裝備保障體系關鍵節點分析

王 琮，沈會良，夏永祥，白光晗，方依寧

（1.浙江大學信息與電子工程學院，浙江 杭州 310063；2.杭州電子科技大學通信工程學院，浙江 杭州 310018；3.國防科技大學智能科學學院，湖南 長沙 410073）

0 引 言

隨著信息技術的不斷發展，現代戰爭已逐漸向著信息化作戰的方向演變，各種高新技術武器裝備日益成為制約戰斗力發展的關鍵。要充分發揮現有裝備的作戰能力，就要建立起與之相配套的裝備保障體系，實現精確保障。裝備保障體系是指在動態不確定環境中，由具有一定保障功能的保障實體，按照一定的保障原則，通過多種交通方式下的交通樞紐之間的互聯互通，綜合集成的以完成特定保障任務的有機整體。近年來，復雜網絡理論不斷發展，鑒于裝備保障體系在體系結構、組成要素、連接關系等方面與復雜網絡理論有著相當的匹配性，將復雜網絡的研究方法應用于研究裝備保障體系中，對裝備保障體系的建設和發展有著重要意義。

裝備保障體系在肩負重要保障任務的同時，也逐漸成為對方打擊的重點目標。尤其是面對信息化戰場，對方對己方后勤保障網絡的精確打擊，使得裝備保障網絡的抗毀性受到越來越大的考驗。研究表明，現實中大部分網絡都具有無標度的特性，這些網絡對隨機攻擊具有較強的承受能力，但只需要對一些關鍵節點進行攻擊，那么網絡將會一觸即潰。國外有關研究表明，摧毀一個系統，只需要使這個系統5%到10%的關鍵節點同時失效就能夠達到目的。美國在2003年發生的北美停電事故，便是部分“關鍵節點”故障造成的。因此，研究裝備保障體系的關鍵節點識別技術，尋找薄弱環節，從而為進一步優化裝備體系結構、進行作戰部署打好基礎，對未來戰爭而言，有著重要的意義。

在復雜網絡領域中，過去經常使用節點中心性指標來對節點的重要性進行衡量，從而識別關鍵節點。常用的有節點的度中心性、介數中心性、接近中心性等。然而，這類指標在用于識別關鍵節點時，都存在一定的局限性。度中心性是一種基于節點局部特征的指標，缺少全局化的視角。介數中心性及接近中心性則是基于全局特征，根據節點間的最短距離路徑衡量節點重要性。然而，在一些現實網絡中，節點間并非沿最短距離路徑傳輸。這類傳統指標僅依照網絡拓撲結構衡量節點的重要性，忽略了實際應用需求等因素可能造成的影響。因此，這類指標在實際使用時識別關鍵節點的能力有限，現在常被當作參照指標來評估其他節點重要性指標的性能。

為了進一步提高識別關鍵節點的準確性，許多學者在傳統方法的基礎上，通過結合多個中心性指標或是對中心性指標加以改進，提出了多種新的節點重要性指標?？紤]到節點重要性不僅與節點自身的度中心性相關，還與節點鄰域范圍內節點的中心性有關。文獻［11］針對度中心性指標的局限性進行改進，充分考慮每個節點的四階鄰居中包含的信息，稱為Local Rank算法。同樣考慮鄰居節點的影響，文獻［12］使用結合節點自身的度中心性及周圍鄰居節點平均度的方法，對關鍵節點進行識別，從而得到優于傳統指標的結果。文獻［13］則在考慮鄰域范圍內的連邊數對節點重要性影響的基礎上，進一步考慮節點聚類系數的影響，并得出在一般情況下，鄰居節點數量相同時，節點的聚類系數越大，其影響越小。除了考慮節點的鄰域性造成的影響之外，節點間的傳輸路徑也是影響節點重要性的關鍵所在。文獻［14］研究了城市交通系統中流量、節點中心性及節點關鍵性的關系，得出了介數中心性指標與系統彈性間的關聯性。文獻［15］則對根據全局路由得到的節點介數中心性指標進行了改進，將統計范圍由全局改為節點所在的局域，并進一步與接近中心性指標相結合，綜合評估節點的重要性。另外，有文獻綜合考慮多種因素影響，結合多種指標進行多屬性排序。例如，文獻［20］綜合了節點的度中心性、介數中心性及接近中心性3種指標作為最終評估節點重要性的指標，表明節點傳輸的信息量越多、傳輸效率越高以及信息控制能力越強，節點越重要。文獻［21］綜合考慮了節點的局部與全局信息，提出節點的度值越大（對應局部連接能力越強），與周圍節點間的距離越短且權重越大（對應全局傳輸能力越強），則節點的影響力越大。文獻［22］則指出了結合多個指標量化節點影響力這一策略的研究價值。為了綜合評價節點重要性，一種基于與理想目標相似性偏好排序的多屬性排序方法也已被多種研究采用，用于關鍵節點的識別。除了提出節點重要性指標角度外，部分研究還采用智能算法對關鍵節點進行識別。

