“點的合成運動”教學實踐與探索

范旭紅 王自平

(江蘇大學土木工程與力學學院 江蘇鎮江 212013)

理論力學課程中“點的運動學”是研究一般物體的基礎，該章研究點的簡單運動，主要研究點相對某一個參考系的幾何位置隨著時間變化的規律，包括點的運動方程、運動軌跡、速度和加速度，這部分知識點比較簡單，學生根據建立的運動方程求導就可以求出速度等加速度，其實就是高等數學里面涉及的求導數的問題。關于剛體的簡單運動，這部分知識在大學物理這門課也有涉及，所以學生對剛體的平動和定軸轉動也并不陌生，分析物體相對于不同參考系運動之間的關系可以稱為復雜運動，這兩章內容的學習為點的復雜運動做了很好的鋪墊。

“人不能兩次踏進同一條河流”是古希臘哲學家赫拉克利特的觀點，在這個哲學觀點里面強調運動是絕對的，靜止是相對的，世界的萬事萬物都處在一個運動變化的過程中，而靜止只是相對某一個參考物體的靜止，沒有絕對的靜止。事實上，該哲學觀點等同于力學問題中運動的描述。一個研究對象它的運動規律是什么樣的，必須指出它的參考系，同一個研究對象對于不同的參考系來說運動的描述是不同的，前面兩章“點的運動學”和“剛體的簡單運動”都是相對于一個定參考系的運動，屬于簡單的運動，物體相對于不同參考系的運動是不同的，它們之間有一定的關系，研究物體對于不同參考系之間的關系稱為復雜運動或者稱之為合成運動，這也是該章涉及的內容—點的合成運動[1-2]。這部分內容是學生在該章中感覺很難理解和應用的內容，特別是在解題的時候很多初學者不知所措。

為了描述它們之間的關系，學生必須明確采用動點和不同的參考系來描述3種運動。

1 理解“一點二系三運動”

首先定義兩個參考系，即定參考系和動參考系，定參考系是指把參考系固結在相對于地球不動的物體上的參考系，習慣上把固結在地球上的參考系稱為定參考系簡稱定系，以(oxyz)表示，固定在其他相對于地球運動的參考體上的參考系稱為動參考系簡稱動系,以(o'x'y'z')表示[3]，有了參考系就可以定義3種運動[4]，動點相對于定參考系的運動叫絕對運動，動點相對于動參考系的運動叫作相對運動，動參考系相對于定參考系的運動叫作牽連的運動。特別需要注意的是，絕對運動和相對運動是點的運動，牽連運動是動參考系相對于靜參考系的運動，是剛體的運動。點在某瞬時的絕對速度等于相對速度和牽連速度的矢量和，這是點的速度合成定理[5]，點在某瞬時的絕對加速度等于相對加速度、牽連加速度和科氏加速度的矢量和，這是點的加速度合成定理[6]。必須特別注意由于動參考系的運動是剛體的運動而不是一個點的運動，所以除非動參考系作平動否則其上各點的運動不完全相同，在動參考系上與動點相重合的那點（牽連點）的速度和加速度稱為動點的牽連速度和牽連加速度[7]，其中牽連速度和牽連加速度比較難理解，這點非常重要，是需要在課堂中重點講解的內容，以便于學生熟悉和理解這些概念；其次很關鍵的問題是針對實際問題如何選擇合適的動點和動參考系。

2 動點、動系選擇實踐

動點動系的選擇對于學生解題非常重要，也是該章的關鍵問題，如何選擇呢？通過多年的教學實踐，歸納如下。

（1）有個明顯的動點在題目中很容易發現（一般為題目中的研究對象）；（2）有一個不變的接觸點，可以選擇該點為動點；（3）若沒有不變的接觸點，此時應該選擇相對軌跡容易確定的點為動點；（4）有時候根據題意需要選擇兩次動系。

依據這些原則，可以發現動點、動參考系和定參考系分別在3 個不同的物體上，一般來說動點是兩個機構的接觸點，而且動點是唯一的不變的一個對象；其次機構中動點對于動參考系的相對軌跡明顯簡單，要么是直線要么是圓弧，這是一個非常重要的原則，根據以上原則，可以對很多的問題有正確的判斷和分析。再者，根據經驗，對于滑塊式連接，滑塊就是需要選擇的動點，滑道就是固結動系的物體，滑套式的連接，滑套就是大家需要選擇的動點，滑套在哪個桿件上滑動，這個桿件就是固結動系的物體。下面針對具體問題舉例分析。

根據圖1圖形可知，OA桿和滑道兩個機構接觸點就是滑塊，所以滑塊A就是動點，ABC滑道就是固結動參考系的物體，絕對運動是以OA為半徑的圓周運動，相對運動以O1A為半徑的圓弧，牽連運動是ABC的平動，牽連點是滑塊和滑道重合的那個點，該點的速度和滑道ABC相同，因為動參考系做平動。

