三角形中的新定義面面觀

?山東省鄒平市梁鄒實驗初級中學 李光大 張婷麗

在學生掌握三角形基礎知識的前提下，進行三角形新定義的探究，不僅能夯實學生有關三角形的基本定理和概念，而且能提升學生運用舊知解決新知的能力，進而發展學生的創新能力.三角形中的新定義問題，包括“和諧三角形”問題，“等角點”問題，“友好三角形”問題，“三分線”問題，“特征三角形”問題，等等.以下結合典例做一做探討.

1 “和諧三角形”問題

初中階段學過的特殊三角形有直角三角形、等腰三角形、等邊三角形、等腰直角三角形等，它們都有其特殊的性質，且這些三角形因應用廣泛而得到推廣.這里的“和諧三角形”是指一邊上的中線恰好等于這條邊的長的三角形.借助“和諧三角形”可考查直角三角形、等腰三角形等的性質，以及學生的知識遷移能力.

例1如果一個三角形有一邊上的中線與這邊的長相等，那么稱這個三角形為“和諧三角形”.

(1)請用直尺和圓規在圖1中畫一個以線段AB為一邊的“和諧三角形”；

(3)如圖3，已知正方形ABCD的邊長為1，動點M，N從點A同時出發，以相同速度分別沿折線AB-BC和AD-DC向終點C運動，記點M經過的路程為S，當△AMN為“和諧三角形”時，求S的值.

圖1

圖2

圖3

備用圖

解析：(1)如圖4，①作線段AB的中點O，②以點O為圓心，AB長為半徑畫圓，③在圓O上取一點C(點E，F除外)，連接AC，BC.△ABC就是所求作的三角形.

圖4

圖5

(3)易知點M在AB上時，△AMN是等腰直角三角形，不可能是“和諧三角形”；當M在BC上時，連接AC交MN于點E.

圖6

圖7

在Rt△AME中，

點評：本題集畫圖、計算、證明、討論于一體，綜合考查了勾股定理、等腰直角三角形的性質、銳角三角函數等知識，其中第(3)問運用了方程思想和分類討論思想.

2 “等角點”問題

三角形的內心是指三角形三條角平分線的交點，三角形的重心是指三條中線的交點，三角形的外心是指三邊的垂直平分線的交點，三角形的垂心是三條高的交點，三角形的旁心是兩條外角平分線與一條內角平分線的交點，它們都是三角形的一些特殊的點，因具有特殊的性質而得到推廣.而三角形的的“等角點”是指連接此點與各頂點，所得的三個三角形中有一個三角形與原三角形的三個內角分別相等.當“等角點”與三角形的其他點重合時，會有什么情況發生呢？

例2概念學習：如圖8，已知△ABC，點P為其內部一點，連接PA，PB，PC，在△PAB，△PBC和△PAC中，如果存在一個三角形，其內角與△ABC的三個內角分別相等，那么就稱點P為△ABC的等角點.

(1)理解應用：根據已學過的知識，下面兩個命題是真命題還是假命題？并把判斷結果寫在后面橫線上.

①內角分別為30°，60°，90°的三角形存在等角點..

②任意的三角形都存在等角點..

圖8

圖9

(2)解決問題：如圖9，在△ABC中，∠BAC<∠ABC<∠ACB，點P為△ABC的三個內角的平分線的交點.當點P是等角點時，求△ABC三個內角的度數.

解析：(1)①作內角分別30°,60°,90°的三角形斜邊的中線，此中線的中點就是等角點，故為真命題；②在等邊三角形中就找不出一點能成為等角點，所以它是假命題，故答案為：真；假.

點評：定義一個新概念，往往都要與舊圖形、舊知識聯系.本題中的等角點就與直角三角形、等邊三角形、三角形內心、三角形內角和、角平分線聯系.一方面是因為任何事物都不可能孤立地存在，只有與其他事物聯系才有意義；另一方面也是為了考查學生對舊知識的掌握情況.

3 “三分線”問題

三角形的一條中線把這個三角形分成兩個三角形，這兩個三角形的面積是相等的；三角形一條角平分線分對邊所成兩條線段的比等于角的兩邊的比；直角三角形斜邊上的中線把直角三角形分成兩個等腰三角形.這些都是三角形內特殊的線段.那么，在三角形內畫兩條線段，能否把一個三角形分成三個等腰三角形呢？

例3教材的習題中有這樣的一道題，有一個等腰三角形，它的頂角是36°，把這樣的三角形紙片只剪兩下，于是得到三個三角形，如何才能使每個三角形都是等腰三角形呢？請畫出剪切線，你有多少種方法呢？圖10是一個示例.

定義：如果兩條線段將一個三角形分成三個等腰三角形，則把這兩條線段叫做這個三角形的三分線.

圖10

圖11

(1)如圖11是兩個等腰三角形，它們的頂角都是45°，請用不同的方法分別畫出這兩個三角形的三分線，并求出分得的每個等腰三角形頂角的度數.

(2)△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分線，點D在BC邊上，點E在AC邊上，且AD=BD，DE=CE，設∠C=x，試畫出示意圖，并求出x所有可能的值.

4 引申變式

引申：如圖14，已知正方形ABCD的邊長為1，點E在邊BC上滑動，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的角平分線CF于點F.當點E滑動到某處時，點F恰好落在直線y=-2x+6上，求此時點F的坐標.

圖14

圖15

變式如圖15，四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，點E是BC邊上一點，∠AEF=60°，且EF交直線CD于點F.

(1)求證：AE=EF.

(2)你還能設計出怎樣的問題？并嘗試解答.

5 結語

幾何是初中數學的重點，也是學生學習的難點，書本上的例題、習題都是精心篩選出來的典型題目，教學時需要用好教材又要高于教材，注重習題的變式，挖掘其蘊涵的深層的功效，運用多種思維方法，讓學生感悟知識結構之間的關系，既能鞏固基本知識、基本模型，掌握知識的本質觸類旁通，又能在基礎知識上進行拓展，培養學生思維的發散性和深刻性，真正提升學生思維品質.