本文在上述復雜網絡中關鍵節點識別方法的基礎上，提出一種新的用于裝備保障體系中關鍵節點識別的方法。從保障節點的局部連接能力、全局運輸能力周圍保障節點的影響等多個角度綜合評估保障節點的重要性。對于裝備保障體系而言，在維持自身正常運行的狀態下，還應支撐相應的任務需求，不同的任務需求可能對關鍵節點的識別造成影響。裝備保障體系在完成保障任務時，面對的任務需求主要包括減少時間成本和降低經濟成本兩方面。不同場景下兩種任務需求的優先級不同，使得保障物資的運輸線路規劃受到影響，進而導致保障網絡中節點的重要性發生變化。因此，本文通過定義一種面向任務需求的路由規劃方法，衡量不同任務需求對保障節點重要性造成的影響，并綜合路由規劃結果，提出一種新的節點重要性指標。通過與另外6種常用的節點重要性評價指標作比較，模擬多種不同的保障任務需求，評估各種指標在識別多個及單個關鍵保障節點上的性能。

本篇文章內容安排如下：引言介紹了研究背景和現狀，針對不足之處提出了本文的改進方法；模型描述部分主要介紹了本文使用到的各類模型，包括用于模擬裝備保障體系的網絡模型、運輸保障物資的路由模型、連邊容量及擁塞模型；節點重要性指標部分介紹并定義了本文使用到的節點重要性指標，包括6種對照指標和本文提出的面向任務需求的識別關鍵節點的指標；實驗仿真及分析部分提出了兩種評估節點重要性指標性能的方法，并進一步介紹了使用該方法進行實驗仿真得到的結果及對應的分析；最后總結部分對全文內容進行了總結。

1 模型描述

1.1 裝備保障體系模型

裝備保障體系通過多種交通方式下交通樞紐之間的互聯互通執行保障任務。裝備保障任務的復雜多樣決定體系的結構復雜多樣，因此裝備保障體系建模需要進行層次劃分，以表示不同層次之間的交互關系。本文選取航空和鐵路兩種主要的運輸方式，使用由航空網和鐵路網組成的雙層耦合網絡模型模擬裝備保障體系。模型中的節點表示具備對應交通模式下的保障站點（機場或火車站）的城市，層內連邊表示所在層對應的交通模式下的保障運輸線路（航線或鐵路）。對于同時具備多種保障站點的城市，其在上下兩層網絡中都有位于同一位置的對應節點存在，位于不同層但表示同一城市的節點則通過層間連邊相耦合。

考慮到實際航空運輸網絡與鐵路運輸網絡在站點數量及拓撲結構上的差異，分別為兩層網絡定義不同的節點數量及連邊規則。上層航空網由個節點構成。鑒于Barabasi和Albert提出的無標度網絡模型的無標度特性已在許多現實異質網絡中被證實，因此上層將按照無標度網絡模型的連邊規則相連。從具有個節點的連通網絡出發，每個時間步長內引入一個新的節點并與個已存在的節點相連。新加入節點與一個已存在的節點之間的連接概率（）滿足：

