數學抽象素養下初高中函數教學的銜接問題探析

殷璐佳

（黃岡師范學院 湖北黃岡 438000）

關鍵字：初高中函數銜接 函數的概念 教學設計 抽象思維

引言

《普通高中數學課程標準》（2017年版2020年修訂）指出，數學抽象素養不僅是學生形成理性思維的重要基礎，也是學習數學概念需要掌握的思維能力。數學抽象思維的掌握對于學生學習高中函數知識，促進初高中函數的銜接學習都有巨大幫助。近年來，不斷有專家學者探究初高中函數銜接問題。霍曼曼[1]通過調查學生學習現狀和教學銜接現狀分析得出，當前教學銜接不理想的主要原因是知識內容、教學目標、學生認知等，并針對以上問題提出相應策略，以促進初高中函數的教學銜接。郭見孫[2]通過調查得出，初高中三角函數在教材內容、教學方法、課標要求等存在差異，并從APOS理論出發提出了相應的銜接策略。

隨著新課程改革的不斷深入，初高中數學教材的相繼改版，初高中函數銜接問題受到更多學者的關注。截至2022年7月15日，在“中國知網”以“初高中數學銜接”為主題，匹配度為“精確”，共檢索到各類文獻1180篇；以“初高中函數銜接”為主題，匹配度為“精確”，共檢索各類文獻205篇。可見，初高中數學銜接問題的研究中，有近六分之一的學者研究函數銜接。雖然不少專家學者對初高中函數銜接都提出了相應的解決措施，但并未從本質上探究初高中函數銜接問題，即函數銜接問題并未徹底解決。因此，本文以數學抽象素養為視角，從學生抽象思維角度探究函數銜接問題，通過對初高中在職數學教師訪談和對人教版初高中函數教材內容的深入探究，分析初高中函數銜接的問題所在，進一步思考探究如何促進初高中函數銜接，幫助學生順利從初中函數學習過渡到高中函數學習。

一、研究方法及過程

1.訪談對象的選取

為了深入了解初高中函數銜接現狀，本研究在選取訪談對象時，采用專家取樣方法，即指選取在某方面具有專業技能或經驗的人作為研究樣本的取樣方法[3]。最終選擇湖北省黃岡市直屬完全中學的數學教師為研究對象，其中初中數學教師3名，高中數學教師4名，均為專家型教師。

2.訪談提綱的編制

在研究相關論文后發現，初高中函數銜接問題涉及的方面較多且復雜，因此，訪談提綱設計為半開放式。經過與指導老師、在職數學教師的討論和修改，最終確定2個訪談主題：①了解教師對初高中函數銜接的認識及在進行銜接教學時存在的困難；②了解教師如何促進初高中函數銜接。根據這兩個訪談主題對初高中數學教師進行訪談，訪談以錄音形式進行，并由人工對錄音進行文字轉錄。

二、初高中函數銜接問題

通過對訪談結果和人教版初高中函數教材的分析發現，初高中函數銜接的困難之處主要體現在兩個方面：一方面，是初中函數與高中函數知識上存在脫節現象；另一方面，是學生的思維能力沒有隨著年級的升高而提升。

1.知識點差異

初中對函數的定義是：一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與之對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數，如果當x=a時y=b，那么b叫作當自變量的值為a時的函數值[4]。重點突出的是x與y之間的某種變化關系，以及可以根據一個變量的值求解出另一個變量的值。

而學生進入高中后所學的函數概念則是：一般地，設A、B是非空的實數集，如果對于集合A中的任意一個數x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作其關鍵點是以集合為基礎探究函數本質，突出實數集合之間的對應關系f，強調函數本身就是一個對應關系，自變量x在對應關系f的作用下，按照等式右邊的式子的法則計算得出f（x）的值。對于剛升入高中的學生而言，函數的理解只是停留在初中的單值對應的程度，由于對應關系f具有較高的抽象性，學生很難在已有的初中函數基礎上理解高中函數。學生對于符號f（x）的認識也存在困難，不清楚與初中所學的y有何聯系，與f（a）又有什么關系。這些認知困難歸根結底是由于高中函數更加符號化、抽象化，學生對新定義的函數概念不理解，沒有理解函數真正的本質是什么，只是停留在初中函數概念階段。

函數的相關學習中，函數性質的探究也是極其重要的。初中所學的一次函數、二次函數、反比例函數等都是畫出函數圖像后，根據圖像探究函數的增減性。而高中則用新的名詞“單調性”來重新定義函數的增減性，并且學生需要證明“此函數為什么是增函數或減函數”。高中函數還會探究其奇偶性，引入奇偶函數的概念，而學生在初中只有學習二次函數時探究過函數圖像的對稱性，并沒有深入研究。以上是初高中函數性質的差異，發現高中函數性質相對初中研究的更加深入，難度驟增，學生學習存在較大困難。

因此，初高中函數在概念、性質等方面存在較大差異，初中函數重點探究的是變量之間的對應變化和求值，而高中函數則突出集合之間的對應關系和單調性、奇偶性。知識點銜接存在明顯不足，所以，教師在進行初高中函數銜接時，需要注意從知識點上進行銜接教學。

