面積與體積共舞，方法與思想齊飛

王定暢

（寧波科學中學 浙江寧波 315336）

一、教學內容分析

本節課選自人教版普通高中教科書第二冊第八章第三節，本節課為第二課時。球的體積和表面積公式立體幾何中的一個重要的問題，其公式的推導有多種方法，同時也體現了多種重要的數學思想，例如無限分割的思想、類比的思想、極限的思想等等。在這節的教學中，教科書直接給出了球的表面積公式，在這基礎上推導球的體積公式。事實上，球的表面積和球的體積公式是存在聯系的，因此我們也可以先推導球的體積公式，進而得到球的表面積公式。

因此，本節課的教學重點：①通過類比、極限的思想得到球的體積和表面積的關系。②利用祖暅原理構造模型推導球的體積公式。而該模型的構造也是本節課的教學難點。

二、學習目標分析

1.通過類比圓的面積推導，猜想證明球的體積和表面積的關系。

2.通過祖暅原理和極限分割思想，推導球的體積公式。

三、學生學情分析

在學習這節課之前，學生已經有了用分割的方法推導圓的表面積計算公式的方法和經驗，而圓的面積公式的推導本質上是一種“以直代曲”的重要的方法，同時也蘊含著極限這一重要的數學思想。此外，學生剛學習了圓柱和圓錐的體積計算公式，對于圓柱和圓錐的幾何結構有了一定的認識，這為之后的祖暅原理的模型構建提供了幫助。

三、教學過程設計

1.回顧舊知，探索新知

教師首先和學生一起回顧圓的面積公式的推導過程，學生掌握的方法是將圓n等分，用該內接正n邊形的面積來逼近圓的面積，由此可得：

這樣便得到了圓的面積和其周長的關系。因此，通過轉化就將推導圓的面積公式問題轉化為了推導圓的周長公式。這一思想為之后研究球的體積和表面積做了鋪墊。

設計意圖：從學生現有的知識出發，回顧圓的周長與面積的關系，從而猜想球的表面積和球的體積也具有類似的關系，感受二維和三維空間在處理一些問題時相通的思想方法。事實上，在立體幾何的學習和教學中我們經常可以發現，三維空間中的很多結論是二維平面的延伸或推廣，因此引導學生如何將一個立體的問題轉化為一個平面的問題是非常有必要的。

問題1：類似于將圓n等分，對于球我們又應該如何切割呢？如果可以，能否切割成我們已經學習過的幾何體呢？

（學生分小組討論，并請每個小組派代表分享他們的討論結果。分割的方法大體分為兩

種：將球分割成一些“小椎體”，或者將球分割成“土豆片”）

設計意圖：通過提問，瞬間將任務分配給學生，調動學生的思考積極性。由于球的切割方式多種對樣，因此每個人可能都會有不同的想法，故在這一教學環節采用的是讓學生小組討論的方式，同時也能活躍課堂氣氛。在討論和展示過程中讓學生體驗極限分割的思想，從現有的椎體的體積公式來推導球的體積公式，這也符合學生的最近發展區原則。同時，采用小組討論的形式也能夠讓每個人都能積極思考，最終取長補短，活躍學生思維。

在各小組討論的過程中，預設會產生將球分割成如下圖所示的幾何體。

追問1：如果我們將球分割成如圖所示的“小椎體”，那么這些小椎體的體積如何計算？他們的高又是什么呢？

而為了使得近似的體積能夠和原幾何體的真實體積相差無幾，我們只要讓分割無限小就可以了，并且此時可將球的半徑R近似地作為高ih。

追問2：若將球分割成無數個這樣的“小椎體”，那么又可以得到一個什么樣的式子呢？

（學生在課堂上獨立推導，在這過程中體會感悟體積和表面積關系式的得出）

由此得到了球的體積和表面積的關系式。

設計意圖：教材中的處理方式是直接給出了球的表面積公式，再利用該關系式得到球的體積計算公式。而實際上通過上述教學過程，我們可以引導學生從極限的思想得到球表面積和體積的關系，通過其他方式先求得球的體積公式，進而便可得到球的表面積公式，不需要直接給出。恰恰相反，如果直接給出球的表面積公式，可能失去了這節課學習的意義，因此設計該教學過程是有意義的。

追問3：從等式中我們可以發現，球的體積和表面積公式是有關系的，我們只需要求一個就足夠了，那么應該先求球的體積還是表面積呢？

（學生分小組討論，有的學生可能會提出將球面“拍扁”的方式來推導球的表面積公式，但是很快學生也會發現將球面“拍扁”是不可行的，因此會更傾向于先推導球的體積公式。但是由于缺少一定的理論基礎，學生往往會從實際實驗的方法出發，比如用阿基米德原理來給出球體積的計算方法，缺少嚴格的證明）

設計意圖：球的體積推導有諸多方法，其中國內比較著名的當屬利用祖暅原理。因此通過利用祖暅原理推導球的體積計算公式，能讓學生感受到古人的智慧，增強學生的民族自信心和榮譽感，同時也將數學文化滲透到了日常的教學中。

