基于動態D向分割和混沌擾動的陰陽對優化算法

李大海，劉慶騰，艾志剛，王振東

（江西理工大學信息工程學院，江西贛州 341000）

0 引言

目前，越來越多的非線性、高維度的工業類優化問題已難以使用傳統方法進行求解。隨機搜索算法因為其易實現、高靈活性、高效性正被廣泛應用于此類優化問題的求解，比如復雜系統參數設計、圖像分割、生產調度、路徑優化等［1］。

目前已知的大多數隨機搜索算法來源于對自然界生物行為的模擬。例如，Kennedy 等［2］提出的粒子群優化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法是模仿鳥群覓食行為；Yang［3］提出的花授粉算法（Flower Pollination Algorithm，FPA）是模擬自然界花粉不同傳播方式；Mirjalili 等［4］提出的灰狼優化算法（Grey Wolf Optimizer，GWO）是模仿北美灰狼的等級制度和覓食行為；Mirjalili［5］提出的鯨魚優化算法（Whale Optimization Algorithm，WOA）是模仿鯨魚在海中捕獵的方式；Askarzadeh［6］提出的烏鴉搜索算法（Crow Search Algorithm，CSA）是模仿自然界中烏鴉偷竊和藏匿食物行為；Xue 等［7］提出的麻雀搜索算法（Sparrow Search Algorithm，SSA）是模仿麻雀群覓食和反捕食行為。

陰陽對優化（Yin-Yang-Pair Optimization，YYPO）算法是Punnathanam 等［8］受中國古代陰陽平衡思想啟發提出的一種單目標隨機搜索算法，是一種基于在搜索空間的全局搜索和局部開發之間保持平衡的輕量級優化算法。它在每次迭代中通過對于P1（exploitation 點或陽點）和P2（exploration 點或陰點）兩點的擇優交換實現更新迭代［9］。YYPO 算法的優點是設置參數相對較少，時間復雜度相對較低，但其缺點是在求解復雜困難的優化問題時，易早熟收斂［10］。

對于YYPO 已有諸多改進算法被提出。Punnathanam等［11］提出了簡化陰陽對優化（Reduced YYPO，R-YYPO）算法，在分割更新中舍棄了原YYPO 算法中的D 向分割模式，而只采用單向分割的優化策略，獲得了更快的收斂速度；但降低了算法搜索到最優解的幾率。Maharana 等［12］提出了動態陰陽對優化（Dynamic YYPO，DYYPO）算法，在搜索早期固定使用較高的存檔頻率，并隨著迭代次數的增加逐漸降低存檔頻率；但在優化復雜問題時易早熟收斂。Song 等［13］提出了一種改 進陰陽對 優化算法 3D-YYPO（3 Dimensional-YYPO），其在分割過程中增加了一種三維矩陣的分割策略以提高算法的收斂速度，并被應用在高海拔風力發電機的設計參數優化問題中。實驗結果表明，前述的參數優化能取得較好的結果。許秋艷等［10］提出了一種基于混沌搜索和錯卦變換的陰陽平衡優化算法，該算法是在原YYPO 的基礎上加入混沌搜索以增加算法的多樣性，并加入錯卦變換利用反向學習策略以增強算法尋優能力；但其大幅增加了算法的復雜程度。李大海等［9］提出了針對YYPO 中的縮放因子α參數機制進行改進的陰陽對優化算法IYYPO（Iteration YYPO）。IYYPO 通過使用線性與非線性自適應變化3 種方式調節縮放因子α，能取得比原YYPO 算法更快的收斂速度和更高的求解精度。李大海等［14］提出的改進陰陽對優化算法YYPO-SA（Yin-Yang-Pair Optimization-Simulated Annealing）是在P1 和P2 兩點交換之間加入模擬退火策略，其依據交換策略的不同又細分為兩種算法，即YYPO-SA1 和YYPO-SA2。實驗結果表明，YYPO-SA 在統計學意義上擁有更穩定求解的能力和更高的計算精度，并且YYPO-SA1 比YYPO-SA2 具有輕微的性能優勢。Yang［15］表明增強算法的隨機性對提高優化算法的性能有著顯著的影響：比如：陳立等［16］將隨機性引入改進的小窗口蟻群算法，增強了算法的魯棒性；劉暢等［17］將隨機機制應用到螢火蟲算法，也增強了算法的優化能力；王興柱等［18］在粒子群算法上引入隨機性權重也取得了良好的效果。

