間與圖形”課程的延續(xù)與發(fā)展，內(nèi)容在編寫上，是典型的《課程標(biāo)準(zhǔn)》對立體幾何的教學(xué)要求：先整體觀察，再抽象辯證，從整體到局部，從具體到抽象，從直觀想象到邏輯推理的學(xué)習(xí)過程，設(shè)置了“直觀感知—操作確認(rèn)—思辯論證”的研究過程，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)研究空間圖形的方法，關(guān)注基本圖形，從基本圖形再到復(fù)雜圖形，逐步形成研究和解決空間圖形問題的思路和方法，幫助培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的素養(yǎng).

2 對學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的分析

學(xué)生通過本章前面內(nèi)容學(xué)習(xí)，掌握了平面的三個(gè)基本事實(shí)及其推論，對平面的“平”和“無限延展”的特征有一定的直觀感知，掌握了以直線與平面的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)來區(qū)分線面關(guān)系的判斷方法.但這些位置關(guān)系的判斷都是對現(xiàn)實(shí)生活當(dāng)中的實(shí)例和簡單立體圖形(如長方體)的直觀想象，沒有進(jìn)行演繹推理和邏輯論證，容易產(chǎn)生現(xiàn)實(shí)問題與數(shù)學(xué)問題的脫節(jié)，而從線面平行證明開始，對邏輯論證的要求陡然提升.直觀想象到邏輯推理的轉(zhuǎn)換必不可少，如何順暢的進(jìn)行轉(zhuǎn)換和過渡就是本節(jié)的核心和難點(diǎn).

3 教學(xué)核心和難點(diǎn)的設(shè)計(jì)

3.1 從對生活模型直接觀察到直觀圖形的理念作圖

在復(fù)習(xí)回顧環(huán)節(jié)，先回顧直線與平面的三種位置關(guān)系及直線與直線的平行關(guān)系，引出本節(jié)課研究的內(nèi)容.在這個(gè)環(huán)節(jié)，平面的“平”、直線的“直”以及兩者的無限延展，在生活當(dāng)中是容易找到實(shí)物模型進(jìn)行觀察的，如教室的地板、黑板、門面等可以看作是平面，日光燈管、窗簾橫桿、門框的邊緣等可以看作是直線，這些模型對于學(xué)生來說非常熟悉，容易理解.但是要將空間圖形畫到紙面上，即在二維平面的紙面上作出三維模型，就需要借助“理念作圖”，把線、面的“平”、“直”、“無限延展”、“平行”加以分解、組合刻畫在直觀圖上.章建躍博士認(rèn)為，只有通過規(guī)范的直觀圖作圖和特征描述，學(xué)生才能學(xué)會(huì)有效運(yùn)用平面幾何知識(shí)去理解空間本質(zhì).刻畫線面平行關(guān)系的直觀圖應(yīng)作圖如圖1.

圖1 圖2

在直觀圖的作圖中，平面的“平”可由平行四邊形來展現(xiàn)，通俗的是將空間中的平面略微向左前方傾斜，從觀察者的角度就會(huì)展現(xiàn)為平行四邊形，如同水面一樣的擴(kuò)散，學(xué)生可以輕松的理解“無限延展”.直觀圖上展現(xiàn)線面平行關(guān)系，是“直”的直線a平行于“無限延展”的平面的某一條直觀圖邊緣b.根據(jù)最近發(fā)展區(qū)理念，展開新的問題要基于學(xué)生已經(jīng)掌握的知識(shí)，學(xué)生通過觀察直線與邊緣的平行，更容易從直觀的邊緣上平行聯(lián)想到線與面的平行.不貼切的作圖則會(huì)提升學(xué)生的認(rèn)知困難，如圖2，對于教師來說并不難理解，但對初學(xué)者就未必.

3.2 從對生活模型的直接觀察到數(shù)學(xué)模型的歸納抽象

在課堂引入環(huán)節(jié)，不同版本的教材設(shè)計(jì)了形式多樣的直接觀察欄目，如對門扇繞門框轉(zhuǎn)動(dòng)、硬紙板繞桌面轉(zhuǎn)動(dòng)、日光燈與天花板的位置等等，旨在引導(dǎo)學(xué)生通過“直觀感知”和“操作確認(rèn)”，歸納出線面平行判定定理.事實(shí)上在筆者的實(shí)際課堂實(shí)踐中，發(fā)現(xiàn)幾個(gè)問題：一是活動(dòng)環(huán)節(jié)的指向性難明確，學(xué)生無法從實(shí)物的眾多要素中提煉出教師的真實(shí)意圖；二是從實(shí)物模型直接歸納出判定定理的過程銜接不順暢，梯度偏大.故筆者采用遞進(jìn)原則，即實(shí)物模型(無限特征)—抽象概括(有限特征)—數(shù)學(xué)模型(概念特征)，以書頁翻動(dòng)過程中，書頁的邊緣與桌面平行為例，引導(dǎo)學(xué)生抽象概括共同的本質(zhì)屬性，使定理的發(fā)現(xiàn)更自然.

APOS理論認(rèn)為學(xué)習(xí)過程要經(jīng)過“活動(dòng)”、“過程”、“對象”和“圖式”四個(gè)階段，概念的形成，通過“活動(dòng)”、“過程”抽象為“對象”，慢慢自主建構(gòu)概念的圖式結(jié)構(gòu)，最后形成系統(tǒng)化、模塊化的體系.對生活模型的歸納抽象是學(xué)生把生活化、具體化的問題逐步引向深入，強(qiáng)化學(xué)生對空間概念和定理本質(zhì)的理解，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、歸納推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的必由之路，這個(gè)過程需要逐步推進(jìn)，不能跳躍進(jìn)行.

