直觀感知 多元表征 建立倍的模型
——大單元教學背景下《倍的認識》教學思考

位秀麗

（安徽省淮北市泉山路學校 安徽淮北 235000）

倍的本質是兩個數量在相互比較，即一個量里包含了幾個另一個量就是它的幾倍。借助圖示將所比較的兩個事物的數量關系對比，直觀化理解1份與多份，引出“一個數的幾倍”的含義，從具體實物數量的比較中抽象出倍的過程。因此，在教學時，我把“倍的認識”這一知識融合在學生的直觀感受、動手操作和語言表征之中，讓學生在多種感官刺激中經歷“倍”的概念形成過程。

一、圖示理解數量關系，初步感知“倍”

師：同學們請看：勤勞的小兔收獲了這么多的蘿卜，誰來用數學語言說一說都收獲多少蘿卜？

生：胡蘿卜有2根，紅蘿卜有6根，白蘿卜有10根。

師：把這兩根胡蘿卜圈起來，表示兩個為一份，紅蘿卜有這樣的幾份？

生：紅蘿卜有這樣的3份。

師：紅蘿卜有幾個2根？（3個2根）

師：誰能用倍來說說紅蘿卜和胡蘿卜之間的關系？

生：紅蘿卜是胡蘿卜的3倍。

圖一

師：為什么紅蘿卜是胡蘿卜的3倍呢？

生：圖上胡蘿卜是每兩個為1份，紅蘿卜有這樣的3份，也就是3個2，所以說紅蘿卜的根數是胡蘿卜的3倍。

師：真會觀察，圈一圈，數一數，他講清楚3倍的道理了，很好！

師：看圖說很簡單，胡蘿卜每兩個為1份，紅蘿卜有這樣的3份，也就是3個2，所以紅蘿卜的根數是胡蘿卜的3倍。

教學時，首先出示教材主題圖，讓學生自己找出數學信息，胡蘿卜2根和紅蘿卜6根兩者相比較，學生說出紅蘿卜與胡蘿卜的關系。

教師示范2根胡蘿卜一圈，讓學生說一說其含義，在理解基礎上，通過像這樣兩根兩根地擺一擺、圈一圈，初步感知兩者之間的倍數關系，借助直觀感知學生第一次嘗試用規范地數學語言表征，明確：胡蘿卜2根為一份，紅蘿卜里有這樣的3份，也就是3個2根，所以紅蘿卜的根數是胡蘿卜的3倍。通過圖形表征、語言表征學生從不確定到明晰紅蘿卜與胡蘿卜之間的倍數關系，讓他們初步感知倍的含義，“幾倍”與“幾個幾”建立起聯系。

二、多元表征數量關系，理解應用“倍”解決問題

1.找準關系，用倍進行語言表征

師：白蘿卜也跟胡蘿卜作比較，會是幾倍呢？

師：拿出你們桌面上的作業紙，圈一圈，填一填，找找看，究竟是幾倍？

展示生作品：

圖二

生：胡蘿卜每兩個為1份，白蘿卜有這樣的5份，也就是5個2，白蘿卜的根數是胡蘿卜的5倍。

讓學生觀察胡蘿卜和白蘿卜的關系，學生借助學習單獨立圈一圈，明確2根胡蘿卜為一份，通過填一填，理解白蘿卜里有這樣的5份，也就是5個2根，借助圖形和文字提示學生自主嘗試找準關系，用倍進行語言表征：明確白蘿卜的根數是胡蘿卜的5倍。

學生認識實物帶有具體性和直觀形象性，需要從感受中獲得感性積累，從而上升到理性認識。從幾個幾過渡到倍的語言表征，讓學生經歷從對生活中具體實物量的比較中抽象出倍的過程。再讓學生自主發現白蘿卜的根數與胡蘿卜的倍數關系，通過知識的遷移形成對新知的鞏固與運用，引出“一個數是另一個數的幾倍”的含義。讓學生感受到“1份”的標準很關鍵，先觀察確定1份圈出來，另一個數量圈了幾個這樣多，就是幾份。

