二次函數(shù)綜合題解題分析與備考策略
——以南寧市中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)題型為例

廣西南寧市上林縣西燕中學(xué)（530500）陸立明

近幾年南寧市中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)綜合題基本上是函數(shù)與幾何綜合，是以坐標(biāo)中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題為背景，融入了一次函數(shù)、二次函數(shù)、直角三角形、勾股定理、方程和相似等知識(shí)。此類題型題干表述簡(jiǎn)單，問(wèn)題設(shè)置有梯度，融入了動(dòng)態(tài)幾何的變和不變，要求學(xué)生動(dòng)中求靜、靜中思變。此類題型注重考查數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想和邏輯推理能力等。

一、常見(jiàn)題型

題型一：動(dòng)點(diǎn)與直角三角形存在性問(wèn)題、動(dòng)點(diǎn)與線段（和）最值問(wèn)題

［例1］（2017 年第26 題）如圖1，拋物線y=ax2-5ax+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A，C，E三點(diǎn)，其中A(-3,0)，C(0,4)，點(diǎn)B在x軸上，AC=BC，過(guò) 點(diǎn)B作BD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)M，N分別是線段CO，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且CM=BN，連接MN，AM，AN。

圖1

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)△CMN是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）試求出AM+AN的最小值。

分析：（1）因拋物線y=ax2-5ax+c方程含有2 個(gè)參數(shù)a，c，故需知兩點(diǎn)坐標(biāo)A(-3,0)，C(0,4)，代入建立方程，可求拋物線解析式。因D，B的橫坐標(biāo)相同，利用等腰三角形的性質(zhì)得B(3,0)，可得D的橫坐標(biāo)是3，然后代入二次函數(shù)方程可求得到點(diǎn)D縱坐標(biāo)，即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）利用勾股定理計(jì)算出BC=5，設(shè)M(0,m)，則CM=BN=4-m，CN=5 -(4 -m)=m+1，數(shù)形結(jié)合可知∠MCN不可能是直角，因此分類討論直角頂點(diǎn)是M或N。根據(jù)相似三角形的判定方法，當(dāng)∠CMN=∠COB=90°時(shí)，△CMN∽△COB，即；當(dāng)∠CNM=∠COB=90°，時(shí)，△CMN∽△CBO，即然后分別求出m的值即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)。

（3）線段和最小值問(wèn)題，一般利用最短路徑知識(shí)和三角形三邊的關(guān)系進(jìn)行求解，經(jīng)分析AM+AN并不符合最短路徑問(wèn)題，因此考慮以三角形三邊關(guān)系作為解題突破口，通過(guò)構(gòu)造全等，利用全等變換改變線段的位置，使AM、AN共線，從而求解。連接DN，AD，先證明△ACM≌△DBN，則AM=DN，所以AM+AN=DN+AN，利用三角形三邊的關(guān)系得到DN+AN≥AD（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A，N，D共線時(shí)取等號(hào)），然后計(jì)算出AD即可。

題型二：動(dòng)點(diǎn)與等腰三角形存在性問(wèn)題、動(dòng)點(diǎn)與線段（和）定值問(wèn)題

［例2］（2018 年第26 題）如圖2，已知拋物線y=與坐標(biāo)軸交于A，B，C三 點(diǎn)，其 中C(0,3)，∠BAC的平分線AE交y軸于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D的直線l與射線AC，AB分別交于點(diǎn)M，N。

圖2

（1）直接寫(xiě)出a的值、點(diǎn)A的坐標(biāo)及拋物線的對(duì)稱軸；

（2）點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，若△PAD為等腰三角形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）證明：當(dāng)直線l繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)均為定值，并求出該定值。

分析：（1）由點(diǎn)C(0,3)，可知-9a=3，由此可求得a的值，然后令y=0得到關(guān)于x的方程，解關(guān)于x的方程可得到點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，最后利用拋物線的對(duì)稱性可確定出拋物線的對(duì)稱軸。

