圖“說”疑難雜癥 圖“感”建構(gòu)模型
——數(shù)形結(jié)合解決問題的教學(xué)思考

安徽馬鞍山市山南小學(xué)（234000） 俞潔文 唐尾玲

本文關(guān)于“圖感”內(nèi)涵的認(rèn)定基于三個方面的思考：一是學(xué)生關(guān)于數(shù)與圖（形）之間關(guān)系的直覺；二是學(xué)生對數(shù)和形關(guān)系的敏感度及辨別能力；三是學(xué)生在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合中產(chǎn)生的一種對數(shù)學(xué)的理解。下面將結(jié)合人教版教材的教學(xué)實(shí)例，闡述數(shù)形結(jié)合在攻克學(xué)習(xí)疑難點(diǎn)和建構(gòu)數(shù)學(xué)模型中發(fā)揮的作用。

一、圖“說”抽屜原理——可視化思維還原學(xué)生視角

數(shù)學(xué)廣角作為小學(xué)數(shù)學(xué)的亮點(diǎn)內(nèi)容，雖然拓寬了學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)的視野，但其教學(xué)內(nèi)容普遍存在容量大、難度大的問題，抽屜原理更是難中之難。蔣承飛老師在一次課堂教學(xué)觀摩研討活動中執(zhí)教了“抽屜原理”一課，全課緊扣“總有”“至少”“蘋果數(shù)與抽屜數(shù)的關(guān)系”三大問題展開探究活動，將數(shù)形結(jié)合與抽屜原理融合后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，進(jìn)而建立模型，有效突破了難點(diǎn)。

【教學(xué)片段】關(guān)于“總有”的認(rèn)識

伴隨3D打印彈珠游戲的介紹，課堂在學(xué)生喜愛的游戲活動中拉開帷幕。3D打印彈珠游戲的規(guī)則：有3個抽屜，給你3顆彈珠，只要有2顆彈珠進(jìn)入同一個抽屜，就能中獎。

問題1：根據(jù)這個規(guī)則，你們最不希望出現(xiàn)什么情況？

問題2：有哪些情況能中獎？

問題3：為什么最不希望出現(xiàn)（1，1，1）？

蔣老師打破4顆彈珠、3個抽屜的常規(guī)教學(xué)方法，課始呈現(xiàn)3顆彈珠進(jìn)入3個抽屜的情況，引導(dǎo)學(xué)生設(shè)想沒有2顆彈珠在同一個抽屜里（即最不利的情況），唯有（1，1，1）一種情況，從而完成記錄方法的介紹。這樣，面對4顆彈珠、3個抽屜的情況，學(xué)生就能輕松理解“此時第4顆彈珠無論怎么放，總有1個抽屜里有2顆彈珠”，感受到最不利的情況中蘊(yùn)含平均分的知識。

【教學(xué)片段】關(guān)于“至少”的認(rèn)識

教材是直接出示抽屜原理的結(jié)論，并呈現(xiàn)兩種思考方法：用枚舉法證明和用假設(shè)驗(yàn)證推理。抽屜原理實(shí)際上是解決某種特定結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)或生活問題的模型，是一種數(shù)學(xué)思想方法。唯有讓學(xué)生經(jīng)歷抽屜原理的探究過程，才能更好地發(fā)展學(xué)生的抽象能力和推理能力。這樣，學(xué)生不僅能理解抽屜原理，更能感受歸納演繹的邏輯推理思維。

出示：4顆彈珠進(jìn)入3個抽屜后分別獲得幸運(yùn)星的數(shù)量如圖1。

圖1

問：玩一次游戲至少能獲得幾顆幸運(yùn)星？“至少”是什么意思？

4顆彈珠放進(jìn)3個抽屜只有圖1的幾種情況：當(dāng)其中1個抽屜最多有2顆彈珠時，就獲得2顆幸運(yùn)星；當(dāng)其中1個抽屜最多有3顆彈珠時，就獲得3顆幸運(yùn)星；當(dāng)其中1個抽屜最多有4顆彈珠時，就獲得4顆幸運(yùn)星。至此，學(xué)生很容易得出“至少獲得2顆幸運(yùn)星”這一結(jié)論。而借助圖形就能化解“在至多數(shù)中找至少數(shù)”這一難點(diǎn)，并總結(jié)出一個肯定的結(jié)論：把4顆彈珠放進(jìn)3個抽屜里，不管怎么放，總有1個抽屜里至少有2顆彈珠。

抽屜原理教學(xué)的一個難點(diǎn)是建立模型，蔣老師將抽屜原理的兩個核心關(guān)鍵詞“總有”和“至少”分步展示，“總有”包含了所有的抽屜，“至少”包含了所有的情況，借助圖形將看不見的思維可視化，就能還原學(xué)生視角，突破教學(xué)難點(diǎn)。

二、圖“說”周期規(guī)律——根據(jù)間隔天數(shù)推算星期幾的新視角

學(xué)習(xí)“年、月、日”知識后，學(xué)生經(jīng)常會遇到類似“2012年2月1日是星期三，小明3月2日過生日，這一天是星期幾？”的問題。這類問題有多種推算方法，如：運(yùn)用月歷特點(diǎn)找到與2月1日一樣是星期三的日期有2月8日、15日、22日、29日，往后推，3月1日是星期四，3月2日是星期五。這種方法顯然不適合天數(shù)過多的問題。如：利用計(jì)算推理，2012年2月有29天，2月1日到3月2日共計(jì)31天，頭尾算1次經(jīng)過30天，（29+2-1）÷7=4（星期）……2（天），2月1日是星期三，余2則往后推2天，是星期五。這種方法會讓學(xué)生搞不清楚日期算頭算尾的原理，也許今天記住步驟了，明天可能又忘了。反觀一些循環(huán)現(xiàn)象的周期問題，學(xué)生并不覺得難，為什么關(guān)于日期的循環(huán)問題就屢屢出錯？這時教師就可借助圖表幫助學(xué)生直觀理解推理的含義。

