基于力反饋的造波機(jī)主動吸收技術(shù)扭矩計算方法研究

倪藝萍 王磊 李玉剛 林俊 陳俊 王天奕

(1.珠江水利委員會珠江水利科學(xué)研究院 廣東廣州 510611;2.大連理工大學(xué)深海工程研究中心 遼寧大連 116024)

通過海洋工程試驗水池對海洋中的風(fēng)、浪、流等海洋環(huán)境進(jìn)行模擬試驗研究，尤其是通過造波機(jī)來實現(xiàn)波浪的產(chǎn)生。但是，在實際模型試驗過程中，由于水槽或水池等設(shè)施與真實的海洋環(huán)境相比有固定邊界限制，所以，在水槽或水池中往往會有二次反射波的產(chǎn)生。造波機(jī)產(chǎn)生的入射波遇到造波機(jī)對面的池壁時會產(chǎn)生反射波，反射波傳播至造波板處會生成二次反射波，二次反射波會疊加到原始入射波之中，擾亂波浪場，破壞試驗的準(zhǔn)確性，降低試驗可靠度[1]。

理論研究表明，在搖板式造波系統(tǒng)中應(yīng)用主動吸收技術(shù)可以很好地減少甚至消除二次反射波，減少必要造波時間，延長物理模型試驗時間，減少波浪平穩(wěn)時間，提高物理模型試驗效率；其次，采用主動吸收系統(tǒng)可以減少波浪模擬設(shè)備占地面積，減少投入成本，造波設(shè)備布置更加靈活。主動吸收系統(tǒng)根據(jù)所用傳感器的不同分為力反饋式主動吸收系統(tǒng)和位移反饋式主動吸收系統(tǒng)。力反饋式主動吸收系統(tǒng)采用固定在波板上的力傳感器進(jìn)行波浪力的數(shù)據(jù)采集，位移反饋式主動消波系統(tǒng)采用浪高儀進(jìn)行波浪高程的數(shù)據(jù)采集[2]。該文主要研究力反饋式主動吸收系統(tǒng)，主動吸收系統(tǒng)采用力傳感器進(jìn)行數(shù)據(jù)采集有以下幾點優(yōu)勢。

首先，力傳感器測量的是流體在波板處的壓力的平均值，是壓強(qiáng)積分的結(jié)果，要想在存在二次反射波的情況下獲得有效的數(shù)據(jù)，只需要在造波板上平均布置多個測點，而且力反饋式主動吸收吸收系統(tǒng)多適用于干背式造波機(jī)，流體力的值僅與造波板前的水域有關(guān)。

其次，對于搖板式造波機(jī)，由于搖板圍繞支撐點搖擺造波，在板上不適合布置浪高儀，而搖板運(yùn)動對力傳感器的干擾較少，所以布置力傳感器可以更加方便數(shù)據(jù)的采集。

最后，力傳感器便于將來自力傳感器的信號和來自速度傳感器的信號結(jié)合起來，使得造波機(jī)和流體成為一個耦合的動力系統(tǒng)，提供了對系統(tǒng)輸入/輸出功率的直接測量，從而修正造波機(jī)的輸出信號。且在搖板式造波機(jī)規(guī)則波試驗中，采用力反饋式主動吸收系統(tǒng)可減少水池中高階偽諧波的產(chǎn)生[3]。

但是，目前國內(nèi)主動吸收研究多集中在位移反饋式主動吸收，對力反饋式主動吸收的研究尚淺，且遭到國外技術(shù)封鎖，雖然英國愛丁堡Flowave水池已實現(xiàn)該技術(shù)，但國內(nèi)還未形成一個完善的理論系統(tǒng)，主要因為它有以下3個關(guān)鍵技術(shù)難題。