3.3 從空間到平面的降維，從無限到有限的轉(zhuǎn)化

在歸納推導(dǎo)定理環(huán)節(jié)，首先要明確探究“直線與平面平行”判定定理的核心思想是降維，是把空間問題降維為平面問題，無限問題轉(zhuǎn)換為有限問題的過程，這兩個(gè)轉(zhuǎn)換思想會(huì)貫穿于整個(gè)立體幾何學(xué)習(xí)的全過程.平面的特征是“無限延展”的“平”，在歸納判定定理的過程當(dāng)中如何讓“有限”來承載，直線與平面的平行關(guān)系是三維空間關(guān)系，如何用平面的直線與直線的平行關(guān)系來解決，筆者的思考有下面的三點(diǎn).

(1)線面平行的定義是核心.如前文所言，概念和定理是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的根源，教學(xué)活動(dòng)絕不能脫離基本原理.通過設(shè)問，讓學(xué)生體會(huì)到根據(jù)已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，無法解決由直線和平面的“無限延展”性所帶來的判斷難點(diǎn)，即無法通過無限的延展或無限次的檢驗(yàn)來判斷直線與平面沒有公共點(diǎn)，引發(fā)認(rèn)知沖突，從而引出需要新的判定方法的必要性，引導(dǎo)學(xué)生從直觀想象轉(zhuǎn)向思辨論證.

(2)貼近最近發(fā)展區(qū)，將空間降維到平面，將平面降維到直線，無限的線轉(zhuǎn)化為特定的線.根據(jù)建構(gòu)主義“數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知進(jìn)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上”的教學(xué)思想，從學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過具有“無限性”的線線平行，引導(dǎo)學(xué)生用好基本事實(shí)3推論：平行直線在同一平面內(nèi)，就將空間問題回歸到了平面問題，將線線平行的判斷與線面的平行判斷產(chǎn)生了直接聯(lián)系，問題迎刃而解.

筆者引導(dǎo)學(xué)生把平面α看作是由直線b的平移形成的軌跡，線動(dòng)成面，判斷平面外的直線a與平面的平行，就可以轉(zhuǎn)換為判斷直線a與平面內(nèi)的直線b的軌跡的平行.由學(xué)生前面學(xué)習(xí)到的基本事實(shí)4：a∥b,b∥c?a∥c，對一條直線與無數(shù)條直線平行的判斷，可以轉(zhuǎn)化為僅需要判斷直線a與直線b的平行就足夠了.

(3)思辨論證，撥云見日，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性.學(xué)生要將具有三個(gè)要素的定理完整的表達(dá)出來有一定的難度，從動(dòng)態(tài)的模型到靜態(tài)的數(shù)學(xué)對象轉(zhuǎn)換是較大的思維挑戰(zhàn).為此，筆者設(shè)計(jì)了兩個(gè)問題幫助學(xué)生歸納判斷定理的三個(gè)要素：①是否可以用“平面α外的直線a與平面α內(nèi)的直線b沒有公共點(diǎn)”替代“平面α外的直線a與平面α內(nèi)的直線b平行”？②是否“與平面α內(nèi)的直線b平行的直線平行于平面α”？在這兩個(gè)問題的處理上，筆者未進(jìn)行復(fù)雜的反證法論證，而是將復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型再重新回歸到生活模型，用一支筆扎穿了A4紙(展示異面直線)、將教室門推緊(展示線在平面內(nèi))，學(xué)生立即會(huì)意.這一論證過程簡潔明快，不是由教師直接將定理?xiàng)l件生硬的讓學(xué)生記憶和理解，而是從思辨論證的過程中，讓定理自然的生長在學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)之上，從而提高學(xué)生的幾何論證思維的嚴(yán)密性.

4 反思感悟

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落地要根植于數(shù)學(xué)概念和原理.無論設(shè)計(jì)怎么樣的教學(xué)活動(dòng)，都應(yīng)始終將概念和原理貫穿于情景發(fā)生、認(rèn)知沖突、思辨論證的過程中，要極力避免淺表化的課堂活動(dòng).看起來學(xué)生熱熱鬧鬧地參與課堂，實(shí)質(zhì)上僅僅是參與了游戲，并沒有使用到數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)交流和數(shù)學(xué)推理.

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落地要融合在學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)和思考的數(shù)學(xué)活動(dòng)中.進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)，如本例的線面平行判定定理就屬于概念教學(xué)，必須讓學(xué)生深度參與到數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程，通過不斷設(shè)置與概念相關(guān)的觀察任務(wù)、抽象概括問題、定理論證要求，引導(dǎo)學(xué)生觀察、抽象、辯證，將思維逐步引向深入，讓空間問題平面化、無限化有限的思維在學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)自然地延伸，強(qiáng)化學(xué)生對空間本質(zhì)和定理本質(zhì)的理解.

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落地要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和層級(jí).如本例教學(xué)要符合先直觀想象，后數(shù)學(xué)抽象，再進(jìn)行邏輯推理的遞進(jìn)的過程，而實(shí)際教學(xué)中，我們常常重視直觀想象和邏輯推理而忽略數(shù)學(xué)抽象，以至于跳躍式的從生活模型直達(dá)概念和定理建構(gòu)，不僅讓活動(dòng)的開展和概念的發(fā)生顯得突兀，不利于學(xué)生有效參與課堂，也容易讓數(shù)學(xué)概念脫離生活場景.“數(shù)學(xué)來源于生活”，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的高度概括、簡潔直觀的美也是課堂不可或缺的部分.

作為教師，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度的學(xué)習(xí)，主動(dòng)的、真實(shí)發(fā)生的去建構(gòu)一個(gè)過程連貫、邏輯清晰的知識(shí)脈絡(luò)，是讓核心素養(yǎng)在課堂上落地的必由之路.