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一變：從橫排到豎列的演變。常規(guī)循環(huán)問題通常是橫向排列的，從橫排到豎列循環(huán)出現(xiàn)的規(guī)律相同，表述形式有變化，都是以“星期三、星期四、星期五、星期六、星期日、星期一、星期二”為一個周期不斷重復(fù)出現(xiàn)（如圖2）。

圖2

二變：增加日期與星期幾相對應(yīng)（如圖3）。對于問題“如果1日是星期三，15日是星期幾？”，就可利用“日期按自然數(shù)遞進(jìn)排列但不具備循環(huán)規(guī)律，星期具備7天一循環(huán)變化”的規(guī)律，當(dāng)日期依附于7天一循環(huán)便同步產(chǎn)生了規(guī)律。根據(jù)這個規(guī)律來推算，15÷7=2（星期）……1（天），15日是第3個星期的第1天，即星期三。

圖3

三變：呈現(xiàn)生活中的月歷（如圖4）。對于問題“2012年2月1日是星期三，小明3月2日過生日，這一天是星期幾？”，觀察月歷，每個循環(huán)從星期三開始，按照“星期三、星期四、星期五、星期六、星期日、星期一、星期二”的規(guī)律循環(huán)，2012年2月有29天，2月1日到3月2日共計(jì)31天，把31天 放 入7天一組的循環(huán)中，列式（29+2）÷7=4（星期）……3（天），所以剩余3天是第五個循環(huán)的第三天，即星期五。

圖4

上述推理過程，均先借助圖表尋找“星期幾—星期幾”為一個7天的循環(huán)，再找出從頭至尾的日期一共多少天，放入循環(huán)中推算經(jīng)過n個循環(huán)余下幾天，余下天數(shù)在第n+1個循環(huán)中重新排列，余下幾天就排在第幾。只要學(xué)生心中有一張圖表，解決此類問題就不那么困難了。

三、圖“說”奇數(shù)偶數(shù)——由圖形表征奇偶數(shù)特征培養(yǎng)直覺思維

對于五年級下冊第二單元的“和的奇偶性有什么規(guī)律？如何證明？”問題，教材要求運(yùn)用舉例、借助幾何直觀的圖示、說理等方法解決，從而引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識兩數(shù)之和的奇偶性的規(guī)律。學(xué)生通常會選用舉例的方法，但是舉例不能窮盡，而用字母說理涉及高難度的字母化簡，因此借助直觀的圖示探究規(guī)律是比較合適的方法。

【教學(xué)片段】圖形表征奇偶數(shù)

“秒殺比眼力”第一組：1個小正方形表示1，快速判斷下面組合圖形中（如圖5）的小正方形個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)。

圖5

觀察發(fā)現(xiàn)，偶數(shù)個小正方形拼成的形狀是長方形或正方形，奇數(shù)個小正方形可以排成一行，排成兩行總會多出1個小正方形。

圖6

在這兩組“秒殺比眼力”題目中，學(xué)生體驗(yàn)到用什么樣的圖形可以表示奇偶數(shù)，以及如何用一個圖形表示任意一個偶數(shù)或奇數(shù)。

用圖形展現(xiàn)奇數(shù)與偶數(shù)的特征，充分將數(shù)與形結(jié)合起來培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維，學(xué)生獲得了簡約而不簡單的體驗(yàn)。

四、圖“說”“蝴蝶模型”——化繁為簡中提升數(shù)形關(guān)系的敏感度

五年級的多邊形面積的計(jì)算，涉及組合圖形面積和圖形拼組后的陰影面積計(jì)算。如圖7，正方形ABCD的邊長是8厘米，正方形GCEF的邊長是6厘米，求圖中陰影部分的面積。

圖7

學(xué)生的解答：

圖8-1的解答思路清晰：用大小兩個正方形面積之和減去三個三角形的面積，得出正確的結(jié)論。圖8-2的解答非常巧妙：連接AC得到梯形ACEG，以EG為底，陰影面積恰好等于三角形CEG的面積，也就是小正方形面積的一半。兩種不同的解法反映不同的思維層次，如何讓更多的學(xué)生掌握如圖8-2的解答方法？教師可以對學(xué)生進(jìn)行以下訓(xùn)練。

圖8-1

圖8-2

在圖9的梯形中，面積相等的三角形有哪幾組？學(xué)生喜歡稱三角形AOD與三角形BOC為一對蝴蝶的翅膀，即“蝴蝶模型”。通過圖形變式讓學(xué)生體會等底等高的三角形面積相等，并推斷出梯形中的“蝴蝶模型”左右兩邊的面積相等。將數(shù)與形結(jié)合建構(gòu)模型，疑難問題變得簡單，學(xué)生獲得了成功的體驗(yàn)。

圖9

綜上，教師要在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的“圖感”——在數(shù)學(xué)情境中“以圖表意、以圖表數(shù)、以數(shù)釋圖”的感知與理解能力，通過建立“圖感”助力學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)與形的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)習(xí)深度發(fā)生。