（2）利用特殊銳角三角函數(shù)值可求得∠CAO=60°，依據(jù)AE為∠BAC的角平分線可求得∠DAO=30°，然后利用特殊銳角三角函數(shù)值可求得OD=1，則可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)。設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為依據(jù)勾股定理可求得AD，AP，DP的長(zhǎng)，然后分為AD=PA，AD=DP，AP=DP三種情況列方程求解即可。

（3）因?yàn)锳M是△AMD的邊，AN是△AND的邊，AE平 分∠BAC，所 以S△AMD+S△AND=S△AMN，如 圖3，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AC于點(diǎn)G，過(guò) 點(diǎn)M作MH⊥x軸 于點(diǎn)H，∵AE平 分∠BAC，DG⊥AC，DO⊥AN，∴DM=OD=1，

圖3

題型三：函數(shù)信息與是否存在直角三角形綜合

［例3］（2020 年第26 題）如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y=x+1 與直線l2：x=-2 相交于點(diǎn)D，點(diǎn)A是直線l2上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥l1交于點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），連接AC，BC。設(shè)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為t，△ABC的面積為s。

圖4

（1）當(dāng)t=2時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）s關(guān)于t的函數(shù)解析式為

（3）在l2上是否存在點(diǎn)A，使得△ABC是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)和△ABC的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

圖5

分析：（1）思路一：先根據(jù)t=2 可得點(diǎn)A(-2,2)，因?yàn)锽在直線l1上，所以設(shè)B(x,x+1)，將y=2 代入y=x+1 可得點(diǎn)D的坐 標(biāo)，在Rt△ABC中，利用勾股定理列方程可得點(diǎn)B的坐標(biāo)。思路二：根據(jù)y=x+1與x軸正半軸夾角為45°來(lái)解答。

（2）問(wèn)題的呈現(xiàn)與以往不同，以往是給出兩點(diǎn)坐標(biāo)，求函數(shù)解析式，此題是通過(guò)觀察圖形、計(jì)算才能得出點(diǎn)的坐標(biāo)代入求解，這是題目新穎的地方。先把(7,4)代入s=中計(jì)算得b的值，計(jì)算在-1 ＜t＜5 范圍內(nèi)圖像上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)值：當(dāng)t=2 時(shí)，根據(jù)（1）中的數(shù)據(jù)可計(jì)算此時(shí)s=可得坐標(biāo)代入s=a(t+1)(t-5)中可得a的值。

（3）主要考查分類討論，方法比較多。

當(dāng)A是直角頂點(diǎn)時(shí)，有以下思路：利用等腰直角三角形兩腰相等建立方程求解；利用一次函數(shù)解析式y(tǒng)AC與直線l2交點(diǎn)求解，此時(shí)AC∥BD；利用平行四邊形對(duì)邊相等建立方程求解；利用勾股定理AC2+AB2=BC2建立方程求解，得出點(diǎn)A坐標(biāo)后代入對(duì)應(yīng)解析式求面積s。

當(dāng)C是直角頂點(diǎn)時(shí)，有以下思路：利用A(-2,t)表 示AC2=t2-6t+13，BC2=(t2-10t+29)／2，AB2=(t2+2t+1)／2，用勾股定理建立方程求出t的值，得出點(diǎn)A坐標(biāo)后代入對(duì)應(yīng)解析式求面積s，或求出點(diǎn)B坐標(biāo)(t-3／2,t-1／1)，同理可求出；用A(-2,t)表示出直角形一線三等角兩直角三角形含t的邊長(zhǎng)，利用相似對(duì)應(yīng)邊成比例求出t的值，得出點(diǎn)A坐標(biāo)后代入對(duì)應(yīng)解析式求面積s。

題型四：實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)綜合

［例4］（2021年第24題）2022年北京冬奧會(huì)即將召開(kāi)，激起了人們對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的極大熱情。如圖6 是某跳臺(tái)滑雪訓(xùn)練場(chǎng)的橫截面示意圖，取某一位置的水平線為x軸，過(guò)跳臺(tái)終點(diǎn)A作水平線的垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，圖中的拋物線C1：y=近似表示滑雪場(chǎng)地上的一座小山坡，某運(yùn)動(dòng)員從點(diǎn)O正上方4 米處的A點(diǎn)滑出，滑出后沿一段拋物線C2：c運(yùn)動(dòng)。