（1）現(xiàn)有的力反饋理論研究多基于理想的線性波理論，忽略非線性高階項的影響，近似誤差較大。

（2）多向不規(guī)則波浪的來波識別：現(xiàn)有理論限制性條件較多，多采用經(jīng)驗校準(zhǔn)吸收的方法。

（3）造波機(jī)的吸收控制：濾波器設(shè)計實現(xiàn)較為困難。

研究水池中典型的造波方法，針對該文的主動吸收系統(tǒng)以力反饋的特點，基于勢流理論對干背式搖板造波條件下造波板速度勢解和壓強(qiáng)的分布特性進(jìn)行研究，給出單向、多向、規(guī)則、不規(guī)則造波條件下造波板上波浪作用扭矩的計算分析方法。

1 二維造波理論

建立坐標(biāo)系使得z軸向上為正并與造波板的平均位置相重合。造波機(jī)沿y軸布置，x軸與靜水面相重合，z=0，靜水深度為h，池底位于z=-h處。

假定造波板做小振幅簡諧運(yùn)動，產(chǎn)生的波浪沿著x軸正方向傳播，設(shè)造波板的鉸鏈中心與池底間的距離為l，造波板轉(zhuǎn)動中心位于z=-（h+l）處，當(dāng)鉸鏈中心位于池底之上時，l＜0，定義參數(shù)d=-l；當(dāng)鉸鏈中心位于池底或池底下方時，l≥0，d→ 0；當(dāng)為推板式造波機(jī)時，l=∞且d=0。示意圖具體見圖1。

圖1 力反饋式主動吸收試驗布置示意圖

假設(shè)水池內(nèi)為無粘性且不可壓縮的無旋流體，在笛卡爾坐標(biāo)系（x,z）中速度勢表示為Φ(x,z,t)，則速度表示為(u,w)T=(?Φ/?x,?Φ/?z)T，波面函數(shù)為η=η(x,t)，波板位置X=X(z,t)；靜水水面z=0處波板位置為X0(t)。θ、ω、g、t分別表示造波板角位移、波浪頻率、重力加速度和時間[4-5]。

1.1 控制方程

假設(shè)流體質(zhì)量守恒且不可壓縮，因此，在流場中流體滿足拉普拉斯方程

1.2 自由水面條件

假設(shè)水面高度為z=η(x,t)，則自由水面處水質(zhì)點運(yùn)動規(guī)律的函數(shù)可表示為

水面截面處的流線符合運(yùn)動學(xué)自由水面邊界條件，根據(jù)該邊界條件得

另外，水面壓力符合動力學(xué)自由水面邊界條件，其中，自由水面處的壓力等于其上方的大氣壓力，所以壓強(qiáng)為零，由伯努利方程得

假定波浪波幅較小（相對于波長），根據(jù)線性理論，上述運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)自由水面邊界條件可線性化為

1.3 水底條件

池底水平且不可滲透，在池底處，垂直于池底的流體速度分量為0。

1.4 物面條件

造波板為不可滲透的固體邊界，在造波板處，垂直于造波板的流體速度分量vn等于造波板的速度。

根據(jù)波板運(yùn)動可知，輻射半徑r可表示為

根據(jù)流體水平速度和垂向速度（u,w），可得垂直于波板的流體速度也可表示為

造波板的位置可由造波板沖程X0(t)來表示X(z,t)=f(z)X0(t)，假設(shè)造波板沖程相較于板長是極小的，則X0/(h+l)=tanθ?1,采用小角度近似方法[6]，則

將式（9）～（12）代入式（8）中，得造波板處邊界條件為

采用分離變量法分離速度勢時間因子，利用控制方程和邊界條件求解速度勢分量，則可計算得到速度勢的表達(dá)式如下，考慮到造波板處物面條件，將線性條件下造波機(jī)問題的速度勢解表達(dá)為復(fù)數(shù)形式[7]。

定義C0和Cn為傳遞函數(shù)，傳遞函數(shù)是造波機(jī)沖程與波浪幅值的比值，它代表著造波系統(tǒng)中輸入與輸出之間的關(guān)系[8]。傳遞函數(shù)的特性決定了系統(tǒng)對輸入信號的響應(yīng)特性。傳遞函數(shù)的取值與造波板類型、水深、鉸鏈深度和波浪周期相關(guān)，利用式（16）和式（17）中傳遞函數(shù)的解析表達(dá)式求解傳遞函數(shù)值，對不同模態(tài)（即階數(shù)n）的變化對傳遞函數(shù)值的影響，并在0～20階模態(tài)下分別比較不同波浪周期、水深、鉸鏈深度對傳遞函數(shù)的影響，如圖2～4。