為進一步提升YYPO-SA1 的性能，本文基于YYPOSA1［14］提出了一種基于動態D 向分割和混沌擾動的陰陽對優化算法NYYPO（Newton-Yin-Yang-Pair Optimization）。在YYPO-SA1 中融入自適應迭代衰減因子的牛頓衰減策略來動態調整單向分割與D 向分割的概率，以提高YYPO-SA1 算法的隨機性。在搜索的早期以較大的概率進行D 向分割，以增強全局搜索能力，并在分割階段加入混沌概率擾動策略，利用混沌的遍歷性增強算法的局部搜索能力，進一步增強算法的搜索能力。本文選用在2013 年進化計算大會的單目標實參算法競賽中使用的15 個有代表性的測試函數作為性能測試的基準函數（表1）。在測試中，將NYYPO 和YYPO-SA1以及多個具有優良性能的代表性的單目標優化算法：粒子群優化（PSO）算法、烏鴉搜索算法（CSA）、灰狼優化算法（GWO）、鯨魚優化算法（WOA）、花授粉算法（FPA）、麻雀搜索算法（SSA）進行性能測試與比較。基于實驗數據，本文還采用Friedman 檢驗［19］分析方法評估各算法的性能。實驗結果表明，本文提出的NYYPO 算法相比其他算法能有更穩定以及高效的求解能力。

1 YYPO-SA1算法

YYPO 使用P1 和P2 兩點生成的附加點探索更新，并在每次迭代中將P1 和P2 兩點擇優交換。YYPO-SA1 是在P1和P2 兩點交換的步驟中加入模擬退火算法策略，即以一定的概率使P1 和P2 兩點不發生交換操作，讓P1 點在非優解位置繼續探索，從而能對更多位置做小范圍的搜索，使算法在一定程度避免陷入局部最優。

和YYPO 相同，YYPO-SA1 也是通過在P1 和P2 兩點為中心的兩個超球體的內部生成新的附加點進行探索更新，并在每次迭代 中按照式（1）減小半徑δ1和增大半 徑δ2。YYPO-SA1 具有3 個用戶自定義的參數（Imin，Imax，α），其中Imin和Imax分別為存檔次數I的最大值和最小值，α是縮放因子。半徑δ1和δ2的縮放公式如下：

YYPO-SA1 同時通過單向分割與D 向分割兩種機制在P1 和P2 為球心的超球體內部產生2D個新附加點，其中D代表搜索空間的維度。在單向分割中將P1 和P2 兩點分別復制2D份存儲在NP中。單向分割的更新公式如下所示：

其中：k表示點號；j表示點的第j維度；r是介于0～1 的隨機數。因為NP中的每個修改都需生成一個新的隨機數r，所以共需要2D個隨機數。D 向分割的更新公式如下所示：

其中：k表示點號；j表示點的第j維度；r是介于0～1 的隨機數。由于在NP中每個點的每個變量生成一個新的隨機數r，所以需要2D*D個隨機數。B是一個長度為D的二維隨機二進制字符串矩陣。

D 向分割完成后，在P1 的δ1半徑和P2 的δ2半徑內也都各自得到2D個隨機分布的點。顯然，在D 向分割的更新方式下，算法會以比單向分割更大隨機性探索解空間。

YYPO-SA1 采用的模擬退火機制的降溫公式如下：

其中：S是溫度變化次數，m是退火次數，T0是初始溫度TS是降溫后溫度。如式（4）所示，模擬退火算法中使用兩種退火策略，即：在降火次數小于等于m時，溫度T快速下降；而大于m時，溫度T以相對較慢的速率下降。兩種退火策略在算法的前后期接受非最優解的概率不同，能夠使算法更高效地跳出局部最優解，退火次數m設置為15［20］。YYPO-SA1 算法的主要步驟如下：