式中：k 表示節點的度，即與節點直接相連的節點數目。直至網絡規模增長至個節點。

下層鐵路網由個節點構成。在建立鐵路網模型時，考慮到在實際中，只有相距較近的站點之間才會建立鐵路直接相連。距離較遠的站點之間需要通過一系列中間節點間接連通。上述特征與空間網絡模型的特征較為符合，因此使用隨機幾何圖這一空間網絡模型來進行模擬。首先定義網絡中所有節點的最長連邊距離和最多連邊數量，接著對每個節點，隨機選擇與其相距范圍內的節點相連，直接相連的節點個數不超過節點的最多連邊數量。

在實際中，由于飛機場常建立于運輸流量較大的城市，且具有飛機場的城市往往也配備有火車站。因此在建立裝備保障體系模型時，首先建立鐵路網模型，包含個節點，代表個配備有車站的城市。將個節點按照隨機幾何圖的規則建立完成后，對鐵路網中的所有節點按照度值大小排序，選取前個度值較大的節點（對應個城市），為其配備航空網中對應的節點。航空網絡中的個節點按照Barabási和Albert提出的無標度網絡的規則相連。最后，位于不同層但表示同一城市的節點間將通過層間連邊相連。通過層間連邊可以將保障物資由其中一層轉運至另一層網絡進行運輸，即航空和鐵路之間的轉運。這樣就建立起了一個用于模擬裝備保障體系的無向雙層耦合網絡，其中上層航空網絡節點稀疏，下層鐵路網絡節點致密。上層網絡中的每個節點都和下層網絡中表示同一城市的節點相耦合。

裝備保障體系通過系統中的交通線路運輸保障物資時，需要付出相應的運輸時間、運輸費用等代價。通過為網絡中的連邊定義權重，衡量在連邊上運輸需要付出的成本。首先以節點間歐式距離作為連邊的長度，即節點和節點之間的連邊長度d 為

式中：（x ，y ）和（x ，y ）分別為節點和節點的坐標。為了保持統一性，上下兩層網絡使用同一坐標系。

網絡中的每條邊定義運輸時間成本和運輸經濟成本兩種權值，分別表示在該連邊上運輸所需的時間和費用。權值的大小由邊的實際長度、所在層的運輸速度及價格決定。邊的長度除以對應層的運輸速度得到的是所需的時間成本，即層（＝1，2）上節點和節點之間連邊對應的運輸時間成本為

類似地，可以用邊的長度乘以對應層的單位距離運輸價格得到運輸的經濟成本，即層（＝1，2）上節點和節點之間連邊對應的運輸經濟成本為

由于不同層的運輸速度以及單位運輸價格不同，因此即使是同一對節點間的連邊，在不同層中運輸所對應的運輸成本也不同。另外，由于本文重點關注保障物資在兩層網絡中的運輸，因此忽略轉換交通模式帶來的的轉運成本，即假設層間連邊上的權重默認為零。

最終建立完成的用于模擬裝備保障體系的無向加權雙層耦合網絡當中，上層航空運輸網絡節點稀疏、運輸速度快但運輸價格高。下層鐵路運輸網絡節點致密、運輸速度慢但運輸價格低。網絡模型的局部示意圖如圖1所示。

圖1 雙層耦合網絡局部示意圖Fig.1 Two-layer coupled network local schematic

1.2 保障運輸路由模型

裝備保障體系模型建成后，進一步模擬保障物資的運輸過程?？紤]實際應用中減少保障時間和降低保障費用的任務需求，本文將網絡中的每條連邊定義為在其上運輸的總成本，由運輸時間成本和經濟成本組成。規定保障物資沿著總成本最低的路徑進行運輸。在不同應用場景下，兩種任務需求的優先級不同，對應著兩種成本在總成本中所占比例的不同。當減少保障時間的需求更優先時，路由應沿著運輸時間成本更低的路線進行；當降低保障費用的需求更優先時，路由應沿著運輸經濟成本更低的路線進行。因此，節點間的保障運輸線路規劃應隨著任務需求優先級的變化而動態改變。