圖1 案例1

根據圖2 圖形可知，OA和AB兩個機構的接觸點就是滑套A，所以滑套就是動點，OC就是固結動系的物體，絕對運動是上下的直線運動，相對運動是滑套A沿著OC的直線運動，牽連運動是定軸轉動，牽連點是滑套和OC重合的那個點，該點的速度等于ω·OA。

根據圖3 圖形可知，這個實例比較特殊[8]，對于動點，既不能取AB上的點，也不能取輪子上的點，因為不同的瞬時輪子和AB滑道上不同的點接觸，不滿足動點的唯一性的規則，通過認真觀察該機構，看看相對運動的情況，由于頂桿始終接觸凸輪表面，大家不難發現動點C到滑道AB的相對距離一直不變，也就是相對運動是一條平行于滑道的直線，所以點C就是選擇的動點，AB滑道就是固結動系的物體，動系平動，絕對運動是以OC為半徑的圓，相對運動是平行于頂桿底邊的平行線，牽連運動是上下的平動，這里大家一定要注意牽連點，牽連點是C點和參考系重合的點，而不是和頂桿重合的點，由于動系平動，牽連速度和頂桿相同，有同學對于這點有點迷惑，所以一定要講清楚參考系和參考體的概念，參考系是無限大的空間，而參考體是個有限大的物體，把握住牽連點不一定在參考體上，但是在參考系上，參考系和參考體運動方式是相同的，教師可以借助于該題把牽連速度的概念講透徹。

圖3 案例3

3 典型案例分析在實踐教學中的探索

一般情況下動點動系確定后先進行速度分析，速度分析的時候特別要注意若動系平動是沒有科氏加速度，若動系轉動在速度分析的時候一定要算出相對速度的大小，標注出相對速度的方向，便于計算科氏加速度大小和畫出科氏加速度方向。圖4為直桿滑動的案例，圖示直角彎桿OBC繞O轉動，使得小環M沿著固定直桿OA滑動，已知OB=0.1 m，OB和BC垂直，曲桿的角速度ω=0.5 rad/s，角加速度為0，求當?=60o時，小環M的速度和加速度。

圖4 案例4

機構運動分析，小環M為動點，OA不動，M沿著OA的運動是絕對運動，絕對運動為直線運動，動系固結在OBC上，動系做定軸轉動，M相對OBC是沿著BC的滑動，相對運動軌跡非常明顯，（相對運動也是直線），動參考系相對于定參考系運動是牽連運動，牽連運動為定軸轉動，需要注意的是：運動分析的時候要計算相對速度，以便于后面確定科氏加速度大小和方向的時候用到。牽連點和彎桿OBC的M點重合，所以牽連速度是垂直于OM的，大小等于ω·OM。

3.1 速度計算分析

其中絕對速度大小未知方向水平，相對速度大小未知方向沿著MC，牽連速度方向垂直OM，大小等于ω·OM，容易解出：va=0.1723 m/s，vr=0.2 m/s。

3.2 加速度計算分析

其中絕對加速度大小未知，方向沿著MA，牽連加速度大小方向都確定，大小等于OM·ω2，方向沿著MO，相對加速度大小未知，方向沿著MC，科氏加速度大小和方向按照右手法則確定，大小為2ω×vr，方向見圖4，把該矢量表達式向η軸投影得

解出：aa=0.35 m/s2。

該題在教學過程中會出現兩個問題，一個是牽連速度的判斷，很多學生會在牽連速度的方向確認上有問題，這里需要掌握牽連點的概念，M環和OBC重合的那個點的速度，該瞬時在垂直于OM的方向，大小等于ω乘以OM，其次是由于動系做定軸轉動所以有科氏加速度，科氏加速度等于2ω×vr，方向用右手法則判斷，在科氏加速度方向的判定時，適當多舉例，多練習，一定注意方向不能畫錯了，不然就會造成結果的錯誤。同時，可以觀察到動點、動系、靜系分別在3 個不同的物體上，使得3 種容易分解，特別是相對運動明顯簡單。

4 結語

通過“點的合成運動”的實踐與探索可知，動點和動系的正確選擇是解題正確的關鍵所在，另外就是關于牽連點的理解，牽連速度不是動點的速度，而是動系上和動點重合的點的速度，其次就是解題過程中速度圖和加速圖要正確畫出來，如果圖錯了，那么就談不上正確的結果了。要求學生盡量采用列表的方式，不僅僅表達出矢量的大小也有方向，未知量一目了然，最后就是選擇合適的投影軸，求出未知量。該章除了課堂教學之外，也要讓學生適當地多分析一些例題，加強他們對概念的理解，以便于達到良好的課堂教學效果。同時可以帶領學生做簡單的機構運動的教具，通過親自做教具實實在在地觀察3 種運動的真實情況，從而深刻理解“點的合成運動”的概念，達到該章所期望的教學效果。