步驟1 對兩點P1、P2 進行隨機初始化。

步驟2 計算初始化兩點P1、P2 的適應度值。

步驟3 若點P2 的適應度值優于點P1 的適應度值，交換兩點的位置和搜索半徑。

步驟4 根據式（2）和式（3）等概率對P1、P2 兩點進行分割更新，在兩點交換過程中加入模擬退火算法。

步驟5 接受更新后的P1、P2 兩點的結果，根據模擬退火算法的概率決定是否不交換兩點位置。

步驟6 若分割更新次數等于存檔次數進入存檔階段，否則轉步驟4。

步驟7 若滿足算法終止條件輸出算法最優解，否則轉步驟3。

實驗結果表明，YYPO-SA1 相較于YYPO 搜索精度與穩定性都有較好的提升。

2 改進的陰陽對優化算法

YYPO-SA1 和YYPO 使用相同的分割策略，兩者都以固定的概率0.5 進行單向分割或進行D 向分割。

因為D 向分割的隨機性顯然要優于單向分割，并且提高算法的隨機性有助于提高算法的優化性能［15］，所以NYYPO采用了基于牛頓衰減的自適應機制來動態調整D 向分割和單向分割的概率；同時，在YYPO 及其改進算法中，P1 和P2兩點在設計上分別用于局部探索和全局開發，調節兩點的分割概率能夠更好地利用算法尋優的特點。為了驗證不同D向分割概率對于算法性能的影響，在YYPO-SA1 中，將D 向分割概率P分別設置為0.2、0.4、0.6、0.8，然后在測試函數f2和f13上進行實驗：f2是典型的單峰函數，其不存在局部最優點；f13是復雜的多峰函數，其存在多個局部最優。單峰的f2用于測試算法的局部搜索能力，而多峰的f13用于測試算法的全局尋優以及跳出局部最優的能力。

圖1（a）和1（b）分別顯示了YYPO-SA1 在不同的D 向分割概率下的最優值的收斂曲線。從圖1（a）上可以看出，當D向分割概率為0.8 時，算法在單峰的f2測試函數上的收斂情況最好；從圖1（b）上可以看到，在f13測試函數上，增大D 向分割的概率，可以顯著地提高算法的搜索性能。測試結果表明，通過增大D 向分割的概率的方式來提高算法的隨機性至少能夠顯著提高YYPO-SA1在某些測試函數上的搜索性能。

圖1 不同概率下算法收斂情況Fig.1 Algorithm convergence under different probabilities

2.1 調節算法D向分割概率方式的分析

在智能優化算法中增強算法隨機性的方式有很多，其中伴隨迭代次數變化而變化的自適應策略是一種經典并且被廣泛應用的自適應調節策略。比如，徐航等［21］曾在鯨魚優化算法上提出使用隨迭代次數自適應調節算法權重參數和閾值，提高了算法的優化效果。

牛頓衰減定律是在考慮周圍環境溫度固定的條件下，計算一個熱物體溫度隨時間變化的規律［22］，其常用于模擬退火算法中的溫度調節，比起常規的溫度調節有著更好的優化效果［23］。NYYPO 算法采用牛頓衰減定理調節溫度的方式融入隨迭代次數自適應調節的衰減因子動態地調節D 向分割的概率，其調節概率的公式如式（5）所示：

其中：t是算法當前的迭代次數；R(t)表示第t次迭代的分割概率；初始的D 向分割概率設置為D 向分割概率的上邊界；RL是D向分割概率的下邊界；T是算法總的迭代次數；參數Z是衰減因子，設為固定值0.001［23］。

在式（5）中，D 向分割概率以更慢的速率隨著迭代次數的增加逐漸非線性降低，可以使NYYPO 在前期傾向以更高的概率進行D 向分割，以實現對空間更為充分搜索；在后期，NYYPO 又逐漸將D 向分割概率降低到設定的最小值，以提高后期搜索的穩定性。NYYPO 也更為契合YYPO 算法的基本設計原理，即在前期，更注重全局搜索，在中后期，更注重局部搜索［8］。

