有限元仿真在《電機學》教學中的應用*

賈海媛 王 剛 羅振鵬

（內蒙古工業大學電力學院 內蒙古呼和浩特 010051）

電機是以磁場為媒介，實現機電能量轉換或信號傳輸的裝置，所以磁場作為電機中客觀存在的物質，起到了極其重要的作用，而磁場又是一種看不到，摸不著的特殊物質，單純通過理論講解，會使得學生難以理解和接受，所以以交流電機的電動勢學習為例，采用有限元仿真進行輔助教學，讓學生更直觀地理解電機內部磁場的作用，提高學生對電機學的學習興趣[1-2]。

為了讓學生更加直觀地理解交流電機的電動勢，本文通過建立永磁同步電機的模型，來分析交流繞組處于轉子磁場作用下所產生的感應電動勢。結合教學內容，分別對單根導體感應電動勢、線圈感應電動勢、線圈組感應電動勢和相繞組感應電動勢進行了仿真分析，從而引出短距繞組和分布繞組對感應電動勢的影響，讓學生更好地理解分布因數和短距因數的物理意義。

一、仿真模型的建立

以2極永磁同步發電機為例，建立其仿真模型，仿真模型由轉子鐵芯、永磁體、定子鐵芯和線圈組成，為了忽略齒槽效應的影響，定子鐵芯未開槽，定子線圈置于定子鐵芯的內表面，為了使氣隙磁場盡可能正弦化，永磁體采用了偏心設計，在氣隙磁場的作用下，分別來仿真分析單根導體感應電動勢、線圈感應電動勢、線圈組感應電動勢和相繞組感應電動勢。單根導體感應電動勢仿真模型如圖1所示，其他情況的仿真模型根據需要仿真分析的感應電動勢在定子內表面不同位置布置導體并進行串并聯，電機的氣隙磁場波形分別如圖2所示。

圖2 氣隙磁密波形

二、感應電動勢分析

1.單根導體感應電動勢

仿真模型如圖1所示，將線圈匝數設置為1匝，電機轉速設置為1500r/min，在氣隙磁場的作用下仿真得到的就是單根導體的感應電動勢，仿真波形如圖3所示。

圖1 仿真模型（單根導體）

由圖3可知，單根導體感應電動勢的波形與氣隙磁密波形一致，當氣隙磁密呈正弦分布時，單根導體感應電動勢的波形也呈正弦分布。由于氣隙磁密不是完全正弦化分布，所以可以對單根導體感應電動勢進行傅里葉分解，得到其傅里葉分解結果如圖4所示。

圖3 單根導體感應電動勢波形

圖4 單根導體感應電動勢傅里葉分解

根據教學內容，首先來分析正弦作磁場作用下的感應電動勢，所以先來分析感應電動勢的基波分量。由圖4可知，在已知氣隙磁場的作用下，單根導體感應電動勢的基波分量的有效值為0.2367V。

由推導得到的單根導體感應電動勢計算公式E1= 2.22fΦ1可知，單根導體的感應電動勢與頻率及每極磁通量成正比，可以引導學生們采用有限元仿真，在改變電機轉速、極對數、永磁體厚度等參數來分析其中某一個參數變化時對導體感應電動勢的影響，從而加深學生們對公式的理解。

2.線圈感應電動勢

（1）整距線圈

在單根導體感應電動勢仿真模型的基礎上，再增加一根導體，它與第一根導體相差180°，并與第一根導體組成一個整距線圈，其方向與第一個導體方向相反。仿真得到整距線圈感應電動勢波形及其傅里葉分解結果分別如圖5及圖6所示。

圖5 整距線圈感應電動勢波形

圖6 整距線圈感應電動勢傅里葉分解

由仿真結果可知，整距線圈感應電動勢基波分量的有效值為0.4733V，是單根導體感應電動勢的2倍，結合單根導體感應電動勢和整距線圈感應電動勢計算公式也可以得到整距線圈感應電動勢是單根導體感應電動勢的2倍，即為兩根導體感應電動勢的代數和，仿真結果與理論推導完全吻合，通過仿真可以讓學生直觀地理解整距線圈感應電動勢與導體感應電動勢之間的關系。