2.多元表征數量關系，應用“倍”解決問題

（1）閱讀與理解

師：他們在干什么？（打掃衛生。）真是一群愛勞動的孩子。仔細觀察，你發現了哪些數學信息？

信息：擦桌椅的有12人，掃地的有4人。

（2）分析與解答

方法一：

圖三

4人圈一圈，擦桌椅的人數有3個這么多，說明擦桌椅的人數是掃地的3 倍。

方法二：

把掃地的（4）人看成一份，然后將擦桌椅的12人（4）個（4）個地分，可以分出（3）組，說明12是4的（3）倍。

方法三：

“求擦桌椅的人數是掃地人數的幾倍”就是要把擦桌椅的12人進行分組，掃地的人4個人一組，看有幾個這樣的一組，實際上就是求“12里面有幾個4”？算式：12÷4=3

總結：求一個數是另一個數的幾倍，就是求一個數里面有幾個幾，要用除法計算。

教學時，讓學生充分經歷用語言描述問題、畫圖表征數量關系、列除法算式解決問題的過程，加深學生對倍概念的認識。

三、變式一份與幾份，深化對“倍”的認識

1.改變比較量的數量，在變化中加深對倍的認識。

圖四

師：如果白蘿卜這樣往下擺，你能說一說白蘿卜是胡蘿卜的幾倍嗎？

胡蘿卜數量“2根”不變，改變白蘿卜的份數，讓學生分別說出白蘿卜與胡蘿卜的倍數關系。在這個片段中“1份”標準不變，比較量在不斷發生變化，倍數就發生了變化，強化標準量的唯一性。逐步解開“倍數關系”的種種類型。拓展：白蘿卜的數量一直增加，有20個2根呢？50個2根呢？100個2根呢？讓學生發現：倍可以是無限增大的。

2.改變標準量的數量，在變化中加深對倍的認識。

圖五

師：都是紅蘿卜和胡蘿卜作比較，為什么一會兒是2倍關系，一會兒又是3倍關系呢？

后來增加1根胡蘿卜，此時紅蘿卜和胡蘿卜又有怎樣的關系呢？再把剛才紅蘿卜是胡蘿卜3倍的情況展示出來，和現在進行對比，為什么都是紅蘿卜和胡蘿卜比較，倍數卻不一樣？學生通過直觀地觀察對比，從起初的“1份數不變，幾份數變化”到“1份數變化，幾份數不變”兩個層次的推進，組織學生觀察比較，在“不變”中感受“變”，而這個“變”，就是當 1份發生變化時，另一個量里有幾個這樣的 1份，就是幾倍也會發生相應的變化，進一步理解“倍”的本質。通過不斷地辨析，加強對“倍”的理解。

練習環節通過設計連續的情境，不斷改變兩個比較的量的數量，讓學生在有趣的“變化”中進一步認識倍，感受在比較倍數關系時標準的重要性，要先明確是誰和誰比，再找出倍數關系。

3.數量關系及其之間的轉化，建立倍的模型。

圖六

師：坑里種什么？白菜和蘿卜才能成倍數關系呢？同桌商量商量，幫小兔出出主意。

生：可以種白菜。把這2根胡蘿卜給圈起來表示看作1份。白菜有這樣5份，白菜的棵數是胡蘿卜的5倍。

師：他的想法里以什么為標準？（2根胡蘿卜為標準）

生：可以種胡蘿卜。3根胡蘿卜看做1份，白菜有這樣的3份，白菜的棵數是胡蘿卜的3倍。（3根胡蘿卜為標準）

總結：小兔既可以種……白菜，還可以種……胡蘿卜。

本環節設置問題：思考“小兔種什么才能使白菜和胡蘿卜成倍數關系？”目的是通過變式練習防止學生的思維定式，深化對倍的概念的認識。這里針對倍數關系的數學模型，不斷改變兩個比較量的數量，讓學生在有趣的“變化”中進一步認識倍，感受在比較倍數關系時標準的重要性，要明確是誰和誰比，再找出倍數關系，重視意義理解，多角度、循序漸進地建立倍的概念。