2.2 混沌擾動策略

隨著算法迭代次數的不斷增加，算法尋優逐漸趨于收斂，一旦陷入局部最優便難以跳出。徐辰華等［24］指出在算法更新中加入擾動機制可以有效提升算法跳出局部最優的能力。對于擾動策略，在以往的一些優化算法中有所研究，胡宏梅等［25］提出采用隨機概率擾動方式改進基本粒子群算法，但不具有遍歷性；龍文等［26］提出的混沌擾動策略，相較于胡宏梅等［25］提出的擾動策略，混沌擾動策略利用混沌序列的遍歷性、規律性和隨機性對當前最優個體進行混沌擾動，可使算法跳出局部最優，從而提高算法的全局搜索能力和求解精度。受龍文等工作的啟發，本文提出在YYPO-SA1的分割階段使用混沌擾動策略，以提高算法跳出局部最優的能力。混沌是非線性確定系統中由于內在隨機性而產生的一種復雜的動力學行為，具有隨機性規律性和遍歷性等特點。目前常用的混沌序列是logistic 映射和tent 映射。岳龍飛等［27］發現tent 混沌映射在遍歷性、均勻性和迭代速度方面比logistic 混沌映射具有更大優勢。tent 混沌映射公式如下：

其中點P是經過tent 混沌映射的點。本文使用的混沌擾動策略是基于tent 混沌映射，其具體的公式如下：

其中：.*為點乘運算符；P'為擾動后的解；Pn是經過n次混沌映射后的混沌點；P*為當前算法最優解；τ為擾動強度，其值在區間［0，1］，其具體計算公式如下：

其中：D是問題的優化維度，n是當前最優點進行混沌映射的迭代次數。對擾動后的算法最優解更新公式如下：

其中f(P'(t))和f(P*(t))分別表示第t次迭代中的擾動更新點的適應度值和未擾動的分割最優點的適應度值。NYYPO算法的主要步驟如下：

步驟1 對兩點P1、P2 進行隨機初始化。

步驟2 計算初始化兩點P1、P2 的適應度值。

步驟3 若點P2 的適應度值優于點P1 的適應度值，交換兩點的位置和搜索半徑。

步驟4 根據式（5）增大P1、P2 兩點D 向分割的更新概率，在兩點交換過程中加入模擬退火算法。

步驟5 接受更新后的P1、P2 兩點的結果，根據模擬退火算法的概率決定是否不交換兩點位置。

步驟6 根據混沌擾動策略對當前最優解進行混沌擾動。

步驟7 若分割更新次數等于存檔次數進入存檔階段，否則轉步驟4。

步驟8 若滿足算法終止條件輸出算法最優解，否則轉步驟3。

2.3 時間復雜度分析

本文使用符號O來表示時間復雜度的漸進上界。和原YYPO 算法相同，NYYPO 算法迭代的時間復雜度也與求解問題的維度D直接相關。在NYYPO 初始化階段，其對P1 和P2兩點進行賦值時間復雜度為O(2D)。初始化后，算法進入第一次存檔后便進行分割階段，因為牛頓衰減方式僅控制更新的概率不更改分割方式，所以其分割方式與YYPO 是相同的。由于單向與D 向分割的分割方式不同，此處對兩種分割方式進行分別分析。單向分割時，P1 和P2 兩點分別復制2D個附加點進行探索更新，單向分割的時間復雜度為O(D)。在D 向分割中，P1 和P2 同樣生成2D個點，然后再生成一個二進制矩陣B，D 向分割的時間復雜度為O(D)。適應度值評估階段，對所有的點進行縮放，所以時間復雜度為O(2D*D)=O(D2)。算法擾動并適應度評估的時間復雜度為O(D2)，在評估適應度值之后，算法使用模擬退火算法進行兩點交換操作，該操作也僅與維度D有關，所以交換時間復雜度為O(D)。如果到達存檔數I，則存檔階段時間復雜度為O(I)。算法時間復雜度最壞情況是D 向分割且觸發存檔I=Imax，NYYPO 每次迭代最壞情況下的時間復雜度為O(D2)。

