數學專業“三基”課程與中學數學的有效銜接*

周俊超 曾梅蘭 周浩

（1.湖北工程學院 數學與統計學院 湖北孝感 432000；2.湖北省孝感高級中學 湖北孝感 432000）

數學分析、高等代數和空間解析幾何被稱作是高等院校數學與應用數學專業的“三基”課程，它們是該專業大一新生首先接觸到的三門專業基礎課，也是學生學習后繼課程的基礎，對學生后繼課程的學習有著舉足輕重的作用。學生通過“三基”課程的學習，可以嚴謹的邏輯思維能力、推理能力和嫻熟的運算能力，拓寬知識面，提高數學素養，培養創新意識和開拓精神?！叭闭n程與高中數學相比，難度上有一定的跳躍性，內容上比較抽象，邏輯性強，是大一新生普遍反映難學的三門課程。通過調查本校數學與應用數學專業學生的學習現狀，筆者發現了同學們在學習中普遍存在的一些問題，并深入地分析了其原因。

一、數學專業學生“三基”課程學情分析

筆者通過調查研究發現，大學新生剛入學往往會覺得這三門課程入門很困難，學起來很吃力，很難與高中所學知識接軌。分析其原因主要有以下幾點：

1.中學數學“淺薄”，“三基”課程“艱深”

從知識內容廣度和深度上看，“三基”課程在內容上完全涵蓋了中學數學的課程內容，并有所提升和推廣。以高中數學教材人教版A為例，中學數學新課程標準函數部分，內容上省略了三角函數積化和差公式、反三角函數和極坐標等內容，只要求對三角函數進行簡要介紹。然而在數學分析課程中，反三角函數和極坐標等內容貫穿課程的始終，不管是在計算極限、微分、積分，還是在級數和微分方程部分，都經常用到。又如，中學數學介紹微積分初步，包括簡單的求極限方法、求導公式與積分公式，但是，對極限不存在、導____數不存在以及不可求積分的情形忽略不講。而這些內容卻是數學分析課程中教師需要花費大量時間講解的內容。另外，“三基”課程邏輯性強，比較抽象，內容上與中學數學相比有一定的跳躍性。

2.中學數學重技巧，“三基”課程重結構

由于高考壓力，中學數學與“三基”課程在知識講授上有著截然不同的特點。中學課堂上，教師以知識點傳授為主，對知識點做細致分析，將知識點講深講透，便于學生及時理解消化，同時教師引導學生將知識點反復練習，追求對解題技巧的掌握，對概念和理論推理較少做詳細討論和拓廣。而“三基”課程的教學更側重于學生對數學知識結構的建立和學生數學思維的培養。

3.中學數學重應試，“三基”課程重能力

由于高考升學壓力，中學數學課程強化的是學生的應試能力，而高等教育則是圍繞就業這根“現實指揮棒”，著重培養學生的專業能力，從而增強學生的就業競爭力。因此，作為數學專業基礎課程的“三基”課程，其核心目標是學生數學能力的培養和綜合素質的提升。

根據前面分析，如何處理好“三基”課程與中學數學內容的銜接性，在教學過程中利用學生已有的中學數學知識啟發引導學生學習“三基”課程的相關內容，探究“三基”課程與中學數學知識融合的有效教學策略是一項需要深入思考的重要課題。我們有必要做一些研究工作，針對地方院校的辦學層次和辦學特色，讓剛進入大學的數學專業學生能夠更好、更快適應“三基”課程的授課方式和思維方式。為此，我們給出“三基”課程與中學數學有效銜接的一些教學策略。

二、“三基”課程與中學數學有效銜接的教學策略

1.注意“三基”課程與中學數學課堂的差異，及時了解學生的學習狀態

與中學數學相比，“三基”課程的教學內容與教學方式有明顯差異：“三基”課程課堂容量大、學習內容多、前后連貫性強、課堂進度快、教學課時長，這些使剛剛入學的學生難以適應“三基”課程的學習。因此，在教學初期，教師要認識到“三基”課程與中學數學課堂的差異，教學過程中把握好課堂節奏，及時了解學生的學習狀態，循序漸進地引導學生適應“三基”課程的課堂。

