求多重多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的一般公式

◎馬 悅 傅 勤

(江蘇省蘇州市蘇州科技大學數(shù)學科學學院，江蘇 蘇州 215009)

一、引 言

多元函數(shù)微分學是高等數(shù)學和數(shù)學分析課程中的重要內(nèi)容，其中的復(fù)合函數(shù)微分法主要討論了復(fù)合函數(shù)的可微性、偏導(dǎo)數(shù)與全微分在研究復(fù)合函數(shù)的一般求導(dǎo)法則時，教材中運用了鏈式法則的求導(dǎo)方法但是在計算較復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)時，簡單地運用鏈式法則會使問題的解決變得煩瑣文后的參考文獻給出了多元函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的一般公式，并沒有給出求多重多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的一般公式為了解決此類問題，本文將從推導(dǎo)求二重復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的一般公式出發(fā)，研究求三重多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的一般公式，并進一步研究求多重任意元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的一般公式

二、求二重、三重多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的一般公式

(一)文后參考文獻中的已有公式

若(,…,)在點(,…,)可微，而=(,…,),=1,2,…,在點(,…,) 具有關(guān)于(=1,2,…,)的偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)

((,…,),(,…,),…,(,…,))

關(guān)于自變量的偏導(dǎo)數(shù)是

我們注意到：上述方法中每個函數(shù)的變量個數(shù)是相同的那么能否將此公式推廣到更為一般的形式，即考慮到每個函數(shù)的變量個數(shù)不相同的情況呢？

文后的參考文獻[3]～[7]提出了運用叉樹表示元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)關(guān)系的樹型法則，使得相應(yīng)的計算過程可簡化為：遍歷各枝(子)，最后到葉；兄弟用加，下輩用乘這個方法對之后研究多重多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)有很大的啟發(fā)相應(yīng)地運用三元樹型法則計算三重復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的過程如下所示

函數(shù)是關(guān)于函數(shù),,的復(fù)合函數(shù)，函數(shù),,是分別關(guān)于自變量,,的函數(shù)，寫出表達式如下：

當天夜里秦川將她占有，或者說當天夜里她將秦川占有，她認為后者或許更恰當一些。她不是隨便的女人，她無比保守，可是見到秦川，她就想將自己交付出去。她不是淫蕩的女人，她無比清純，可是見到赤裸的秦川，她甚至想跪下去親吻秦川的腳趾。那幾天里，她認為自己是世界上最合格的充氣娃娃。

我們注意到：這些文獻對樹型法則的相關(guān)研究為多重多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的計算提供了很好的方法，但并沒有給出求多重多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的一般公式本文將針對求多重任意元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的一般公式進行更深入的研究

(二)求二重多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的一般公式

1若=(,…,)在點(,…,)可微，=(,…,),=1,2,…,,=1,2,…,在點(,…,)具有關(guān)于(=1,2,…,)的偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)

((,…,),(,…,),…,(,…,))

關(guān)于自變量的偏導(dǎo)數(shù)是

由定理條件可知

①

其中,,…,,,,…,,,,…,為當Δ,Δ,…,Δ趨于零時的無窮小又由=(,…,)在點(,…,)可微，所以

②

其中,,…,為當Δ,Δ,…,Δ趨于零時的無窮小將①代入②，可得

其中,

由此可以得到關(guān)于自變量的偏導(dǎo)數(shù):

(三)求三重多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的一般公式

由定理條件可知

三、求多重多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的一般公式

即結(jié)論成立

=1,2,…,+1

因此，對于+1重(為任意自然數(shù))元復(fù)合函數(shù)，結(jié)論也成立證畢

四、結(jié) 語

本文從教材上已有的二重復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的計算方法入手，嘗試運用樹型法則對多元多重函數(shù)進行偏導(dǎo)數(shù)的求解，通過研究得出求三重多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的一般公式，然后利用數(shù)學歸納法進一步推導(dǎo)出了求多重多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的一般公式