基于結構力學的高中數學建模的開發思考

◎張世凡

(重慶市萬州區教師進修學院，重慶 404120)

一、引 言

目前，我國高中數學課堂上應當引導學生們進行自主探索、閱讀自學、動手實踐以及合作交流的學習方式，充分調動學生在數學課堂上的學習主動性，使學生可以在學習的過程中探索出對數學建模的獨有見解如何培養學生對數學的探索能力成為高中數學教師應當首要解決的問題對此，高中數學教師應從數學建模教學角度入手，提高學生在結構力學中數學建模的能力

二、結構力學中數學模型的發展與意義

(一)結構力學中數學模型的意義

首先，結構力學可以為學生提供豐富的數學模型，而且結構力學這門課程的總體教學規律還遵循“數學—力學—結構”這樣的線路，即結構力學中每一項理論的產生都基于數學知識、理論力學和材料力學三個學科進行推理論證，才能夠得出結構力學的結論因此，結構力學包含很多數學學科的基本理論知識從結構力學的角度出發，結構力學中所用到的公式本身會具有結構力學課程獨特的地方，雖然這些公式都是基礎的數學表達式，但結構力學可以將其中的參數與力學參數結合在一起，賦予公式處理結構力學問題的能力如果在結構力學的教學中將這些公式使用到課堂當中，對學生而言將會是一種全新的學習方式，同時是對學習思維的一種鍛煉

(二)結構力學中數學模型的發展

現階段，數學建模已經具有成形的理論基礎，但是怎樣讓學生掌握這種理論成為人們急需解決的問題因此，各類數學建模的活動競賽應運而生例如,教育方面，上至大學下至小學，都開始加強對學生的數學建模思想的培養，并且會經常舉辦各種建模活動來增強學生對數學建模的意識，提高學生對數學建模學習的積極性在社會方面，無論是國家還是社會都希望結構力學的數學建模能夠體現在每一個人身上因此，現階段各種規模的數學建模競賽才會越來越多，且受重視程度越來越高各大高校之間也會舉辦各種規模的數學建模競賽活動，通過這種方式激發當代大學生對待結構力學的學習積極性，同時可以帶動參與人員的熱情在造就人才方面，各大企業可以通過含金量較高的建模活動，選拔出一批具有數學建模能力的人才來充實自身，還可以通過投放獎金的方式激發學生對數學建模活動和投資企業的向往

(三)結構力學在實際生活中的應用

結構力學普遍存在于現實生活當中，例如小院的砌墻和高樓大廈的設計都與結構力學有關，可以說只要有結構存在的地方就有結構力學知識的存在同時，人們根據結構力學中“極限狀態”這一概念，設計出彈性地基粱、彈性地基板及剛架式結構等設計，并且隨著結構力學的不斷發展，建筑行業中的疲勞問題、斷裂問題以及復合材料結構等問題先后都融入結構力學的研究領域，使其在結構力學的支持下得到快速發展另外，結構力學的數學建模還通過結合計算機技術的方式，實現超大型數學建模的計算，例如大跨度的大棚建模等設計

三、數學建模的方法及步驟

(一)數學建模方法

根據建模目的、建模工具、分析方法的不同，所構建的數學模型也會存在一定的差異高中數學教學中，常用的建模方法包括機理分析法、測試分析法、綜合分析法等不同的建模方法都存在獨特之處，并且不同建模構建模型也存在其獨有的屬性例如，利用兩種不同的建模方法構建的數學模型，其分析結果也會存在差異這則涉及建模方法的選擇在數學建模前需要結合數學模型的特點、要求、條件等選擇合適的建模方法，以保證分析結果的準確性

1機理分析法

該建模方法主要根據對現實對象屬性、特征的了解，并結合已有的經驗、知識等，研究現實對象中存在的各種變量以及變量之間具有的關系，以反映數學模型內部機理規律利用該方法構建的數學模型雖然能夠有效解決實際問題，但是想要使用該方法構建數學模型，就必須要了解和掌握研究對象的屬性特征、機理等

例如，對于機械故障問題的分析首先，我們需要了解和掌握該機械運行原理；其次，根據機械工作原理分析其故障原因在分析機械問題過程中，我們可以通過圖論方式逐一排除故障問題