3 實驗結果與分析

3.1 實驗設計

為了驗證NYYPO 算法的有效性，本文從2013 年IEEE 進化計算大會中舉行的單目標實參算法競賽所使用的28 個測試函數中選擇了15 個代表性的測試函數作為實驗的性能基準函數。在判斷隨機搜索算法的性能優劣時往往使用單峰函數來考察一個算法的局部搜索能力，多峰函數考察其全局搜索能力，復合函數用于考察其處理復雜問題的能力［19］。各測試函數的參數取值范圍統一設置為［-100，100］。各測試函數名稱以及理論最優解見表1。

表1 測試函數Tab.1 Test functions

本文實驗選取了YYPO-SA1 以及其他6 個具有代表性的高性能單目標算法：烏鴉搜索算法（CSA）、粒子群優化（PSO）算法、灰狼優化算法（GWO）、鯨魚優化算法（WOA）、花授粉算法（FPA）、麻雀搜索算法（SSA）與NYYPO 作性能比較。為了減小參數不同引起的差異，NYYPO 和YYPO-SA1 的3 個用戶自定義參數（Imax，Imin，α）的設置都參考YYPO 原算法中的設置。關于NYYPO 中的模擬退火溫度及其控制的相關參數參考文獻［16］中使用的設置。由于參數m控制模擬退火機制中溫度降低的速率，所以其對于算法整體性能的影響相對較大。為了進一步驗證算法的有效性，在后繼的實驗中還分別測試了m取值為5 和30 的情況。為了方便表示m不同取值下的實驗結果，在后繼的圖表中使用NYYPO1 和NYYPO2表示m取值為5 和30 的實驗結果。其他參數設置與NYYPO相同。PSO、CSA、WOA、SSA、FPA 都是按照原文獻中使用的參數進行設置，并且種群數目統一設置為30。對于GWO，則根據其算法性質將種群數目設置為10。

3.2 實驗結果分析

表2～4 分別給出了各參與測試的算法對于15 個測試函數在10 維、30 維、50 維的測試的結果。表中的最后3 行中的Count 表示排名為第一的總次數，Ave Rank 表示平均排名情況，Total Rank 表示基于Ave Rank 排序的總排名情況，最優者用加粗表示。

表2 維度為10時算法在15個測試函數上的實驗結果Tab.2 Experimental results of algorithms on 15 test functions with 10-dimension

從表2 中可以看出，NYYPO 系列算法（包含NYYPO1 和NYYPO2）在10 維的15 個測試函數上10 次排名第一，其中：4個單峰函數1 次排名第一，6 個多峰函數6 次排名第一，5 個組合函數3 次排名第一。NYYPO 的Ave Rank 值是2.87，NYYPO1 和NYYPO2 的Ave Rank 值均是3.6，而YYPO-SA1的Ave Rank 值僅有5.93，這表明在10 維的各測試函數上，NYYPO 的總體搜索能力相比YYPO-SA1 已有顯著性的提升，并且NYYPO 總體搜索能力也強于其他的6 個算法。在NYYPO 系列算法中NYYPO 兩次排名第一，略優于NYYPO1和NYYPO2。

NYYPO 系列算法在6 個多峰函數上6 次排名第一，5 個組合函數3 次排名第一，這個事實表明NYYPO 系列算法采用的改進措施顯著地提升了原YYPO-SA1 算法在10 維的15個測試函數上的跳出局部最優的能力。特別是在多峰的測試函數上，NYYPO 系列均排名第一，而YYPO-SA1 算法排名遠弱于NYYPO 系列算法，在NYYPO 系列算法中NYYPO 算法4 次排名第一，這也證明了退火次數參數m設置的合理性。

從表2 中也能看出，NYYPO 系列算法在單峰函數上僅在f1上取得一次最優，但總體上排名仍然要好于YYPO-SA1 在這些單峰函數上的排名。這表明NYYPO 采用的改進策略對于相對簡單的單峰函數仍然有效。