2.學生思維差異

教師們認為，初高中函數銜接除了知識點上的銜接困難外，還有學生思維能力的銜接轉換。初中學生學習函數大都是通過畫出函數圖像，將表達式轉變成具體的圖像，學生可以直觀地感受這個函數所表達的深層含義，無論是y的取值范圍還是函數的增減性，此時學生的思維大多處于形象思維階段。升入高中后，學生們發現，數學知識不再像之前一樣可以形象化、具體化，可以利用圖像、表格等完全展示出來，只能從表達式中抽象獲得相關概念和性質。但此時學生的抽象思維能力還不足以支撐函數的學習，已有的形象思維又無法深入理解函數，以至于學生對初中函數掌握扎實，升入高中后卻心余力絀。

例如，復合函數f（f（x）），由于其復雜性，學生無法直接將函數圖像畫出來，只能從表達式中抽象出定義域、值域、單調性等。而復合函數定義域的求解往往需要換元，換元后“內側函數的值域做外側函數的定義域”，沒有一個具體的形象引導學生理解這一句話，所以，學生們困惑為什么值域突然變成了定義域。簡而言之，初中函數到高中函數的學習，對于學生思維而言最難的是從形象思維到抽象思維的轉變。

三、函數概念的教學設計

根據教師訪談結果和初高中函數銜接困難的研究分析發現，教師不僅要注意初高中函數知識之間的銜接，還要注重學生抽象思維的銜接。函數的概念是學習函數模塊的基礎，而且學好函數的概念對于學生數學抽象能力的要求較高。所以，在初高中函數銜接教學中，首先應當作好“函數的概念”這節銜接課。因此，本文以人教版A版高中數學必修一第3章第1節第1課時——“函數的概念”為例，設計教學過程，幫助學生理解函數本質，也幫助教師在進行教學時更好地促進初高中函數銜接。

片段1：創設情境

問題1：2022年6月5日，神州十四號載人飛船于酒泉衛星發射中心成功圓滿發射。在神州十四號飛行期間，衛星發射中心人員時刻關注著神州十四號距離地面的高度隨時間的變化。對于這一運動變化中的數量關系，在數學上我們是用什么來描述的呢？

設計意圖：從學生們喜聞樂見的航天事業出發，激發學生的學習興趣，引起探究欲望，同時引出今天研究的主題——函數。

問題2：請同學們列舉之前初中學過的函數？

問題3：那么初中所學的函數的定義又是怎樣的呢？

問題4：根據初中函數的定義，你能判斷y=1(x∈R)是函數嗎？

設計意圖：通過問題2和問題3，進行初高中函數知識之間的教學銜接，喚起學生對初中函數的記憶，為學習高中函數的概念做準備，以便順利進行知識遷移。設計問題4，引發學生的認知沖突，使學生感受到初中所學的函數概念不能判斷所有表達式，激發學生的求知欲望。

片段2：問題探究

實例一：某復興號列車加速到340km/h后保持勻速行駛半小時，在這段時間里，列車行駛的路程S（km）與行駛時間t（h）的關系表示為S=340t。

問題1：S是t的函數嗎？為什么？

設計意圖：實例一采用的是學生熟知的列車運行的情境，拉近數學與學生生活的距離。問題1的設計幫助學生更深層次理解函數的概念，再次鞏固初中函數的概念。

問題2：可以畫出對應的函數圖像嗎？

問題3：在實例一中，根據對應關系式S=340t，可以知道，列車進入勻速行駛后，運行1h，行駛了340km。這一說法是否正確呢？

問題4：所以，我們畫出的這個圖像是正確的嗎？正確的圖像形狀應該是什么樣的呢？

設計意圖：讓學生初步感知判斷函數是否正確須先判斷自變量的取值范圍，同時也體會自變量取值范圍和因變量取值范圍之間的對應關系。通過函數圖像直觀感受此函數與初中所學的正比例函數存在的差異，幫助學生進一步理解函數，促進形象思維到抽象思維的轉變。

實例二：某電氣維修公司要求工人每周至少工作1天，至多不超過6天，每天工資標準是340元，且是每周結一次工資，那么請問如何確定一個工人每周工資w（元）與工作天數d之間的關系呢？w是d的函數嗎？

問題1：這里的變量w的變化范圍是多少？變量d的變化范圍又是多少？你可以用數集分別表示嗎？

問題2：這兩個數集之間存在什么樣的關系呢？

問題3：這個函數的圖像你可以畫出來嗎？

問題3：實例一和實例二中的函數具有相同的對應關系，根據圖像可以判斷出它們是同一個函數嗎？為什么？

設計意圖：通過問題1、2，讓學生建立使用集合表示變化范圍的意識，探討集合之間的關系來認識函數的對應關系。問題3、4的設計讓學生從函數圖像中初步直觀感知兩個函數不是同一個函數，再分析根本原因，使得學生深入認識函數不僅要關注解析式，還要關注自變量、因變量的取值范圍。