2測試分析法

針對研究對象運行機理不清晰的情況，可以將研究對象作為“黑箱”系統，通過對系統的輸出參數和輸入參數進行觀察，并基于實測數據構建數學模型該方法即為測試分析法例如，對機械生產過程中次品生產率的了解，首先需要啟動機械，讓其進行生產模型，其次根據產品生產結果統計次品生產概率

3綜合分析法

針對某一問題無法通過單一的建模方法構建出完整的數學模型時，可以采用兩種及以上的建模方法，如利用機理分析法構建數學模型結構，然后再利用測試分析法計算法數學模型的詳細參數

(二)數學建模步驟

1合理假設

基于現實問題構建數學模型時，首先需要對問題有基本的了解，即問題是什么？目的是什么？一般情況下，當遇到現實問題時，我們對于問題的了解往往不夠深入，因此需要對問題展開深入的探索，通過收集信息、研究問題、集體討論等方式明確數學模型構建的目的同時基于問題的變化規律，利用非形式語言對其進行描述，以此來初步了解和掌握問題變量與問題之間的相互關系在構建數學模型前，首先需要明確問題的基本特征和背景，其次了解其屬于的模型類型，并做好構建模型的準備工作，最后明確需要解決的問題以及想要達到的目的

在建模過程中基于掌握的資料、模型類型等，可以合理提出假設簡化問題，同時利用數學語言來描述問題不同的假設方法和簡化方法所獲得的數學模型也會存在一定差異，如果假設方案缺乏合理性則會直接影響數學模型分析結果的準確性

2數學模型構建

基于假設方案、研究對象等，利用數學工具描述和刻畫研究對象的變量關系，同時構建數學圖表、表格、公式等數學結構，即數學模型在數學模型構建完成后，還需要對模型進行簡化和分析，以便于數學模型的求解此外，還要根據研究目的，對數學模型進行檢查，檢驗數學模型是否能夠真實地反映實際問題和是否能夠到達預期目的需要注意的是，數學模型構建應當簡單明了，確保人們可以對其進行應用和理解

3數學模型應用

模型應用具體是指將構建的數學模型進行改進并應用到實際系統中，檢驗其是否可以解決實際問題如果無法解決問題，則需要對數學模型再次進行改進，并重新檢驗數學模型構建流程如圖1所示

圖1 數學模型構建流程

需要注意的是，數學模型的構建并不是完全按照上述步驟進行操作的在實際數學模型構建中，需要針對問題、目的等條件，靈活轉換建模方式，不能拘泥于采用一種方法構建數學模型

四、結構力學中的數學模型分析

(一)當前高中數學建模習題資源中存在的問題

現階段，我國高中新課程規范對數學建模教學提出具體的教學要求與考察要求但是因為各種原因，我國的高中生對待數學建模的能力很差,且造成該原因的因素多種多樣,其中缺乏有效的教學方法和學習方法是造成此類問題的主要原因所以當代教師應當完善對結構力學中數學建模的教學方法，提高學生對待數學建模的接受能力同時，各類教學教材、建模競賽等結構力學的數學建模知識過于單一、數量不足以及與實際生活聯系不夠也是造成高中學生數學建模能力差的原因此類問題最重要的原因在于授課教師手里缺少足夠的建模資源以及與結構力學數學建模方面相關的習題，且教師在實際的結構力學授課當中，缺乏數學模型的支撐，使得一些枯澀難懂的力學模型缺少數學公式的輔助理解，長此以往會使學生失去對結構力學的學習興趣

(二)基本荷載

結構力學中的荷載，通常是指造成結構發生形變的內外力和其他因素同時，荷載問題是任何結構設計中必須首先要考慮的主要依據，荷載能力的大小決定著結構構件的尺度和用料荷載還可以按照作用與期限的不同進行分類，其類別主要可以分為恒荷載、活荷載、集中荷載以及均布荷載等

恒荷載：恒荷載在結構設計中也稱為永久荷載，是施加在工程結構上恒定不變的荷載例如，結構自身的重量、永久性外加承重、非承重結構構件以及建筑裝飾重量等均可以稱之為恒荷載因此，在高中的結構力學數學建模教學中，授課教師應當對其進行說明，明確恒荷載在結構力學中的作用

活荷載：在結構設計中也可以稱為可變荷載，是由人群、動物以及機械等物體對建筑結構施加不斷力產生的例如車輛荷載、風荷載、雪荷載以及裹冰荷載等均可以稱之為活荷載

風荷載：在結構設計中也可以稱之為風的動壓力，屬于活荷載中的一種，是空氣流動的氣體壓強對工程結構產生的作用，風荷載主要可以分為穩定風和脈動風兩種，在工程中通常稱之為空氣靜力作用和空氣動力作用，會對大風地區和高聳結構施工帶來影響