（2）短距線圈

相比于整距線圈，同樣可以利用有限元仿真來分析非整距線圈的感應電動勢。以短距線圈為例，將第二根導體與第一根導體的距離減小至150°，此時兩根導體便組成了一個短距線圈。仿真得到短距線圈感應電動勢波形及其傅里葉分解結果分別如圖7及圖8所示。

圖7 短距線圈感應電動勢波形

圖8 短距線圈感應電動勢傅里葉分解

由仿真結果可知，短距線圈感應電動勢基波分量的有效值為0.4571V，整理得出整距線圈和短距線圈導體感應電動勢的關系如表1所示。

表1 整距線圈與短距線圈感應電動勢基波分量對比

由仿真結果可知，當線圈為短距線圈時，其感應電動勢減小了，其減小比例可以用節距因數來描述，其物理意義是組成線圈的導體電動勢相量和相比導體電動勢代數和所打的折扣。

通過推導可以得到短距因數kp=，其中β為短距角，結合仿真參數可知，仿真中的短距角為30°，利用公式可以計算得到節距因數為0.9659，而仿真得到的結果也與計算結果完全吻合，所以通過仿真可以讓學生直觀地看到短距后其線圈感應電動勢的變化以及節距因數對線圈感應電動勢的影響。

上述仿真中導體的匝數均為1匝，而實際線圈一般采用多匝線圈，從而得到線圈感應電動勢的計算公式為Ec=Nc Ec1= 4.44fNcΦ1。在短距線圈仿真模型基礎上，將導體匝數設置為20匝，同樣可以通過仿真得到多匝線圈感應電動勢基波分量的有效值為9.143V，與公式計算結果吻合。

3.線圈組感應電動勢

通過對交流繞組構成的學習可知相鄰的各線圈依次串聯構成線圈組，所以在仿真得出單個線圈感應電動勢后，可以繼續對線圈組感應電動勢進行仿真分析。

假設電機每極每相槽數q=2，在線圈感應電動勢仿真模型的基礎上，再增加一個線圈，該線圈與第一個線圈相距30°，與第一個線圈串聯構成線圈組。仿真得到線圈組感應電動勢波形及其傅里葉分解結果分別如圖9及圖10所示。

圖9 線圈組感應電動勢波形

圖10 線圈組感應電動勢傅里葉分解

由仿真結果可知，線圈組感應電動勢基波分量的有效值為17.6637V，整理得出線圈和線圈組導體感應電動勢的關系如表2所示。

表2 線圈與線圈組感應電動勢基波分量對比

由仿真結果可知，當q個線圈串聯構成線圈組后，其感應電動勢與q個線圈感應電動勢代數和相比減小了，其減小比例可以用分布因數來描述，其物理意義是線圈電動勢相量和相比線圈電動勢代數和所打的折扣。

結合仿真參數可知，仿真中的槽距角α=30 °，每極每相槽數q=2，利用公式可以計算得到分布因數為0.9659，而仿真得到的結果也與計算結果完全吻合，所以通過仿真可以讓學生直觀地看到分布因數對線圈組感應電動勢的影響。

4.相繞組感應電動勢

線圈組通過串并聯構成一相繞組，采用雙層繞組時，線圈組數等于極數，在上述模型的基礎上，建立相感應電動勢仿真模型，仿真得到相感應電動勢波形及其傅里葉分解結果分別如圖11及圖12所示。

圖11 相感應電動勢波形

圖12 相感應電動勢傅里葉分解

由仿真結果可知，相感應電動勢基波分量的有效值為35.3326V，結合仿真模型，相當于由2個線圈組串聯得到相繞組感應電動勢，即為上述線圈組感應電動勢的2倍。

對于多極電機的仿真，可以引導學生自行建模，來對比分析線圈組間不同連接方式引起的感應電動勢的變化，同時可以根據導體匝數設置的不同來對比相同匝數下單層繞組和雙層繞組感應電動勢的不同，從而更進一步加深對繞組構成的理解。