為了反映任務需求的影響，本文提出一種面向任務需求的運輸路由規則。

首先定義參數表示經濟成本在總成本中所占的比例，則時間成本占總成本的比例為（1-）。層（＝1，2）上節點和節點之間連邊對應的總運輸成本為

在確定了參數的取值后，節點間按照總運輸成本最低原則進行路由。任意一對節點和節點之間沿總運輸成本最低的線路可表示為

該線路上的總運輸成本滿足：

基于該路由規則，節點間進行保障物資運輸時可能需要通過層間連邊轉運，從而使用到上下兩層網絡上的保障連邊。參數取值越大則表明經濟成本占總運輸成本的比例越大，對應著降低運輸費用的需求優先級更高。此時為了降低總運輸成本，路由時會更傾向于選擇運輸價格更低的線路。

1.3 保障連邊容量模型

本文將裝備保障體系中的保障任務抽象為保障物資在上文所構建的保障網絡中節點間的輸運過程?？紤]在單位時間內保障網絡中每個節點對之間都會通過網絡按照第1.2節定義的路由規則將保障物資從供應節點輸運到需求節點，這樣網絡中的每條連邊上都會流過一定量的保障物資。將正常狀態下保障網絡中流過某條連邊的保障物資的多少定義為該邊上的初始負荷（0），并依照Motter-Lai模型定義每條連邊上的容量，作為該邊上能流過的最大保障物資的度量正比于其初始運輸負載：

式中：稱為冗余系數。至此，可以得到網絡中所有連邊上的容量，該容量限制了能在連邊上運輸的最大負載量，一旦運輸的物資量超過了規定的容量，則連邊上會發生擁塞，進而影響到整個體系的保障運輸能力。

1.4 裝備保障擁塞模型

不失一般性，假設在執行保障運輸任務時，待運輸物資均勻地分配到每對節點，并沿著最低成本路徑進行運輸。當待運輸保障物資總量的值較低時，按照任務需求進行路由規劃后，分配到每條連邊上運輸的負載量均小于連邊容量，保障運輸任務正常執行。隨著的不斷增大，各條連邊上運輸的負載量也在不斷增大。當某條連邊上分配的負載量超過其容量時，則待運輸物資會在該連邊上不斷累積，最終導致系統陷入擁塞狀態。

為了能更好地描述這一過程，定義序參量：

式中：（）表示在時間步時刻系統中的總流量；〈·〉表示對于時間窗口Δ求平均。在自由流狀態下，每時刻新加入系統的負載與到達目的地后從系統中移除的負載保持平衡，此時序參量的值為零。但當系統陷入擁塞狀態時，每時刻新加入的負載與從系統中移除的負載不再平衡，流量在系統中不斷累積，導致序參量的值大于零。系統由自由態轉變到擁塞態時，系統中運輸的保障物資總量記為R 。R表示系統在沒有出現擁塞情況下能夠承載的最大負載量，又稱為系統的承載量。顯然系統承載量的值越大，裝備保障體系在沒有擁塞狀態下能夠運輸的物資量越多，意味著系統的運輸能力越強。

2 節點重要性指標

裝備保障體系的主要任務就是將保障物資通過各種交通方式輸運到目的地。裝備保障體系肩負著重要的物資保障任務，也是對方攻擊的重要目標。當網絡中有某個節點因打擊而失效后，節點及其連邊將無法再承擔物資運輸的保障任務。此時，原本通過該節點進行運輸的保障物資需要重新選擇其他線路。由于每條線路上的承載量有限，重新規劃后的運輸線路分配結果可能會增大其他連邊上的負載。進而隨著系統運輸的保障物資總量不斷增加，連邊更容易出現擁塞，最終使得整個系統的承載量R 下降。節點的失效通過影響系統的承載量進而影響了裝備保障體系的保障能力，影響的嚴重程度反映出了節點的關鍵程度?；谏鲜龇治?，本文將系統中的關鍵節點定義為其失效后會導致系統承載量下降最多的節點。

因此，為了準確識別出裝備保障體系中的關鍵保障節點，需要定義節點重要性指標進行定量分析。本節將介紹本文使用到的幾種節點重要性指標，并提出一種新的綜合性指標用于識別關鍵節點。