2.構造模型，推導公式

首先可向學生介紹祖暅原理及其由來：祖暅為祖沖之之子，南北朝時取的偉大科學家。祖暅在教師數學上作出了突出貢獻，他在實踐的基礎上，于5世紀末提出了下面的體積計算原理：“冪勢既同，則積不容異”。這就是“祖暅原理”。“勢”即是高，“冪是面積，祖暅原理用現代語言學可以描述為：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等。

設計意圖：近年來，數學教學越來越強調學生對于數學文化以及數學史的學習。可以這樣說，數學史就是數學方法史，只有深深扎根在學生頭腦中的數學思想方法隨時隨地地發揮作用，才能使他們終生受益。同時，學習古人先進的數學思想方法，從情感態度與價值觀來看，又非常有利于培養學生的愛國心，激發學生的民族自豪感。

問題2：根據祖暅原理，如何構造模型來推導球的體積公式呢？

（由于該模型的構造具有較大的難度，因此這里采用小組討論的方式展開教學，充分發揮集體的智慧）

設計意圖：在這節課之前，學生已經學習了圓柱和圓錐的體積計算公式，因此學生能夠比較容易地想到這兩個幾何體。并且這兩個幾何體的截面中均有圓的出現，因此這樣提問能很快引導學生往這兩個幾何體去思考。

追問1：我們先推導半球的體積計算公式，并且將大圓面放在一個平面中，那么根據祖暅原理，我們選取的幾何體應該滿足什么條件呢？

設計意圖：幫助學生再次認識利用祖暅原理推導幾何體體積的根本原理，明確構造的方向和要求：將半球和幾何體夾在兩平行平面之間，并使得用任意平行平面去截這兩個幾何體，截得的截面面積相等。在這個教學環節中，采用的是學生探究為主，教師點撥啟發為輔的策略，可以讓學生先談談自己的想法，如果遇到困難，教師予以幫助。具體可以按以下幾個步驟引導學生構造：

（1）假設該平面截得的球的截面為圓1O，且設OO=h1，則所以該平面截另一個幾何體所得的截面面積亦為請同學們思考什么平面圖形的面積是具有這樣的結構？

（2）該結構的面積可認為是一個大圓的面積減去一個小圓的面積，因此可以聯想到的是圓環，且該圓環的外圈半徑為定植R，內圈半徑為變量r。且從俯視圖看，r隨著h的增大而減小，當h=0時，內圈變為一個點。因此從俯視圖來看，該截面為一個大圓中有一個同心的小圓隨著高度的增加在不斷擴大，直到和大圓重合。由此可聯想到構造的幾何體為一個半徑和高度均為R的圓柱體中挖去一個地面半徑為R，高度為R的圓錐。

設計意圖：從球的截面出發，結合截面的面積形式引導學生聯系之前所學習的知識展開聯想，讓學生經歷一個如何由已知來探究未知的過程，體驗通過自己分析構造模型的成就感，同時在這個過程中也讓學生體會到了古人的智慧。

3.拓廣思維，深入研究

事實上，除了將用祖暅原理推導球的體積公式之外，我們還有很多其他的方式進行公式的推導，例如在之前學生可能會提到地將球切成“土豆片”的方式，如圖所示：

設計意圖：①拓廣學生的思維，再次從“分割”的角度來研究球的相關問題，進而滲透微分的思想。②球的截面問題是高考數學中經常會考查的內容，而這類問題往往放在一個由球的半徑、截面半徑以及球心距組成的直角三角形中解決，因此在平時教學中也可以不斷向學生滲透這樣的思想方法。

四、課堂小結

問題3：本節課你學到了哪些知識？有哪些收獲？

（1）學習通過類比的思想研究球。

（2）在公式的推導中體會數學中一種重要的思想：極限思想。

（3）在探究過程中體會構造模型的方法，在公式推導中感悟古人的智慧。

六、教學反思

1.不論是在教材中還是在教參的教學建議中，對這節課它們采用的都是直接給出球的表面積公式和推導球的體積公式的模型，缺乏一個猜想、探究、證明的過程，對于培養程度較好的學生的思維是不利的。

2.本節課采用的是學生自主探究為主，教師點撥啟發為輔的教學方式，因此在課堂中應該把更多的時間交給學生去討論，去思考，更多地讓學生上臺講解等。

3.老教材對于球的體積和表面積公式地給出比較簡單，采用的是直接給出公式的方法，同時在對應公式的右側均標注了“這個公式以后可以證明”的字樣。這樣的設計雖然可以節約很多時間，能讓學生快速記憶并應用于計算，但不利于對于學生數學思維的培養教學。但是新教材在這兩個的公式地給出上，力圖向學生滲透近代數學的思想方法，同時也想兼顧學生的接受能力，對這一塊內容的處理方法包含較深刻的變化思想。其中涉及了“平與曲”“近似與準確”“有限與無限”的轉化，這些轉化對于學生來說都是一個方法和思想上的飛躍。因此，如此教學勢必會有一定的難度，對教師有較高的要求。但是只要教師設計合理，對教材和教法處理得當，注意從學生的最近發展區出發，設計各個教學環節來攻克教學難點，幫助學生克服這些困難是完全有可能的。