從表3 中可以看出，當15 個測試函數的維數為30 時，NYYPO 總體的表現仍然優異。總計有9 次排名第一，其中：4 個單峰函數3 次排名第一，6 個多峰函數4 次排名第一，5 個組合函數2 次排名第一。NYYPO 的Ave rank 值為2.0，綜合排名為第一，NYYPO1 和NYYPO2 的Ave Rank 值分別為2.27和2.40，而YYPO-SA1 的Ave rank 值為3.93，落后于NYYPO系列算法。這表明在30 維的各測試函數上，NYYPO 系列算法的總體搜索能力相比YYPO-SA1 也能獲得顯著性的提升。這個事實也進一步表明了使用牛頓衰減策略調節D 向分割概率的有效性，在NYYPO 系列算法中NYYPO 算法也要略強于NYYPO1 和NYYPO2，僅在多峰函數f6和f7落后于NYYPO1和NYYPO2，NYYPO 在30 維度的6 個多峰函數4 次排名第一，5 個組合函數2 次排名第一，表明，隨著維度的提高，NYYPO 算法在多峰和復雜的組合函數上仍然能夠保持著良好的性能。

表3 維度為30時算法在15個測試函數上的實驗結果Tab.3 Experimental results of algorithms on 15 test functions with 30-dimension

表4 列出的是各算法在50 維測試函數上的測試結果。NYYPO 系列算法在15 個測試函數上取得14 次最優，14 次最優中NYYPO 算法7 次排名第一，優于NYYPO1 和NYYPO2，NYYPO 在4 個單峰函數3 次排名第一，6 個多峰函數3 次排名第一，5 個組合函數中表現略差于NYYPO1 排名第2 但總體性能依舊優于NYYPO1、NYYPO2 和YYPOSA1。實驗結果表明，隨著測試函數維數的提升，NYYPO 在多峰函數和組合函數上的性能保持穩定，其在單峰函數上的性能也得到了顯著提升；同時，NYYPO 的Ave rank 值為1.93，仍排名第一，NYYPO1 和NYYPO2 的Ave Rank 值分別為2.13 和2.53，而YYPO-SA1 的Ave rank 值為3.73。這表明NYYPO 在高維的測試函數上仍能保持較為穩定的優化性能。

表4 維度為50時算法在15個測試函數上的實驗結果Tab.4 Experimental results of algorithms on 15 test functions with 50-dimension

如表4 所示，NYYPO 在6 個多峰函數3 次排名第一，5 個組合函數表現略差于NYYPO1，在多峰函數f7和組合函數f14上也只是稍遜于YYPO-SA1 和NYYPO1。這表明NYYPO 在存在多個局部最優的測試函數上，仍保持了一定的性能優勢；另一方面，NYYPO 在單峰函數上多數占優的原因可能是隨著測試函數的維數急速增大，增大算法的隨機性有助于其更快速地尋找測試函數的唯一最優點。

3.3 Friedman檢驗

為進一步驗證新算法NYYPO 的有效性，文本基于上述的實驗數據，應用Friedman 檢驗［19］從統計學角度檢驗NYYPO 算法優勢的顯著性。Friedman 檢驗是一種非參數雙向方差分析的檢驗方法，功能是用來檢測幾組數據之間是否存在顯著性差異，常用來檢測優化算法的結果的優劣。Friedman 檢驗的原理是在統計意義上假設檢驗樣本之間無顯著差異，然后依據檢驗結果來判斷是否拒絕原假設，以檢驗算法的優劣和在置信區間內是否存在顯著差異。

