小學中高年級數學教學中滲透數形結合思想的應用分析

雷美妹

（福建省三明市尤溪縣東城中心小學，福建 三明 365100）

數學是研究數量關系和空間形式的科學。“數”是側重于數量關系，是符號的表達，而“形”則是側重于空間形式，是直觀的表達，二者各有各的特點、各有各的優勢。“數”和“形”不是獨立存在的，充分利用兩者之間的內在關聯，以“數”研究“形”，以“形”表示“數”，就形成了數形結合。我國著名數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休。”由此可見，數形結合思想在數學中的地位之重。

數形結合指的是數與形之間的一一對應關系，主要包含兩點內容，其一，以形助數。它對于代數知識的建構，主要是通過圖形直觀化地呈現代數知識，促進學生對知識的理解。其二，由數解形。通過圖形找尋代數關系，把復雜抽象的問題以形象直觀的形式具體地表達出來，把復雜問題簡單化、抽象問題具體化，以最優化的方式解決圖形問題，并能深入理解所學知識，使學生的邏輯思維能力和空間想象能力得以提升。

一、數形結合思想的應用在小學中高年級數學教學中的價值

（一）有助于將抽象的概念簡單化

數學是一門邏輯性很強的學科，無論是對一些知識點概念的理解還是在解題過程中對數量關系的分析，都對學生的思維能力提出了較高的要求。小學階段，學生正處于從具體形象思維到抽象思維的過渡階段，特別是中高年級教材中往往會出現一些學生難以理解的知識點。如果教師沒有使用一定的教學方法，僅僅靠讓學生機械地記憶和背誦，則無法實現對知識點的深刻理解。例如，人教版三年級上冊第五單元《倍的認識》的學習，學生已有的學習經驗是通過作差進行兩個數量關系的大小比較，這種比較方式會對本單元的學習產生負遷移，影響學習的效果。而學生在生活中雖然或多或少聽說過一些用來描述兩者之間數量關系的情景，但由于缺乏相關生活經驗，往往不能理解其中確切的含義。所以在教學過程中，教師可以利用數形結合思想，運用合理有序的圖形排列，從對兩個數的數量關系進行比較引入。如果學生的回答是基于多少的比較，則教師可以結合圖形引導學生認真觀察它們之間數量關系的規律，就是一個數里面包含了幾個的另一個數，由此引入“倍”的概念；接著運用圖形的增加與減少，在標準量不變的情況下，變化被比較的量；被比較的量不變的情況下，改變標準量，通過這兩種情形的對比，讓學生深刻理解“倍”的概念，突破教學中的重難點。

（二）有助于幫助學生理清數量之間的關系

研究表明，小學階段學生對數量關系的理解與分析，仍然要建立在充足、具體、直觀材料的基礎之上。而從中年級開始，在教材和習題之中，文字、表格等描述方式逐漸取代了低年級的圖形表述，這對學生的學習來說具有一定的挑戰，如果學生沒有學會一定的方法，則很難理清其中的數量關系。例如，在“已知一個量是另一個量的幾倍，求這個量”這節課當中，有這樣的一個變式題：花店有紅花15 種，是黃花種類的3 倍，花店有黃花多少種？很多學生所列的算式都是15×3=45（種），怎樣讓學生理清這個數量關系呢？這時候教師就可以通過引導學生找出標準量，利用數形結合思想，用線段圖畫出紅花與標準量黃花之間的關系，學生就能輕而易舉地知道黃花的種類了。而這一思想在人教版三年級上冊第六單元“用乘除法解決問題”中得到了延續，教師可以先引導學生讀懂題目，找出不變的量，接著通過畫線段圖理清題意。在學習的最初階段，學生們會感覺到畫圖很困難，但熟練以后，他們會發現這種方式對解題有著非常大的幫助，能讓他們體會到數學學習的快樂，影響到他們對數學學習的熱情。