雪荷載：同樣屬于活荷載中的一種，通常是指在建筑結構上方的積雪對建筑施加的力在結構力學中一般會將雪荷載的值設計為，將基本雪壓稱之為，將目標積雪分布系數稱之為,從而得出的值

=

在建設設計中一般會使用標準荷載作為雪荷載的設計參照標準荷載通常是指建筑結構能夠承受的最大荷載因此，在正常建筑結構設計中設計人員一般會將荷載的設定高于標準荷載值

(三)數學建模的分類

按照結構力學的分類標準不同，數學建模也可以有多種不同的分類方法，常見的數學模型主要分為以下幾種

第一種，按照數學模型的應用領域進行分類例如，人口模型、城市交通模型、環境生態模型、水資源模型、燃料輸送模型、可再生資源利用模型以及污染模型等同時，可以將范疇更大的邊緣學科如生物數學、經濟數學、社會數學、醫學數學以及地質數學等稱之為超大數學模型

第二種，按照建立結構模型的數學方法進行分類例如，初等數學中幾何模型、規劃論模型、微分方程模型、圖論模型、邏輯概念模型以及馬氏鏈模型等按照第一種方法分類的教科書中，對此方面的分類會重點關注于某一專門領域中的數學模型建立，而在本方法分類的教科書中，是運用不同領域已經存在的數學模型來解釋某種數學技巧因此，該分類是區別于第一種數學建模的分類

第三種，按照數學模型的表現特性進行分類數學模型和隨機性模型的確立是建立在力學結構的基礎上因此，在近些年的數學發展過程中，又出現所謂突變性模型和模糊性模型兩種數學模型對于靜態模型和動態模型而言，模型的定量完全取決于時間因素對其的影響，而線性模型和非線性模型的定量則完全取決于模型之間的基本關系，如參與數學模型中的微分方程是否是線性的，離散隨機變量模型和連續模型中的變量是否取離散值還是連續值等

五、以結構力學為背景的高中數學建模教學設計

(一)函數模型編制

數學中的函數應用到我們生活的世界，即可以表示任何時刻都在發生變化的物體，或者說函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型通過函數模型的學習，學生可以實現簡單的變化規律預測，進而為其他學科的實際應用提供解決問題的基礎因此，高中數學模型的學習應當加強對函數知識的學習，加深學生對客觀世界和事物變化規律的認知

函數是高中階段才會引入的一個數學知識，雖然學生在初中就已經開始接觸這種含有一個未知數的方程，但是方程中未知數的次數不高，通常為一次或二次函數模型而在高中的結構力學課堂中，學生則會接觸到類似于：

這時學生只要注意分析的值就可以判斷出結構力學中數學模型Δ的值

(二)幾何圖形模型的編制

幾何圖形是高中階段訓練學生思維能力的一項重要概念，在數學和物理學科中會經常見到解析幾何、空間幾何等數形結合的習題因此，科任教師要加強學生在高中階段對幾何圖形的理解，為之后更高一步的學習打下基礎對此，科任教師應當結合結構力學中的圖乘法模型來對提高學生對幾何圖形的認知在圖乘法的教學中，不但會涉及幾何知識、直線斜率以及積分知識等，還可以更加直觀地將數形結合問題呈現在學生面前，使學生可以快速理解高中數學中幾何圖形的知識，提升學生解決幾何問題的能力

(三)微積分模型的編制

微積分是屬于高中課程中較難的一項內容，通常也是高中階段后期學習的重點高中階段的微積分比較淺顯，主要以導數和函數為教學主體，為大學的微積分打下基礎，以及為其他相關學科打下基礎高中階段課程對微積分教學的標準為：要確保學生充分了解微積分的性質、地位、研究對象以及內容等，同時，要深化學生對微積分的基本概念、基本理論以及概念導數的理解，提高學生對分析問題和解決問題的能力

六、結束語

總而言之，通過對結構力學中數學模型的思考分析可知，應用結構力學模型的方式可以增加高中學生對數學建模的能力，還可以根據學生對待數學模型的實際情況來改變教學方式，以此達到高中階段對數學課程的要求，為科任教師和學生提供一條對待數學建模的新思路