四、重視方法指導，培養幾何直觀

1.借助圖形，直觀把握數學對象

圖七

師：可是小兔最后只種了一種蔬菜，他把他的想法藏在了一幅神秘的圖形中。請看。你能從圖中看出小兔到底種了什么嗎？

生：最后小兔種的是胡蘿卜，因為圖形中每三個為一份白菜。

師：他說3顆白菜擺一組，說明他的想法里把誰看做了標準？（3根胡蘿卜）

圖八

思考：日子一天天過去了，小兔吃的什么呀？現在可以說什么啦？

生：白菜的棵數是胡蘿卜的根數的2倍。

圖九

師：現在呢？

生：白菜和胡蘿卜同樣多了。

生：那你能用倍來比一比白菜和胡蘿卜是幾倍關系？

生1：是0倍關系。

師：為什么？

生2：1倍。

師：你認為是1倍，說說你的理由。

生1：因為他們已經同樣多了

生2：因為白菜有1份，胡蘿卜也有1份，所以就是胡蘿卜的1倍。

師：你們聽懂了嗎？（掌聲）

師：那么1倍的兩個數有什么特點呢？

生：他們的兩個數都是同樣多的。

接下來，由“小兔只能種一種蔬菜，它把自己的想法藏在一幅圖中”引出線段圖，讓學生找出白菜與胡蘿卜的倍數關系。這里除了3倍數和2倍數，還重點講了1倍數。學生自主“幾倍”，讓他們自主完成對“倍”這個概念的模型的有效建構，進一步深化對“倍”這個概念的本質理解，在創造過程中發現逆向思考，通過正向和逆向的對比，理解兩個量之間的倍數關系，提升思維。而1 段線段表示蔬菜個數是具有一般性的，蘊涵著“類”的思想，可以用來表示一類問題的數量關系，也為今后此類解決問題奠定基礎。

2.拓展延伸提升認知，直觀建立倍的模型

師：剛才我們學習了這么多，現在，誰來說說你對倍的認識？

生1：找兩個數之間的倍數關系時，先找標準。

生2：可以用倍解決問題。

師：你們收獲的可真多，老師真佩服你們。你們能用符號語言來表示倍數關系嗎？

（請看大屏幕）課件出示活動要求：

從○、△、□……中選兩種圖形，用若干個表示出它們的倍數關系。

讓別人一看就明白。

師：看清要求了嗎？拿出學習單，動手試一試吧。

師：完成的孩子請舉手。誰愿意來給大家分享一下你的作品。

展示作品：（學生在分享時一定引導他說清楚是以誰為標準，為什么另一種圖形是這種圖形的幾倍）。

回顧這節課有什么收獲？什么是倍？學生利用圖形的方式表示出自己心目中的一個倍數。讓學生體會到除了利用語言、實物、線段可以表示倍，還可以利用圖形來表示倍，多元表征建立倍的概念。

畫圖策略，指導學生學會用圖來描述題意，表達不同數學對象間的關系。教師可以用簡筆畫或圓形、三角形等圖案去替代實物，將圖案與具體實物間建立一一對應的關系，畫出情境中包含的數量關系，引導學生思考如何找到兩個所比較的量之間的數量關系，啟發學生用畫圈或畫弧線的方法表示出來，便于一眼看出兩者的倍數關系。

教師也可以用畫線段圖來幫助學生理解分析倍數關系。在教學例3時，教師先指導學生畫一條線段表示軍模價錢（8元），再根據“象棋的價錢是軍棋的4倍”，連續畫出4段與第一條線段同樣長的線段來表示象棋價錢。

學生想要借助圖形直觀地把握數學對象，進行數學思考，首先需要把研究“對象”抽象成為“圖形”，再把“對象之間的關系”轉化成為“圖形之間的關系”，這樣就把研究的問題轉化為“圖形的數量”的問題，進而進行思考分析。而有些學生還沒有學會只保留研究對象量的屬性來畫圖，可能只會畫直觀的實物圖來表示數量關系。線段圖雖然是用幾何線段直觀表示出數量關系，但對第一次接觸的學生來說卻是抽象的。因此，在教學例2“求一個數是另一個數的幾倍”的問題中，我先引導學生畫出形象的實物圖；在教學例3“求一個數的幾倍是多少”的問題中，再引導學生畫出抽象的線段圖，讓學生學會如何用圖來描述題意，更重要的是引導學生關注如何表達不同數學對象間的關系。

由于倍的概念比較抽象，學生日常生活中接觸少，所以學生要理解倍是比較難的。教學時，根據學生的年齡特征和思維特點，充分發揮學生的主體地位，讓他們通過動手擺、圈、說等方式，溝通乘除法意義與倍的知識聯系，初步建立“倍”的概念，在比較量和標準量的“變化”中，進一步加深對“倍”的意義的理解。讓學生在觀察、操作、思考與交流中通過自主探究和合作學習等學習方式，借助幾何直觀圖，利用多種表征間的轉化，使學生理解“求一個數是另一個數的幾倍”用除法計算和“求一個數的幾倍是多少”用乘法計算的解題策略，形成數學模型。學生可以此體驗運用數學知識解決問題的樂趣，建立學習數學的信心，感受數學與生活的聯系，體會數學的價值。