實例三：圖 1是黃岡市某天24小時的氣溫變化圖。

問題1：你能根據圖 1得出14時的氣溫是多少？在什么時刻氣溫為6℃？

問題2：如何根據圖 1確定這一天內某一時刻t h的氣溫T？你認為這里的T是t函數嗎？

圖1 氣溫變化圖

問題3：此時I和t需要考慮取值范圍嗎？假如需要，那么它們的范圍分別是多少呢？

設計意圖：引導學生從圖像中分析問題，體會對任意自變量的值都有唯一確定的值與之對應，同時引導學生分析變量的取值范圍，為后續概括函數本質打下基礎。

反映一個地區人民生活質量的高低，恩格爾系數越低，生活質量越高。表1是我國某省城鎮居民恩格爾系數變化情況，根據表1中的數據，你可以得到年份y與恩格爾系數r的關系是怎樣的？

表1 我國某省城鎮居民恩格爾系數變化情況

問題1：根據表1給出的對應關系，你認為恩格爾系數r是年份y函數嗎？為什么？

問題2：在實例四中，對于r和y的取值范圍有沒有要求呢？

設計意圖：通過實例四的分析，引導學生學會從表格數據來分析問題，初步體會表格數據中蘊含的函數關系，同時也培養學生的數據分析素養。

片段3：概念提煉

問題1：請嘗試用表格的形式將以上4個實例中數學信息進行歸納整理。

問題2：根據表2里面的數據信息，你可以得出它們的共同特征嗎？請把表2補充完整。

表2 數學信息歸納表

問題3：通過4個實例我們發現，對應關系不僅可以用解析式表達，也可以用圖像、表格的形式呈現，因此，我們采用德國數學家萊布尼茨引入的f來統一表示對應關系。現在同學們可以根據初中函數的定義，重新對函數進行定義嗎？

設計意圖：運用可視化方法，采用表格的形式，幫助學生梳理4個實例中所含有的全部信息，通過比較分析法找到實例中的共同特征，以完成表頭為橋梁抽象出函數的概念。也將學生的思維可視化，建立起學生思維之間的銜接，促進學生形象思維到抽象思維的轉變，有助于學生抽象出函數的本質，進而概括得出函數的概念。

片段4：辨析概念

問題2：請同學們在函數的定義中畫出你認為的關鍵詞，用自己的話表述，并思考函數是由哪幾部分構成？

問題3：如何判斷兩個函數是否相等呢？

問題4：如果不采用f（x）表示函數符號，可以用其他符號如g（x）,F（x）等來表示嗎？

設計意圖：函數概念相對抽象，晦澀難懂，因此通過學生自己對函數概念的拆分、辨析，深刻理解函數的概念，掌握函數的三要素，進一步建構自己的函數觀。

片段5：例題講解

（1）函數的定義域是多少？

（3）當a＞0 時，求f（a）、f（a+2）的值。

設計意圖：鞏固對函數概念的理解，初步掌握定義域求解的方法，理解f（a）（a為常數）與f（x）的關系，體會從特殊到一般、從具體到抽象的轉變，進一步深化對函數符號的理解。

四、相關建議

初高中函數銜接是為了建立初中函數到高中函數的學習臺階，幫助學生順利從初中數學過渡到高中數學。同時，初高中函數銜接教學也是一個長期而又艱巨的任務。在這個任務中，無論是初中教師，還是高中教師都應當為了學生長期的身心發展而努力。為了幫助初高中數學教師在實際教學中更好地促進初高中函數銜接，提出以下幾點建議。

1.注重函數的整體知識結構

教師首先應當以整體性、層次性兩個特性出發，分別建立初中函數和高中函數的知識結構，清楚學生在不同學段需要掌握理解的函數內容。接著以發展性為目標從構建的知識結構中找出初高中函數銜接點，促進初高中函數知識之間的銜接。同時教師在進行教學時也要注重學生對函數知識的整體結構的理解，在學完所有初中或高中函數知識之后，可以選擇帶領學生構建整體函數的知識結構，理解各個知識之間的聯系，從而更易掌握函數知識，建立自己的函數觀。

2.適當運用動態數學軟件

圖象具有一定的直觀性，使得學生從該函數的圖象中直接得出其函數性質，從一定程度上降低了函數知識的理解難度，可以有效促進初高中函數的銜接。由于高中函數相對復雜，圖象很難直接畫出，因此教師可以利用數學動態軟件如皓駿、GeoGebra、幾何畫板等進行作圖，展示具體的函數圖象。在教學中加入靜態或者動態圖象不僅可以很好的吸引學生注意力，還可以直觀、形象的幫助學生學習函數概念、性質等，以形象思維促進抽象思維的發展。

3.可視化方法培養學生的抽象思維

高中函數相對初中函數具有更強的抽象性，因此對于學生抽象思維能力的要求更高。教師在進行授課時，可以從創設情境出發，以學生熟知的生活實例或者與之相關的知識為背景，引起學生興趣。然后根據探究的知識的特點，適當運用可視化的方法，采用圖示、表格等形式將探究過程中復雜知識、思維清晰地呈現出來，幫助學生理解知識的形成過程，有效的發展學生的抽象思維，促進形象思維到抽象思維的轉變。