平面幾何中“mPA + nPB”型最小值問題解法探究

廣西桂林市國龍外國語學校（541000）唐文娟

平面幾何中“mPA+nPB”型最小值問題常見于中考數學單動點問題壓軸題中，它能夠與二次函數完美結合。此類問題涉及知識點多、綜合性強，需要學生具備扎實的學科知識基礎及一定的思維能力。

當m=n時，問題轉化為求“PA+PB”的最小值問題。如圖1，若點A、點B為定直線l同側的兩個定點，點P在定直線l上運動，此時“PA+PB”的最小值問題就是我們所熟知的“將軍飲馬”問題，其常規解法是作其中一定點A關于直線l的對稱點A′，如圖2，連接A′P，AA′，A′B，由軸對稱變換的性質得到PA=PA′，因為點A′、點B均為定點，根據“兩點之間線段最短”不難得到PA+PB=PA′+PB≥A′B，此時A′B與直線l的交點即為PA+PB取得最小值時點P的位置。其主要思路是利用軸對稱變換將線段AP轉移至直線l的另一側，使兩條線段位于直線l的異側，再運用線段公理“兩點之間線段最短”求解。

圖1

圖2

當m≠n時，問題變得更加復雜，如果再使用軸對稱變換的思路將難以求解，需要另辟蹊徑。下面筆者對當m≠n時，動點分別在定直線和定圓上運動的兩種情形加以探究。

一、動點在定直線上運動

【模型探究】

問題：如圖3，點A、點B為定點，點P為射線BC上的動點，PA+kPB（0 ＜k＜1）取最小值時，點P的位置應如何確定？

圖3

分析：本題的解題關鍵在于如何對kPB進行處理，并且將其與AP聯系起來。考慮到0 ＜k＜1，可利用三角函數進行轉化。

如圖4，在線段AB的一側作射線BD，使得sin ∠DBC=k，過點P作PH⊥BD于點H，構造Rt△PBH，則kPB=PBsin ∠DBC=PH，因 此PA+kPB的最小值問題轉化為PA+PH的最小值問題。過點A作AH′⊥BD于點H′，利用“兩點之間線段最短”和“垂線段最短”可知，PA+kPB=PA+PH≥AH′，此時AH′與BC的交點即為點P。

圖4

延伸：上述問題可以從條件和結論兩個方面進行弱化或變形。在條件方面，可將“射線BC”弱化為“直線BC”或符合要求的“線段BC”；在結論方面，可將“PA+kPB（0 ＜k＜1）”變 形為“mPA+nPB（m＞n）”，而解決“mPA+nPB”型最值問題，需要將“mPA+nPB”轉化為“PA+kPB”的形式，可以通過將PA的系數化為1實現這一過程，即mPA+

【模型應用】

［例1］如圖5，二次函數y=ax2+bx+c的圖像經過其對稱軸與x軸交于點D。若點P為y軸上的一個動點，連接PD，求的最小值。

圖5

圖6

［例2］拋物線y=x2-bx+c（b，c為常數，b＞0）經過點A(-1,0)，點M(m,0)是x軸正半軸上的動點。

（1）當b=2時，求拋物線的頂點坐標；

（2）點D(b,yD)在拋物線上，當AM=AD，m=5時，求b的值；

解析：（1）因為拋物線y=x2-bx+c經過點A(-1,0)，所 以1 +b+c=0，當b=2 時，c=-b-1=-3，則y=x2-2x-3=(x-1)2-4，因此拋物線的頂點坐標為（1，-4）。

圖7

評注：本題中AM為定直線x軸上的線段，位置不變，而QM位置發生改變，其解題關鍵之一就是將QM的系數化為1，從而確定AM的系數為進而在x軸異于AQ的一側構造45°角來處理系數最后借助“化斜為直”策略，即將斜線段QH′轉化為豎直線段PQ求解。

二、動點在定圓上運動

【模型探究】

問題：如圖8，⊙O的半徑為r，點A、點B為⊙O外的兩個定點，點P為⊙O上的動點，若k=，探究PA+kPB取最小值時，點P的位置應如何確定？

圖8

圖9

延伸：如果將上述問題一般化，求“mPA+nPB(m≠n)”型最值問題，則需要將“mPA+nPB”轉化為“PA+kPB”的形式，仍然可以通過將PA的系數化為1 實現這一過程，即mPA+nPB=

【模型應用】

［例3］如圖10，以原點O為圓心作半徑為4 的圓交x軸正半軸于點A，點M的坐標為（6，3），點N的坐標為（8，0），點P在圓上運動，求的最小值。

圖10

圖11

［例4］如圖12，拋物線y=與x軸交于點A(4,0)，與y軸交于點B，在x軸上有一動點P(m,0)(0 ＜m＜4)，過點P作x軸的垂線，交直線AB于點N，交拋物線于點M。

圖12

（1）若PN∶MN=1∶3，求m的值；

（2）在（1）的條件下，設動點P對應的位置是P1，將線段OP1繞點O逆時針旋轉得到OP2，旋轉角為α(0° ≤α≤90°)，連接AP2，BP2，求2AP2+3BP2的最小值。

圖13

不管動點P的運動軌跡是定直線還是定圓，解決“mPA+nPB（m≠n）”型最小值問題的關鍵在于對k倍線段長的處理。當點P在定直線上運動時，利用三角函數關系轉化含倍分的線段，使之變為定點與定直線間的連續折線，再利用“兩點之間線段最短”和“垂線段最短”求解；當點P在定圓上運動時，通過構造以半徑為共邊的母子型相似轉化比例線段，使線段的倍分和轉化為兩定點間的連續線段之和，最終通過“兩點之間線段最短”解決問題。

數學解題能力的提升從來都不是靠題海戰術，而是在做題后能夠有效整合同類型的題目，區分條件與結論的異同，歸類梳理，形成解決某一類問題的常規思路，進而得到基本模型，以達到“做一題，會一類，通一片”的效果，逐步提高解題速度，提升數學思維能力。