2.關注中學數學課程改革，了解學生已有知識基礎

為了實現中學數學與“三基”課程的平穩銜接，教師要掌握教學學生實際的基礎情況，以便合理安排教學內容及進程。為了了解學生已有知識基礎，教師應該時刻關注中學數學教學課改情況，關注中學數學新課程的要求對學生學習產生的影響，以便對“三基”課程的教學內容做相應調整。例如，中學課改中刪除了反三角函數和極坐標的相關內容，但這部分內容在數學分析學習中經常用到。因此，教師在數學分析的講授過程中應先為學生補充這一部分相關的基礎知識，同時，對于高中教材中涉及的導數、積分等概念，教師應該了解中學數學這一部分內容講解的深度，有針對性地補充講解相關知識。

3.通過學生已有的中學數學知識，逐步滲透“三基”課程中抽象的數學概念

由于高中的數學思維比較直觀，對于剛剛進入大學的大一新生來說，短期內從概念性的抽象思維來建立“三基”課程中一系列抽象概念是有困難的。在“三基”課程的教學過程中，如果能夠從客觀現實背景出發，通過學生高中所學知識來建立概念，就可以克服入門難的問題。

例如，教師在講解空間解析幾何中橢球面的標準方程時，可結合學生高中階段所學的橢圓的標準方程來進行。在平面直角坐標系下，橢圓的標準方程為有兩條漸近線，然后將二維情形推廣到三維情形，那么學生不難想到，在空間直角坐標系下，橢球面的標準方程即為

又如，教師在講解數學分析中曲線的漸近線時，可以由高中數學平面解析幾何中雙曲線的漸近線引入，高中階段學生已熟知雙曲線，雙曲線上的動點P沿著曲線無限地遠離坐標原點時，點P與漸近線的距離趨于0。在此基礎上，教師再來講解一般曲線的漸近線：若曲線C上的動點P沿著曲線無限地遠離原點時，點P與某定直線L的距離趨于0，則稱直線L為曲線C的漸近線。

同樣，教師在講解高等代數中向量的概念的時候，可以從學生們高中階段所熟知的二維、三維向量出發，引出n維向量的概念。首先，帶領學生回顧二維、三維向量的概念。現實生活中很多事物的性質不能用一個數來刻畫。例如，為了刻畫一個點在平面的位置需要兩個數，一個點在空間的位置需要三個數，也就是要知道它們的坐標。又如，力學中的力、速度和加速度等，它們既有大小又有方向，在取定坐標系后，它們可以用三個數來刻畫。但是，還有很多事物用三個數來刻畫是不夠的。例如，為了刻畫一個球的大小和位置，需要四個數來刻畫，其中三個數刻畫球心的坐標，另一個數來表示球的半徑。再比如，一個n元方程組的解需要用n個數來刻畫，這n個數作為方程組的解是一個整體。接下來，啟發引導學生給出n維向量的定義，即數域P中n個有次序的數 a1,a2,…,an所組成的數組 (a1,a2,…,an)稱為數域P上的一個n維向量。向量空間可進一步抽象為線性空間，此時線性空間的元素也稱為向量，但是比幾何中所謂的向量的含義要廣泛得多。線性空間是高等代數中學生遇到的第一個抽象的概念，在引入它的定義之前，教師可以用數的運算啟發學生分析三維空間中的向量、閉區間上的連續函數及矩陣的運算，通過比較、分析找到它們的共同點，把它們統一起來研究，由此給出線性空間的定義，再利用數域上的一元多項式環和全體實函數等例子，幫助學生逐步建立起線性空間的概念，把握概念的本質。

4.以中學數學知識為背景，啟發引導學生通過類比的方式學習“三基”課程，在回顧中學數學知識與探究新知識的過程中，理解和消化“三基”課程的有關概念和性質

“三基”課程與中學數學在內容上有著很強的關聯性。因此，在教學過程中，教師可以從學生熟悉的問題出發，創設問題情景，引導學生通過類比和歸納等方法來探究新問題，從而引出概念的定義，總結其性質。這樣更利于學生理解和接收新知識，而且可以激發學生學習的興趣，能培養學生的創新能力。