通過以上分析可知，對于交流繞組，當采用短距分布形式后，其總體作用使得感應電動勢基波分量減小，那為什么在實際電機中仍采用短距繞組和分布繞組作為電機主要繞組形式，那么我們下面來進一步分析繞組短距和分布在其他方面的影響。

三、短距繞組和分布繞組的作用

在上面的分析中，僅關注了感應電動勢的基波分量，我們也希望交流繞組的感應電動勢為正弦波，而在實際電機中由于氣隙磁場的非正弦使得交流繞組的感應電動勢也不是正弦波。通過上述的仿真可以看到，感應電動勢中不僅包含基波分量，同時也存在3、5、7、9等奇次諧波，且隨著諧波次數的增高，諧波幅值減小。結合上述仿真結果，將整距線圈、短距線圈、線圈組的基波及各次諧波電動勢整理如表3所示。

表3 整距線圈、短距線圈、線圈組基波、各次諧波感應電動勢及其與基波比值

由仿真結果可知，當線圈為整距時，其基波分量相比短距時稍大一些，但各次諧波分量占比較大，當線圈短距后，其各次諧波均得以削弱，當線圈分布后，其各次諧波進一步被削弱。因此，交流繞組采用短距和分布的形式可以有效抑制感應電動勢中的高次諧波。

采用短距繞組時，通過分析可知，當需要消除某次諧波時，只要選用比整距短的短距線圈便可，而電機中由于5、7次諧波幅值較大，所以常采用短即線圈節距為時可同時削弱5次和7次諧波，由仿真結果也可以看到5次和7次諧波電動勢削弱幅度最大。

其削弱效果可以用諧波節距因數來描述，通過推導可以得到諧波短距因數

結合仿真參數可知，利用公式可以計算得到3、5、7、9次諧波節距因數分別為0.7071、0.2588、-0.2588和-0.7071，而仿真得到的結果也與計算結果完全吻合，所以通過仿真可以讓學生直觀地看到繞組短距對感應電動勢中高次諧波的抑制作用。

采用分布繞組時，通過分析可知，其削弱效果可以用諧波分布因數來描述。

結合仿真參數可知，利用公式可以計算得到3、5、7、9次諧波分布因數分別為0.7071、0.2588、-0.2588和-0.7071，而仿真得到的結果也與計算結果完全吻合，所以通過仿真同樣可以讓學生直觀地看到繞組分布對感應電動勢中高次諧波的抑制作用。

通過分析和仿真可知，短距繞組和分布繞組對基波和諧波電動勢的繞組因數的影響有很大的不同，采用短距和分布繞組后雖然基波電動勢有所下降，但對削弱或消除諧波電動勢的作用非常明顯，因此在交流電機中廣泛采用短距繞組和分布繞組[3-4]。

四、諧波磁動勢削弱方法

1.采用短距繞組和分布繞組

由上分析可知，采用短距繞組和分布繞組可以有效削弱電動勢中各次諧波。

2.采用星形連接方式

對于三相電機而言，繞組常采用星型連接，那么在線電動勢中就不會出現3次和3的倍數次奇次諧波電動勢，提取上訴仿真分析中的線感應電動勢波形并進行傅里葉分解。通過仿真結果可以看到當繞組采用星型連接時，線電動勢中的3次和3的倍數次諧波都沒有出現，所以說采用星型連接是消除3次和3的倍數次諧波電動勢的方法。

3.使氣隙磁場正弦化

在實際電機設計中，常通過優化永磁體或磁極的形狀來優化氣隙磁場波形，使氣隙磁場正弦化，這是削弱諧波電動勢最根本的方法，上述仿真已經對永磁體形狀進行了優化，后續可以引導學生重新建立仿真模型，同樣采用表貼式的永磁同步發電機，分析對比當不對永磁體形狀進行偏心設計以及不同極弧系數、不同偏心距時的相繞組感應電動勢，從而更加直觀地理解氣隙磁場波形對感應電動勢的影響。

結語

《電機學》是電氣工程及其自動化一門重要的專業基礎課，在整個課程體系中起到了承上啟下的作用。教師可針對本門課程的特點，在教學點過程中結合有限元仿真，加深學生對相關學習內容的理解，對傳統方式的電機學教學有較好的改進作用。