2.1 復雜網絡節點重要性指標

在進行關鍵節點識別時，復雜網絡科學多采用基于網絡拓撲結構的方法。本文選取了3種常用的節點重要性指標作為后續實驗中的比較對象。

2.1.1 度中心性

保障節點的度中心性DC（）定義為在節點所在網絡層內與節點直接相連的鄰居節點的數目。度中心性指標反映了一個節點對系統中其他節點的直接影響力。節點的度中心性值越大，能直接影響到的鄰居就越多，節點就越重要。

2.1.2 介數中心性

節點的介數中心性反映了節點對沿最短路徑傳輸的流量的控制力，節點的介數中心性BC（）定義為

式中：表示網絡中所有節點的集合；表示節點的總數。σ表示節點到節點的所有最短路徑的數目，σ（）表示從節點到節點的所有最短路徑中經過節點的最短路徑數目。

節點的介數中心性值越大，表明經過節點的最短路徑數目越多，因此在網絡中越重要。在裝備保障體系中，介數值較高的保障節點往往是連接供應節點與需求節點之間的紐帶節點，具有較重要的保障作用。在雙層耦合網絡中，節點間進行最短路徑路由時沿上下兩層網絡進行，通過層間連邊實現跨層路由。同時，為了反映網絡拓撲結構對節點重要性的影響，節點間的最短路徑定義為沿兩層網絡傳輸時跳數最少的路徑。

2.1.3 接近中心性

節點的接近中心性CC（）反映了節點通過網絡對其他節點施加影響的能力，具體定義為

式中：d 表示節點到節點的最短距離。節點的接近中心性值越大，表明節點越位于網絡的中心，因此在網絡中越重要。

2.2 基于任務需求的節點重要性指標

上述3種復雜網絡節點重要性指標，僅考慮了網絡拓撲結構對節點重要性的影響。而在不同的保障任務中，任務需求會對系統的路由規劃產生影響，進而將沿著不同的運輸線路執行物資運輸任務。因此，在不同的任務需求下，節點的重要性也會發生變化，而上述基于網絡拓撲結構的節點重要性指標無法體現這種變化。

在本文使用的裝備保障體系模型中，隨著參數取不同的值，每條連邊上的經濟成本和時間成本在總運輸成本中所占的比例不同，進而每條連邊上總運輸成本的大小會發生變化。為了使總運輸成本最低，不同取值情況下的運輸線路會發生改變，導致關鍵節點也會發生變化。因此，參數的變化即反映出了任務需求對系統運輸以及節點重要性的影響。由于在復雜網絡中，節點的介數中心性和接近中心性指標大小受到節點間最短路徑的影響，因此考慮對指標進行改進，進一步考慮任務需求的影響，按照不同參數值下得到的最低成本路徑規劃結果重新計算節點的中心性值。

改進后的介數中心性BC′和接近中心性CC′的計算方法基本與原來的指標保持一致。節點改進后的介數中心性BC′（）定義為

改進后的接近中心性CC′（）定義為

不同的是，在結合了任務需求后，前者由統計經過節點的最短路徑條數變為了統計最低成本路徑條數；后者在統計節點到其他節點的最短距離時，同樣改為按照最低成本路徑下的距離進行計算。兩種指標均是由于節點間路由的變化導致指標的大小發生變化。傳統的BC和CC二者都屬于靜態指標，網絡模型建立完成后不會再發生改變；而改進后的介數中心性BC′和接近中心性CC′的值會隨著參數的變化而變化，對應著在不同任務需求下節點的重要性也會發生改變。

2.3 節點重要性綜合評估指標

為了更好地識別出裝備保障體系中的關鍵保障節點，需要綜合考慮節點的拓撲因素以及節點的角色功能信息，從局域和全局等多個維度評估節點重要性，并提出一種綜合能效節點重要性評估指標。

在局域范圍內評估節點重要性時，節點與周圍鄰居節點間的連邊越多，相連的鄰居節點越重要，則該節點的連接能力越強，在保障運輸中發揮的作用越大。因此，本文選擇使用節點所在網絡層中的一階鄰居節點度值之和DC′這一指標來描述其連接能力：