圖2 不同波浪周期下傳遞函數(shù)隨模態(tài)的變化曲線

如圖2所示，固定水深為10 m、鉸鏈深度為5 m，設(shè)置波浪周期分別為1 s、2 s、3 s、4 s，當(dāng)波浪周期增大時，傳遞函數(shù)值下降速度增加，且出現(xiàn)負(fù)值。如圖3所示，固定波浪周期為2 s、鉸鏈深度為5 m，設(shè)置水深分別為5 m、10 m、15 m、20 m，隨著水深的增加，低模態(tài)傳遞函數(shù)值減小，但在3～10 階的較高模態(tài)下，傳遞函數(shù)與水深成正比。如圖4所示，固定波浪周期為2 s、水深為10 m，設(shè)置鉸鏈深度分別為5 m、10 m、15 m、20 m，一階和二階模態(tài)下，鉸鏈深度越大，傳遞函數(shù)越小。比較結(jié)果顯示，非傳播模態(tài)傳遞函數(shù)隨著波浪周期和鉸鏈深度的變化更為明顯。

圖3 不同水深下傳遞函數(shù)隨模態(tài)的變化曲線

圖4 不同鉸鏈深度下傳遞函數(shù)隨模態(tài)的變化曲線

當(dāng)0 階模態(tài)時，C0接近它的極限值2，隨著模態(tài)數(shù)的增加，傳遞函數(shù)在模態(tài)數(shù)較小時下降明顯，當(dāng)模態(tài)大于4 階時，其值逐漸趨近于零，即當(dāng)模態(tài)為10 解以上時，非傳播模態(tài)傳遞函數(shù)差別不大，因此在實際計算非傳播模態(tài)時，取階數(shù)為10即可滿足精度要求。

2 二維波浪主動吸收理論

采用力反饋式主動吸收系統(tǒng)，根據(jù)造波板處的力傳感器所采集到的波浪力數(shù)據(jù)，實時修正造波控制信號，以達(dá)到消除二次反射波的效果[9]。

該文主動吸收理論只研究波浪的前進(jìn)模態(tài)，不考慮非傳播模態(tài)。假設(shè)原始目標(biāo)波速度勢為Φg，運(yùn)動至造波機(jī)對面的池壁或物理模型時產(chǎn)生與入射波周期相同、方向相反、波高衰減的反射波Φr，反射波傳播到波板時再次發(fā)生反射，產(chǎn)生與入射波周期相同、方向相同、波高不同的二次反射波Φrr，同時對波板施加一個波浪力。假設(shè)在造波板處發(fā)生完全反射，即反射波和二次反射波在波板處形成一個反節(jié)點，二者疊加相抵消，因此在波板處物面條件僅適用于Φg。

根據(jù)以上結(jié)果，可得到反射波和二次反射波，且滿足水底條件和自由水面條件。

上式中An是第n個組分波浪的復(fù)振幅，c.c代表行進(jìn)波的復(fù)共軛，根據(jù)之前的假設(shè)得,(n=1,2...N)。

對每一種波浪組分的三種速度勢求和，且根據(jù)波板的復(fù)速度與位移幅值的關(guān)系Un=iωXn，用波板的復(fù)速度代替位移幅值。

因為Φg的前進(jìn)項與Φr相抵消，所以上式第二項為0，可知造波板速度與反射波、二次反射波波幅的關(guān)系

力反饋式主動吸收系統(tǒng)多采用干背式造波機(jī)，即在造波板背面沒有池水，有利于力傳感器監(jiān)測造波板的受力狀態(tài)，根據(jù)線性伯努利方程，整個波浪場施加給造波板的一階壓強(qiáng)表達(dá)式如下。

