經管類專業的數學建模案例教學認識與實踐

李元敏

（西南林業大學 數理學院，昆明 650224）

數學在當今高技術時代發揮了日益關鍵的作用?！?1 世紀高技術本質上是一種數學技術”已經成為社會的共識。高等學校的數學教育有必要順應這一變化趨勢，及時調整教學方法和教學模式，更好地提升人才培養效果。

通常數學類課程的教學模式主要有兩種：一是按照數學學科自身的分科體系，按分類課程、系統化教學；二是以應用問題為導向，組織教學內容。目前在國內一般高等院校，數學公共課的定位是為學生的專業課程提供相應的數學理論基礎和工具，使用的仍然是系統化的傳統教學模式。如何與時俱進地改進教學方法和教學模式已經成為數學公共課教改的焦點問題。同時應該針對經管類的學生特點，設計出專門的數學課教學模式，以更好地適應新時代下的人才培養。近年來已經有一些學者進行了研究和探索。通過近年來的教學實踐，發現對于經管類學生，數學建模案例教學是激發學生學習積極性，提高數學公共課教學質量、培養學生創新能力的有效教學模式。

我們理解的數學建模案例教學并不是傳統系統化教學模式中的背景引例、舉例分析，而是一種貫穿于整個教學過程中的具有實踐性、開放性的教學模式；是一種解決用實際問題來驅動理論知識的傳授的教學模式。本文基于近年來我們的教學實踐，對這一教學方法進行總結和討論。

一、經管類專業數學建模案例教學改革的認識

目前，國內大部分高校的數學公共課教學，仍然是以課堂理論教學模式為主。系統化教學模式主要是從數學的自身邏輯去構建教學體系，和目前學生的實際狀況存在一定的脫節現象。同時這種教學模式客觀上增加了學生學習的難度。最終造成的局面是：學生似乎知道數學很重要，但陷于基礎抽象的理論學習，普遍對數學的實用性缺乏認識，不能領悟所學知識的價值，以至于學習缺乏目標和動力。

實際上，我們培養的經管類學生絕大部分是應用型人才，因此應該與時俱進的轉變教學觀念。傳授多少數學知識給學生并不重要，重要的是讓學生能掌握解決問題的數學手段。進一步的，更重要的是在傳授學生數學理論和方法的同時，讓學生提高數學素養。使得學生能夠利用數學的思維方式去解決專業領域遇到的實際問題。我們認為，提高數學類課程教學質量的關鍵在于激發學生的學習興趣。教學改革應該首先通過教學模式的調整，讓學生感受到“好的數學理論是最實用的。”通過具體問題的解決，展現數學方法的強大威力，從而激發學生的學習興趣。

經管類專業的數學課程和實際問題結合的教學改革研究，國內已有很多學者進行了探討。本質上都是在講授基礎數學理論的同時，加入涉及經濟、金融和管理的例子。這些教學改革最主要的問題是由于學時有限，教師教學只能重點放在理論教學；即使出現涉及經濟類的例子也是作為理論知識的直接應用，不能深入討論，對于激發學生的學習興趣作用有限。

另一方面，隨著近年來全國大學生數學建模競賽的開展，數學建模對數學教學改革起到了積極和重要的作用。在建模教學和實踐中發展出來的數學建模案例教學方法，也受到了廣泛的重視和研究。數學建模案例教學是指以解決實際問題作為教學內容，通過對問題的分析、簡化、建模、求解和討論等，向學生展示數學在解決實際問題中的作用，從而讓學生逐步掌握數學理論、方法和思想。

從對數學建模競賽指導的過往經驗上看，理工科學生往往比較適應數學建模的。而經管類學生，對數學方法和工具的使用，普遍要弱一些，主要的原因可能是：理工科專業的很多課程本身就滲透著利用數學建模解決問題的思想和實例，學生對這套方法有一定的訓練。而經管類學生大多從記憶的角度來理解專業課程，不太適應數學工具在專業課程中的應用。

實際上，正是由于大量采用了數學工具和方法，更為邏輯一致地揭示出復雜現象背后的深刻規律，使得經管類學科在現代取得了巨大的發展。經管類學生應該順應學科發展的趨勢，熟練掌握數學工具和思維方法，善于利用數學工具，增強自身解決實際問題的能力。所以我們認為以經管類學生為對象，開展數學建模案例教學是符合時代發展需求的。