在全局范圍內評估節點重要性時，通過節點進行保障運輸的路徑越多則該節點的運輸能力越強。使用第2.2節中定義的由路由改進的介數中心性BC′指標衡量全局下的節點重要性。該指標一方面受到系統靜態拓撲結構的影響，另一方面受到實際運輸中的路由選擇的影響。節點改進后的介數中心性BC′的值越大，則全局范圍內通過該節點運輸的低成本路徑越多，節點在保障運輸過程中發揮著越重要的作用。

上述DC′指標從局域范圍出發，以節點及其相鄰節點的連接能力評估節點重要性；BC′指標從全局范圍出發，以不同任務需求下節點的運輸能力評估節點重要性。綜合上述兩種指標，提出一種新的衡量節點重要性的指標，考慮鄰居度及介數的綜合性（neighbor degree＆betweeness centrality，NDBC）指標如下：

將每個節點改進后的介數中心性BC′的值和改進后的度中心性DC′的值歸一化后一一相乘，得到每個節點的重要性指標NDBC的值。

作為對照，本文還使用平均鄰居節點度k 指標代替DC′指標衡量節點局部重要性，由此得到考慮平均鄰居節點度及介數的綜合性指標（neighbor average degree＆betweeness centrality，NADBC），即

該指標將用于和本文提出的NDBC指標進行對照，評估NDBC指標的性能。

3 實驗仿真及分析

3.1 評估節點重要性指標的方法

本文采用下述兩種方法，從不同的角度比較和展示各種節點重要性指標的性能。

3.1.1 方法一

3.1.2 方法二

通過對參數取多個不同值，模擬任務需求的變化對節點間運輸線路規劃以及節點重要性的影響，在此情況下統計不同指標識別出最關鍵節點的概率（最關鍵節點可以通過窮舉法遍歷所有節點找出）。參數值的不同，代表時間成本和經濟成本在總成本中比例的不同，對應著不同的任務需求。這樣，一種節點重要性指標識別出最關鍵節點的概率值越高，則表明該指標能在多種任務需求下保持較好的性能。

3.2 實驗仿真參數設定

在本文中，規定裝備保障體系中上層航空網絡由200個保障節點構成（＝200），下層鐵路網絡由500個保障節點構成（＝500）。上層網絡中的每個節點都與下層網絡中代表同一城市的節點耦合。參照現實中飛機與高鐵間的速度比，上層網絡的傳輸速度是下層網絡的3倍，即＝3。為了簡化計算，取＝1／9，則＝3＝1／3。同樣，考慮到現實中兩種交通模式的運輸價格，航空網絡和鐵路網絡之間的運輸價格比（／）設置為5∶1。實驗仿真中，設定下層網絡單位距離的運輸價格＝1，則上層網絡的單位距離運輸價格＝5＝5。網絡中的每條連邊設置相同的冗余量＝1，即每條連邊的容量都等于其初始負載量的兩倍。

3.3 實驗結果及分析

首先使用第3.1.1節的方法一比較本文提出的節點重要性綜合評估指標NDBC與其他6種對照指標在識別多個關鍵節點上的性能表現?？紤]到在實際保障運輸中，面對不同的任務需求，經濟成本與時間成本各自的比重會不同，即參數的值會發生變化。而參數值的變化會影響節點間運輸線路規劃，進而對節點重要性造成影響。為了展示出在不同任務需求下的指標識別關鍵節點的性能，圖2中選取了參數分別為0、0.5和1時的仿真結果。

圖2 各種節點重要性指標識別的前1%～10%關鍵節點的性能Fig.2 Performance of the top 1%-10%critical nodes identified by the node importance indices

在圖2的每個分圖中，7條曲線對應7種節點重要性指標的性能。不難看出，NDBC曲線始終位于另外6種指標曲線的下方。表明由本文提出的節點重要性綜合指標NDBC識別出的關鍵節點對于裝備保障體系運輸能力的影響更大，即該指標更能有效地識別出容易導致系統嚴重毀傷的關鍵節點。