Friedman 檢驗的計算步驟分為以下3 步：

1）把每個算法的數據結果收集起來。

2）對于每個問題i的最好結果與最壞結果列出排名，定義為(1 ≤j≤e)，e代表的是每個問題i的最壞結果排名。

3）在所有問題中求出每個算法的平均排名，得到最后排名Rj=(1/g)檢驗結果中的秩的均值越小表明該算法性能就越好。

在一開始零假設下認為所有算法的行為沒有顯著性差異（排名秩相等），Friedman 統計值計算公式如式（10）所示：

Ff的值越小，各算法之間的差異的顯著性水平越高。當g和e足夠大時（根據經驗g＞10，e＞5），它是服從e-1 自由度的χ2分布的。

依據表2～4 中的實驗數據，對NYYPO 和參與實驗的其他算法分別進行Friedman 檢驗。檢驗結果如表5 所示，其中表中的P-value 值即是式（10）的計算結果Ff，表中其他的值是各算法的平均排名秩Rj。

從表5 中可以看出NYYPO 在維度10 維、30 維、50 維的15 個測試函數上，通過Friedman 檢驗獲得的漸進顯著性Pvalue 值均遠遠小于0.01，并且維度越高差異性越大。這主要是由于對比算法隨著維度的提升而精度下降。這個事實表明本文提出的新算法NYYPO 的尋優性能相比參與評測的其他算法在統計學意義下有顯著的優勢。

表5 Friedman檢驗結果Tab.5 Results of Friedman test

3.4 收斂情況的分析

為了驗證NYYPO 的收斂性能，圖2～4 分別給出了NYYPO、NYYPO1、NYYPO2 與YYPO-SA1、WOA、PSO、CSA、GWO、SSA、FPA 在50 維上有代表性的8 個測試函數上的收斂曲線。

從圖2 中可以看出，NYYPO、NYYPO1 和NYYPO2 的收斂精度要高于其他對比算法。在單峰測試函數上，NYYPO、NYYPO1 和NYYPO2 無論是平均收斂精度和收斂速度都要優于YYPO-SA1。在測試函數f1上，NYYPO 系列算法和YYPO-SA1 的收斂精度相差特別小。在f2測試函數上NYYPO 系列算法都是在迭代次數大約為1 300 次時，已經找到函數的最優值。這個結果可能和4 個單峰函數的具體形式有關。

圖2 收斂曲線（單峰函數）Fig.2 Convergence curves（unimodal functions）

圖3 顯示的是各參評算法在4 個50 維的多峰測試函數上伴隨迭代次數的收斂圖。相較于單峰函數，4 個多峰函數都具有較多的局部最優點。可以觀察到，在50 維4 個多峰測試函數上達到最高的平均收斂精度，并且在f5和f6上，其平均收斂精度明顯優于其他對比算法。同時，也可以明顯地看出，NYYPO 算法在大部分多峰函數上的收斂速度要快于其他算法。這表明，對于高維度的多峰函數，NYYPO 算法也可以在較少的迭代次數下快速找到接近函數的理論最優值的解。

圖3 收斂曲線（多峰函數）Fig.3 Convergence curves（multimodal functions）

圖4 顯示的是各參評算法在2 個50 維的組合測試函數上伴隨迭代次數的收斂圖。組合函數和多峰函數類似，又存在較多的局部最優點，但組合函數的全局最優和局部最優點的分布通常要比多峰函數更為復雜。

從圖4 可以觀察到，在50 維的測試函數上，NYYPO 要略差于NYYPO1 和NYYPO2，優于YYPOSA1 算法。這表明NYYPO 可以對復雜目標函數進行有效快速搜索的單目標優化算法。

圖4 收斂曲線（組合函數）Fig.4 Convergence curves（composition functions）

根據以上分析，NYYPO 算法可以在50 維的測試函數上多次獲得更高的平均收斂精度，并且其和NYYPO1、NYYPO2也在大多數測試函數上具有更快的收斂速度要優于YYPOSA1 算法。這表明NYYPO 是一種高效的單目標優化算法，并且NYYPO 算法對于YYPOSA1 的改進措施是有效的。

4 高海拔風力發電機參數優化

能源需求的快速增長和化石燃料的快速消耗導致世界能源發展逐漸轉向可再生能源。在各種可再生能源中，風能正迅速發展，據統計，至2018 年，全球的風電總裝機容量已達591 GW［13］。