（三）有助于學生找尋數學規律

“雙減”政策的出臺，對教師的教學水平提出了更高的要求，數學教師已不再可能用題海戰術加深學生對知識的理解，最直接的方式是通過提高課堂的效率實現。這就需要教師花更多的時間研究數學知識之間的內在聯系以及對題型深入地剖析，通過一個題目的講解、變換，讓學生找出這一類型題目的解題規律，從而達到舉一反三的目的。這樣的教學方式不僅能激發學生的學習興趣，更能訓練和提升學生的思維能力。例如，在“求組合圖形面積”的這部分知識里，如圖1 的題型是學生較難掌握的：已知圖1 中正方形的面積是10 平方厘米，求圓的面積。而如果學生能利用圖形找到解決這個問題的關鍵：圓的半徑與正方形的邊長相等，要求圓的面積，只要把圓的半徑的平方看成一個整體，問題就能迎刃而解了，不必糾結求不出半徑的長度。只要找到了這個規律，解決如圖2：已知陰影部分的面積，求圓環的面積；圖3：已知三角形的面積，求圓的面積這類問題自然不在話下。

圖1

圖2

圖3

（四）有助于喚起學生對數學美的追求

提起數學，很多人腦海里就會出現枯燥乏味一詞，很難把其與“美”聯系起來，這主要是受其高度抽象性、嚴密邏輯性的影響。其實很多人不知道，數學正是源于建筑中對美的追求而產生，以一種獨特的方式詮釋美學。早在2000 年前的古希臘哲學家、數學家畢達哥拉斯就被整數的和諧美、圓和球體的對稱美傾倒，稱宇宙是數的和諧體系。利用數形結合，可以讓學生更形象、更生動地獲得數學之美的體驗，從而培養和提升學生的審美情趣和能力。而在教學過程中，教師要充分發掘和傳遞數學之美，讓學生在美的感受中提升追求真理的動力，激發學生數學學習的熱情，這也是身為數學教育工作者的光榮使命。

二、數形結合在小學中高年級中的運用策略

小學中高年級之后，隨著概念、公式和定理的增多，一些知識點的抽象性增強，對學生來說，學習數學的難度越來越大，如果在方法上沒有得到及時正確的引導，就可能導致對數學學科的厭倦，留下難以彌補的遺憾。而數形結合思想的應用可以將抽象的問題直觀化，通過圖形的方式將復雜的問題簡單化，使學生的思路清晰明了，從而促進學生核心素養的發展。但在實際教學中，筆者卻發現學生對“數形結合”的思想沒有內化到平常的數學學習中，遇到難題或較抽象的題時，部分學生選擇的是放棄或等待，等待教師的講解，這對于提高學生的數學素養是極其不利的。那么在平時的教學中，“數形結合”思想在小學中高年級數學教學中有哪些應用策略呢？筆者認為可以從以下幾方面入手。

（一）潛移默化滲透“數形結合”思想，提高數學課堂教學效率

學生運用“數形結合”的意識不夠，和平常教師的教學方法有很大的關系，有可能是教師對數形結合思想的認識不到位。在教學過程中，有些教師將解題過程和數形結合思想簡單地進行結合；而有些教師不到“萬不得已”，不會使用數形結合的思想。事實上，除了解題過程，數學概念的界定、定理、公式等的學習，都隱含著數形結合的思想。以人教版小學六年級《圓柱的體積》一課為例。教師利用數形結合思想化抽象為直觀，就能讓學生更深刻地理解圓柱體積的概念和計算方法。首先，教師組織學生復習已經學過的立體圖形的體積公式（長方體、正方體）以及公式的推導過程后拋出問題：“怎樣求圓柱的體積？你認為可以從哪些方面進行研究呢？”引發學生的思考。接著再引導學生觀察圓柱的底面特征，引導學生回憶圓的面積公式的推導過程，自然而然地把圓柱的體積和長方體、正方體的體積聯系在一起。學生們已經掌握了它們的體積可以統一用底面積乘高來計算，同時，他們也學會了“轉化”數學思想的運用，會嘗試把未知的知識轉化為已知。這時候教師再運用“數形結合”的思想，利用學具讓學生動手操作，經歷圓柱體積的推導過程，加深學生對新知的理解，將“化圓為方，化曲為直”的數學思想植入學生的思維，為學生建立圓柱體初步的空間概念，從而提高學生知識遷移的能力。所以教師在日常教學工作中可以有意識地融入數形結合思想，讓學生在直觀的圖形、圖像中經歷知識的形成過程，可以增強學生對抽象的數學理論知識的理解和記憶，從而提升課堂的教學效率，進一步激發學生學習數學知識的積極性，使得學習數學的過程變得生動有趣。