式（24）中ρ是流體的密度，等式右邊第一項為非定常項，該項產(chǎn)生一階動壓；第二項為流體水靜力項，該項產(chǎn)生一個恒定的靜壓，靜壓通常大于動壓。

對速度勢取時間導(dǎo)數(shù)，代入式（24）中，計算在x=0處施加給波板的瞬時壓強(qiáng)。

對波板表面的壓強(qiáng)進(jìn)行積分，則作用在造波板上的扭矩為

將上式中Ar用Un代替，以得到波板速度與扭矩的關(guān)系。

將n個不同組分的規(guī)則波的扭矩疊加求和，則不規(guī)則波的扭矩為

3 三維波浪主動吸收理論

3.1 斜向波

推板式和搖板式蛇形造波機(jī)都是一種分段式造波機(jī)，用于生成多向不規(guī)則波，它廣泛應(yīng)用于于海洋水文參數(shù)測量系統(tǒng)、海洋能發(fā)電裝置等海洋工程裝備模型樣機(jī)的陸地實驗及海洋科學(xué)實驗。在三維無反射數(shù)值水槽中，可以很好地模擬波浪與浮體的相互作用問題[10]。三維波浪吸收理論是在二維波浪吸收理論的基礎(chǔ)上考慮造波機(jī)布置的方向即y軸方向，根據(jù)三個三維速度勢求解作用在造波板上的三維流體力。假設(shè)造波機(jī)無限寬度，不考慮造波機(jī)的邊界限制。對于分段式造波機(jī)，通過控制造波機(jī)相鄰板間的相位差可以產(chǎn)生斜向傳播的波浪，計算單向的不規(guī)則波，θ為斜向波的方向[11]。

斜向浪的目標(biāo)波、反射波、二次反射波的速度勢形式如下。

采用與二維流體力相同的求法，可得斜向波的扭矩為

將n個不同組分的三維規(guī)則波的扭矩疊加求和，則三維不規(guī)則波的扭矩為

在斜向波浪作用下，造波板單位寬度上的動壓力是空間y和時間t的周期函數(shù)。

3.2 多向波

分段式造波機(jī)每塊造波板都是獨立的驅(qū)動結(jié)構(gòu)，都帶有相同的液壓伺服控制系統(tǒng)，整臺造波機(jī)由多個子系統(tǒng)組成，且相對獨立工作[12]。對于多向的不規(guī)則波，造波板有相位滯后εn，第n個斜向組成波的方向為θn。

根據(jù)線性疊加理論，海面上任一點處波浪可表示成不同頻率和方向規(guī)則波浪的線性疊加[13-14]。將n個不同組分的三維斜向規(guī)則波的扭矩疊加求和，則三維多向不規(guī)則波的扭矩為

4 結(jié)語

通過分析水池波浪場中存在的3 種不同波浪成分，對搖板式造波機(jī)的力反饋式主動吸收系統(tǒng)進(jìn)行了理論研究。基于勢流理論對干背式搖板造波條件下造波板速度勢解和壓強(qiáng)的分布特性進(jìn)行研究，并針對主動吸收問題，通過水動力分析，利用規(guī)則波的單頻率特性和不規(guī)則波的多頻率特性，得到波浪作用于造波板上的扭矩的計算方法。該文研究的單向、多向、規(guī)則、不規(guī)則波的一階扭矩可作為開發(fā)造波機(jī)多方向吸收系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)，該理論推導(dǎo)將水池內(nèi)波浪的運(yùn)動與造波板的運(yùn)動聯(lián)系起來，在理論上證明了力反饋式造波機(jī)主動吸收系統(tǒng)對于吸收二次反射波的可行性和有效性。但是該文推導(dǎo)的主動吸收理論和技術(shù)主要基于一階線性造波理論，未考慮非線性因素在二階Stokes 波中的影響，在應(yīng)對非線性波的吸收時存在局限性，未來研究基于二階造波理論的主動吸收理論是發(fā)展方向。