對經管類學生的數學建模案例教學，一些學者已經有了一些初步的探討和研究。我們的目標是在這些研究的基礎上，在實踐中循序漸進地進行教學改革，最終實現以解決應用問題為導向，重構目前經管類專業數學課程的教學內容和教學模式。

二、數學建模案例教學的具體實踐

基于上面對數學建模案例教學重要性和必要性的認識，并考慮到教學改革應該以慎重的態度，在最近幾年的教學實踐過程中，我們進行了以下幾個方面的工作。

（一）課堂教學框架的調整

對傳統的理論教學進行了調整，在課堂教學的組織上，由教師根據授課專業的特點，準備恰當的案例，以案例教學貫穿整個課堂教學流程（見后面實例說明）。在課后開放式練習中，利用具體實際問題，讓學生深入探討式學習。充分利用現代信息和計算技術的發展，淡化機械式的運算練習，強調數學方法的理解和在問題中的運用，也是根據各個不同專業的差異，設計與安排學生課后習題和案例的解決。最后，在課程考核中增加權重比較大的解決實際問題的開放性試題。

在整個教學過程中，我們特別強調學生的互動和參與，淡化一些數學理論推導，并且不追求數學理論的嚴謹性，著重強調培養學生的數學直觀和直覺。

（二）經管類學生數學建模競賽專門培訓課程

對經管類學生開設專門的數學建模案例課程（公共選修課），課程內容進行專門的針對性設計，由培訓老師在經管類學科中收集、整理和加工相關合適的問題。然后通過帶領學生：對問題進行分析和討論；抓住主要因素、做出合理假設；選擇合適的數學方法，建立模型；綜合利用計算機和數學求解模型問題；分析、討論和驗證結果；撰寫報告等各個環節。

在內容的選擇上，考慮到經管類問題大多是以收集到的數據為研究起點和對象，我們強調統計學和數據科學的相關方法。在建模方面，針對不同問題的領域特點，對不同專業的學生有所側重，例如，對于管理類學生，著重于管理決策分析中的數學建模方法，強調運籌學、數學規劃等方法的引入；對于經濟類學生，側重于抓住經濟現象中的主要因素，建立合理簡化的數學模型，強調優化方法和算法的介紹。

（三）重視實際應用，跨學科的聯合培養人才

目前的數學基礎課課程體系設計是相對封閉和獨立的。案例教學是以實際問題為驅動的教學模式，在本質上就要求跨學科的課程建設和人才培養，這就要求數學公共課教師了解經管類學科的發展前沿，同其他專業的教師聯合，跨學科的聯合培養人才。

最近幾年，我們在實踐的過程中，找到了一個切入點：通過數學公共課程老師直接參與經管類學生的畢業論文指導（設計）。由于在這些學生的畢業論文大量的使用了數學和統計學的方法，畢業論文的質量在一定程度上得到大幅的提高。

同時通過這種深度的參與和合作，也使數學老師更加深刻地了解到數學在其他專業和學科中的應用，給本身數學公共課的相關教學內容的處理也帶來極大的裨益。

三、數學建模案例教學實例——企業價值的評估

數學建模案例教學需要授課教師細致的教學設計，這就要求教師深入到學生的專業領域，提煉具體問題的數學理論的背景、尋找恰當的案例。將具體的案例問題引入到數學課教學中，在教學中展現給學生如何綜合的利用數學方法解決問題。

例如，在介紹無窮級數理論時，對于財務會計、金融類的學生，我們使用的是企業價值的評估問題作為案例教學問題。如下，我們介紹一下這一案例教學的具體流程。

第一步，案例的引入和講解。在對會計、財務類專業學生講解無窮級數內容時，我們選擇的案例是企業的估值問題。通過財務數據對企業估值，經常使用的定量化方法是股利貼現模型和自由現金流量貼現模型。這兩個模型都涉及到無窮級數的求和。我們利用這個案例進行無窮級數部分的教學。

理解這個模型的數學理論后，學生自然就知道，在這個模型中r≤g 是不可能出現的，因為此時級數不收斂。經濟上的含義是，如果企業增長率大于貼現率，且能永續增長，那么其估值是無限的。