此外，還可讓學生由高中階段所學平面上兩平行直線間的距離公式類比記憶空間中兩平行平面間的距離公式[4]。

在講解空間中兩個平面的相關位置的時候，教師可類比高中階段所學的平面上兩條直線的位置關系。空間中兩個平面的位置關系和平面上兩條直線的位置關系均有三種，即相交、平行和重合。教師可引導學生運用中學數學知識，基于平面上的兩條直線 l1:A1x+B1y+C1=0與l2:A2x +B2y+C2=0相交、平行和重合的等價刻畫來探究空間中的兩個平面e1:A1x+B1y+C1z+D1=0與e2:A2x+B2y+C2z+D2=0間位置關系。

教師在講授過程中可以以中學數學知識為背景，啟發引導學生通過類比的方式學習“三基”課程，這樣學生在回顧中學數學知識與探究“三基”課程相關內容的過程中，更容易理解和記憶“三基”課程的有關概念和性質，鞏固所學的知識，鍛煉抽象思維能力和空間想象力。

5.結合中學數學內容，多舉實例引導學生逐步理解“三基”課程中比較抽象的概念和結論

教學過程中，教師要注重講授概念的形成過程，概念產生的背景、方法和意義，利用實例引導學生進一步理解概念的本質，結合中學數學內容多舉實例，讓學生逐步理解比較抽象的概念，探討解題的思想方法，同時結合實際問題來引導學生應用數學知識解決問題，培養學生的數學應用能力。

例如，教師在講解高等代數中歐氏空間的標準正交基的概念時，可以用高中數學平面和空間中的標準正交基來舉例講解，并作圖給出其幾何直觀。在平面直角坐標系中，與x軸、y軸方向分別相同的兩個單位向量即構成了此平面的一組標準正交基，這兩個向量是正交的單位向量。在空間直角坐標系中，與x軸、y軸和z軸方向分別相同的三個單位向量即構成了空間的一組標準正交基，這三個向量是兩兩正交的單位向量。那么在此基礎上，學生不難理解，在n維歐氏空間中，由n個兩兩正交的單位向量構成一組標準正交基。

又如，教師在講解歐式空間中基的擴充定理時，可以用中學數學中三維空間的基來舉例，從二維平面中兩個正交的向量出發，任意添加一個與已知的兩個向量均正交的向量，即得三維空間的一組正交基。這些都是形象思維的好材料。教師通過利用幾何圖形，讓學生直觀形象地理解定理的內容。這樣學生就更容易理解和掌握定理的實質，進而準確地運用該定理。

6.運用“三基”課程中的思想和方法，從更高的觀點來認識和處理中學數學問題

學完“三基”課程后，學生再來重新審視中學數學中的某些問題時，會有不一樣的理解和處理方式，學生將會運用“三基”課程中的思想和方法，從更高的觀點來認識和處理中學數學問題。

例如，在中學階段，要作出函數圖像，可以用描點法作圖，或者結合函數的單調性、極值等作圖，得到的只是函數的大致圖像，而學完數學分析后，學生則可利用函數的單調性、凹凸性、拐點、極值點、漸近線以及對稱軸等信息更加精確地畫出函數的草圖。

結語

本文對當前數學專業學生“三基”課程的學習現狀進行分析，提出了“三基”課程與中學數學課程銜接及教學實施的一些建議和舉措。教師在教學中要不斷地總結經驗，改進教學方法，挖掘中學數學與“三基”課程的內在聯系，注重“三基”課程和中學數學的有效銜接，以便讓該專業學生能夠更好、更快適應“三基”課程的授課方式和思維方式，提高學生“三基”課程相關知識的掌握程度，為學生學習后續課程及今后從事數學教育教學工作奠定堅實的基礎，從而為教育改革的進一步深化做出努力。