（二）積極倡導以形助數思想，提升學生對計算方法的理解

以形助數，就是通過形態的方式幫助學生了解數量之間的關系，將代數中的數量關系用形態的方式表征出來。運用以形助數的方法，可以簡潔直觀地把抽象的概念和定理以學生易于理解的方式表示出來，讓學生感受到，數學知識是可以通過不同的形式直觀形象地表現出來的，而不是死背算理和公式，艱澀難懂的甚至一些記不住的算理和公式還能通過幾何圖形的方式推導出來，從而啟發學生了解數學問題的本質與核心，以此促進學生數學思維的形成。

現在的數學計算教學非常注重學生對算理的理解和掌握，以往那種把算法直接告訴學生，讓學生機械重復地訓練就能提高成績的教學方法不適用了。所以在教學過程中讓學生運用已有的知識和經驗，以形助數，自主地探索計算方法，并將數運算的計算過程和含義聯系起來，能加深學生對數的運算方法的理解。例如，在教學《分數乘除法》的計算時，要讓學生理解分數乘除法的算理，知道為什么要把分子相乘的積作為積的分子、分母相乘的分母作為積的分母；除以一個不等于零的數，等于乘這個數的倒數。教師就很有必要運用圖形直觀地把算理推導過程展示出來，把分數乘除法的算理講明講透。最后，還可以運用圖形對以上知識進行鞏固：根據圖4 寫一個分數乘法算式和一個分數除法算式。通過以數轉形，形再轉數，將分數乘除的計算簡單化，生動直觀，易于掌握。

圖4

（三）引導學生靈活運用“數形結合”思想，提高解題能力

小學高年級數學中，應用題型增多、難度加大，對學生的數學素養提出了更高的要求。在應用題的解題過程中，經常會有學生在讀題時出現不理解題意、不知道如何運用已知條件得到問題答案的情況。這時如果學生能運用數形結合思想，把題目中的數學語言通過圖形簡潔明了地表達出來，則能幫助學生更快、更準確地把握問題的關鍵，理清思路，促進問題的解決，同時也能增強學生學好數學的信心。例如，小學六年級教學中常見的行程問題：快、慢兩車從AB 兩地同時出發，相向而行，4 小時后相遇，相遇時距離AB兩地的中點為60 千米，此時慢、快兩車行駛的路程之比為2:3。AB 之間相距多少千米？對教師來說，這類的題型難度并不是很大，也是很常見的題型，如果學生能運用數形結合畫出圖5 線段，就能知道快車行駛的路程比總路程的1/2 多60km，而慢車行駛的是總路程的2/5，這樣就能輕易找到60km 對應的率，利用量率對應輕易列出算式：60÷（1/2-2/5）。如果這道題用方程來解，解題思路是一致的。但如果學生沒有正確掌握“數形結合”的思想，不運用圖形分析問題，則很難正確找出數量關系，學生解題的正確率則會大打折扣。所以教師要引導學生在遇到類似的問題一籌莫展之時，靈活運用畫圖等方式直觀形象地分析問題，能很大程度地提高解題的準確性。

圖5

（四）培養學生建立“數形結合”思維，提升空間想象能力

空間想象能力在幾何學習的過程中有著重要的作用，數形結合思想的應用，不僅能夠幫助學生理解圖形公式的計算原理，對學生更直觀地了解幾何規律也有很大的促進作用，它能幫助學生形象思維與抽象思維之間的轉換，提高學生的想象能力和數學思維能力。小學階段的空間觀念主要定位在空間表象層次上，小學高年級學生正處于具體形象思維到抽象概括思維的過渡階段，而高年級的教學內容又要求學生有較高的抽象概括能力，在幾何教學中利用數形結合的思想，有利于提升學生的空間觀念，讓學生能在直觀與抽象之間輕松轉換。

三、結語

綜上所述，小學中高年級數學中數形結合思想的運用，不僅能幫助學生更好地理解、掌握抽象的數學概念，更深刻地理解算理，還能引導學生在遇到難題或較抽象的幾何題時，學會用畫圖方式直觀地表達題意，提高解題能力，發展空間想象能力，提升學生的數學核心素養。