在介紹完這個案例后，學生對于無窮級數的問題背景和數學處理方法有了一定程度的了解，但對其中的數學理論還缺乏系統的學習。

第二步，數學相關理論的精簡學習。在這一步我們通常利用教師事先錄制好的教學視頻給學生觀看，視頻是教師對知識進行事先整體的梳理，使理論知識脈絡、簡潔和清晰，時間控制在十五分鐘左右，可以結合翻轉課堂的模式，由教師事先將視頻通過網絡分發給學生，學生可以課前觀看、課后復習總結。

第三步，數學理論在案例中應用的深入討論。在這一過程中，教師深入講解利用數學方法解決企業估值的關鍵點，讓學生充分體會到數學概念提出的合理性，數學理論的深刻性。

同時通過深入討論，學生就會逐漸發現現有模型的優點和缺陷，促發學生去質疑、改良現有模型，從而客觀上培養了學生的創新意識。

第四步，課后的開放性設計。案例教學的最終目的是讓學生通過案例去學會如何利用數學工具解決問題。通過課堂上的三個教學過程，學生已經了解建立模型解決問題的流程，課后要引導學生拓展案例中的模型。如自由現金流量模型中存在的一些不合實際的簡化假設：有永續存在且增長的企業嗎？如果考慮清算并購呢？永續增長率g、貼現率r 這樣的時間序列如何估計？如何估計自由現金流？可以利用上述這些問題給學生做課后的開放性設計，提出更加深入的模型。

通過近幾年的教學實踐，我們發現數學建模案例教學突破了傳統系統化教學的弊端，是一種真正教會學生思考的教學方式，是培養學生創新性思維的捷徑。

四、深化數學建模案例教學改革的構想

教學改革是一個不斷深化和逐漸完善的過程，通過近幾年的實踐和認識，我們對深化數學建模案例教學改革有如下的一些構想。

（一）繼續深化跨學科的聯合培養人才

案例教學在本質上就是一個開放的教學模式，有利于跨學科的人才培養，在今后的實踐上主要有兩方面構想和方案。

第一，繼續深化數學公共課程老師參與經管類學生的畢業論文指導（設計），讓數學老師深入到經管類專業學生的人才培養中，甚至參與經管類專業的研究生培養過程（參加研究生討論班、聯合指導研究生畢業論文）。

第二，開設數學建模案例教學的公共課程。以目前在數學建模競賽培訓班課程上的案例教學實踐為基礎，通過和經管專業老師的合作，進一步加工經管類學科中的數學模型問題，將這一課程體系納入到目前公共課教學體系和人才培養計劃中。

（二）教學資源整合，建立跨學科的共享平臺

實際上各個高校自身內部，各個專業都存在大量利用數學建模方法解決問題的案例，要重視對這些案例的收集、加工和整理，不僅可以促使跨專業的教學和科研教融合，而且讓我們的數學公共課教學及時調整教學內容和教學目標，更好地培養人才。

為此可以在學校層面建立的數學模型案例和數據共享平臺，來保證和深化這種人才的跨學科人才培養模式，并促進跨學科科研融合。

（三）順應數據科學發展趨勢，重構人才培養模式

隨著數據科學的興起，案例教學也應該順應這一趨勢。經管類專業的大量實際問題是以收集到的數據為研究基礎，應該強調數據科學的方法。從實踐上看，針對經濟和管理學科的一些具體問題，運用數據科學中的一些“黑箱”方法更為有效，而這些方法相較于傳統數學理論，學生也容易理解和掌握。

在教材和課程體系的構建上，對經管類學生應該加強概率統計、統計機器學習、模式識別和數據挖掘等課程的建設。在這些課程中，以實際的數據為研究對象，介紹相應的解決手段和方法，并且在成熟的時候，重構目前的高校數學公共課的課程和教學體系。

五、結束語

對于經管類學生，提高數學類課程教學質量的關鍵在于激發學生的學習興趣，以案例為導向來組織教學內容，進行數學建模案例教學是有效的方法。在教學改革的實踐中，應該循序漸進地改變目前的教學方式和模式，最終實現以解決應用問題為導向，重構目前經管類專業數學課程的教學和課程體系。