另外，通過對圖2中各分圖進行對比可以發現，隨著參數取不同的值，不同曲線的相對位置在發生變化。也就是說，當參數取不同值時7種節點重要度指標的相對性能的優劣會發生變化。對于僅考慮網絡拓撲的3種指標（節點的度、介數和接近中心性）而言，由于沒有考慮任務需求的影響，隨著參數的變化，曲線的相對位置會發生明顯變化。這表明3種指標在識別關鍵節點上的相對性能的優劣在不斷改變，在某一參數取值處能有效識別出關鍵節點的指標，可能并不適用于另一個取值的情況，即這3種重要度指標不能很好地適用于實際中的多種不同任務需求。例如，對比圖2中使用度中心性指標得到的曲線，在取值0時該指標的識別性能僅次于NDBC指標以及BC′指標，性能表現較好；在取值0.5時，識別關鍵節點的性能表現同樣較好，僅次于NDBC指標的識別性能；然而當取值為1時，該指標的識別性能則大幅下降，表現在圖2（c）中，對應曲線遠位于所有其他曲線的上方，即識別出的關鍵節點對系統承載量的影響是最小的。由此可見，度中心性指標在識別關鍵節點時性能不穩定，不能很好地滿足實際任務需求的變化。

對于另外4種考慮了任務需求（即值對指標有影響）的指標而言，當值變化時，幾種指標的相對性能優劣始終維持不變。從曲線的位置可以看出，NDBC指標始終是最優的，NADBC指標其次，BC′指標第3，CC′指標最差。作為參照的NADBC指標在＝0及＝1時，都表現出了與本文提出的NDBC指標類似的識別性能，均比其他的幾種指標的識別效果要好。然而，在參數＝0.5時，NADBC指標的識別效果則表現不如度中心性指標DC。由此可見，使用平均鄰居節點度衡量局部重要性得到的NADBC指標在識別關鍵節點時，隨著參數的變化，識別性能表現也不穩定。與其他節點重要性指標相比，本文提出的NDBC指標在值變化時識別性能始終維持最優，在識別關鍵節點時表現出了較強的穩定性。

上述實驗比較了不同節點重要性指標識別多個關鍵節點的性能。對于實際應用而言，能否識別出系統中最重要的單個節點往往具有重要的意義。對最關鍵的節點進行保護，能夠最大化地減輕系統毀傷，提高系統的抗毀性。按照第3.1節中的方法二，實驗模擬7種節點重要性指標在不同任務需求（即參數的值不同）下識別出最重要節點的概率。

圖3顯示了在多個不同取值下（即模擬多種任務需求），多次重復實驗得出的7種節點重要性指標識別出最關鍵節點的概率?？梢悦黠@看出，本文提出的節點重要性綜合指標NDBC在7種指標中成功識別出最關鍵節點的概率最高。這表明在參數取多個不同值，即對應實際中不同的任務需求下，NDBC指標識別出對裝備保障體系運輸能力影響最大的關鍵節點的概率更高，從而有利于更好地發現系統中的薄弱環節。

圖3 節點重要性指標識別出最關鍵節點的概率Fig.3 Probability of node importance metric identifying the most critical nodes

通過上述兩種實驗方法的檢驗，可以看出無論是在識別多個關鍵節點還是在識別單個最關鍵的節點方面，相對其他6種節點重要性指標而言，本文提出的NDBC指標的性能都是最優的。而且，隨著任務需求的變化，NDBC指標的性能始終維持相對最優，具有很好的穩定性。

4 總 結

裝備保障體系在戰爭中承擔著重要的保障物資運輸任務，一旦其中的關鍵節點由于遭到攻擊而失效，將對系統的運輸能力產生嚴重的影響。因此，本文研究了裝備保障體系中識別關鍵節點的方法，提出了一種新的綜合性節點重要性指標，對雙層耦合交通網絡中節點的重要性進行評估，從而識別出系統的關鍵節點。這種節點重要性指標綜合了節點自身及鄰居的影響、節點局部連接能力及全局運輸能力的影響、網絡拓撲結構及任務需求的影響等多個因素。通過與另外6種常用的節點重要性指標對比表明，無論是在識別多個關鍵節點，還是識別單個最關鍵的節點上，本文提出的NDBC指標性能都保持相對最優，并且在面對不同任務需求時均能保持良好的性能，具有很強的穩定性。