與傳統能源技術相比，風能具有較高的發電成本；因此，有必要進一步降低風能的成本，使其更具競爭力。風力發電機的設計目標是通過優化風力發電機組參數來提高風力發電機的性能，并降低生產成本。隨著海拔的升高，空氣密度和氣壓發生變化，其對風力發電機成本和生產率的影響不容忽視，具體表現為成本增加，生產率降低，導致能源成本增加。為了使經濟效益最大化，可以選擇不同的技術經濟模型來分析風電場的投資和建設可行性，其中COE（Cost Of Energy）是最常用的評價指標。COE是指每生產1 KWh 電能的成本，包括年能源生產成本和年能源產量。目前，風力發電機組優化設計中廣泛使用的COE模型主要來自“國家可再生能源實驗室風力發電機組設計成本和比例模型”的研究成果［28］。

該模型由兩部分組成：年生產成本（Annual Production Cost，APC）和年發電量（Annual Energy Production，AEP）。COE可由年生產成本與年發電量的比值得到，如式（11）所示：

本文使用參考文獻［13］中關于高海拔風力發電機的設計參數優化模型進行實驗，該模型具體的表達式如式（12）所示：

其中：R是風力發電機輪廓轉子的半徑，ρ是空氣密度，H是風力發電機輪廓的高度，Vc是讓風力發電機工作的最小風速，Vr是風力發電機達到額定功率發電的額定風速，Vf是風力發電機工作的最大風速，超過最大風速發電機會停止發電，Pr是風力發電機的額定功率，halt是發電機所在的海拔高度。

因為制作工藝對于輪廓轉子半徑R和輪廓轉子高度H和額定功率Pr有著一定的約束關系，所以為了滿足結構約束，輪轂高度設定為轉子半徑的1.5～3 倍，額定功率設定為轉子半徑的20～40 倍［29］。為了公式化這個優化問題，適應度函數和結構約束如式（13）所示：

本文實驗的參數設置半徑R的范圍為20～50 m，高度H的范圍為10～150 m，功率Pr范圍為100～3 000 kW，工作最小風速Vc和最大風速Vf分別為3 m/s 和25 m/s。使用風機優化的原文獻［13］中提出的3D-YYPO 算法與NYYPO 算法分別對于海拔高度為2 000 m、3 000 m、4 000 m 的三種情況來優化的風機的3 個參數：輪廓轉子的半徑R、輪廓轉子高度H、額定功率Pr來獲得更小的COE。3D-YYPO 的參數參考文獻［13］進行設置。NYYPO 的參數與前述實驗使用的設置相同不同海拔高度下兩種優化算法得到的風機最優參數如表6 所示。NYYPO 獲得的最小COE 值和相應的參數要優于3D-YYPO。當高度從2 000 m 增加到4 000 m 時，轉子半徑R有著些許減小，輪轂高度從61.672 0 m 變化到60.574 5 m，額定功率從0.411 5 MW 變化到0.421 9 MW，COE 從0.016 639 3 kWh 增加到0.021 218 kWh。隨著海拔高度的升高平均每千瓦時發電量的成本在增加，原因主要是海拔升高空氣密度變小，以及維護的成本增加。從表6 中的COE 值來看，NYYPO 要明顯優于3D-YYPO。

表6 不同海拔高度下算法優化得到的最優結果Tab.6 Optimal results achieved by algorithms at different altitudes

5 結語

本文提出的NYYPO 是YYPO-SA1 的改進算法。其使用基于牛頓衰減的D向分割概率自適應調節機制，提高了全局搜索能力。基于15 個測試函數上的測試結果，并應用Friedman 檢驗，可以看出，NYYPO 在統計學意義上優于YYPO-SA1，并顯著優于其他參與評測的6 個算法。在高海拔風力發電機的設計參數優問題上，NYYPO 也能獲得優于3D-YYPO 的優化性能。NYYPO 算法依舊存在著一定的不足，在10 維情況下單峰函數表現較差，在50 維情況下的組合函數僅一次最優，這表明，NYYPO 的全局搜索能力還有待加強。