圖6

（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)到離A處的水平距離為4 米時(shí)，離水平線的高度為8 米，求拋物線C2的函數(shù)解析式（不要求寫(xiě)出自變量x的取值范圍）；

（2）在（1）的條件下，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)的水平距離為多少米時(shí)，運(yùn)動(dòng)員與小山坡的豎直距離為1米？

（3）當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)到坡頂正上方，且與坡頂距離超過(guò)3米時(shí)，求b的取值范圍。

分析：（1）考查待定系數(shù)法，根據(jù)題意將點(diǎn)(0,4)和(4,8)代入C2：y=中求出b，c的值即可寫(xiě)出C2的函數(shù)解析式。

（2）考查用坐標(biāo)表示線段長(zhǎng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)的水平距離為m米時(shí)，運(yùn)動(dòng)員與小山坡的豎直距離為1 米，依題意得：1，解出m即可。

（3）考查利用二次函數(shù)解析式求解實(shí)際問(wèn)題，求出山坡的頂點(diǎn)坐標(biāo)為根據(jù)題意即再解出b的取值范圍即可。

二、二次函數(shù)綜合題設(shè)計(jì)原理與特征

二次函數(shù)綜合題一般由三個(gè)問(wèn)題來(lái)構(gòu)成。

第一個(gè)問(wèn)題一般涉及求二次函數(shù)解析式或函數(shù)參數(shù)或關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)或直線解析式，主要考查待定系數(shù)法、方程思想等，分值3分左右。

第二個(gè)問(wèn)題涉及動(dòng)點(diǎn)或線段、面積最值、折疊問(wèn)題等，結(jié)合圖形變化，綜合考查函數(shù)知識(shí)與幾何知識(shí)，分值為4分左右。

第三個(gè)問(wèn)題一般是引入特殊幾何圖形（如等腰三角形、直角三角形、平行四邊形、菱形等），設(shè)置開(kāi)放性問(wèn)題或探索動(dòng)點(diǎn)存在性問(wèn)題，用函數(shù)知識(shí)探究圖形變化中的數(shù)量關(guān)系，分值為4分左右。

三個(gè)問(wèn)題由淺入深、層層推進(jìn)，考點(diǎn)涵蓋坐標(biāo)知識(shí)、圖形（三角形、四邊形、圓）的性質(zhì)、圖形變化（對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)、相似、三角函數(shù)等）知識(shí)、不等式知識(shí)，重點(diǎn)考查待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合思想、方程與函數(shù)思想、數(shù)學(xué)建模思想、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想等。

三、二次函數(shù)綜合題備考策略

（一）教會(huì)學(xué)生應(yīng)試技巧

二次函數(shù)綜合題的第一問(wèn)主要考查基礎(chǔ)知識(shí)，只要平時(shí)基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)，運(yùn)算技能過(guò)關(guān)，拿下第一問(wèn)對(duì)考生來(lái)說(shuō)不難。若考生第一問(wèn)做出來(lái)，可以利用第一問(wèn)結(jié)論去解決第二問(wèn)。在平時(shí)教學(xué)中，教師應(yīng)要求學(xué)生在審題時(shí)要看清所有條件及問(wèn)題，從整體上把握題目特點(diǎn)與結(jié)構(gòu)，這有利于方法的選擇與解答設(shè)計(jì)。若第三問(wèn)太難，學(xué)生沒(méi)有解題思路，找不到突破口，可先擱下，先做好其他題目，若有時(shí)間再思考。

（二）抓好解題的著重點(diǎn)

1.明確“攻擊點(diǎn)”。點(diǎn)的坐標(biāo)可表示線段長(zhǎng)（注意：上減下，右減左）、圖形的高或底，可以是函數(shù)方程的解。

2.巧設(shè)“著手點(diǎn)”。利用函數(shù)解析式巧設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，用含有x的作為橫縱坐標(biāo)，向坐標(biāo)軸作垂線，尋找相關(guān)線段，利用圖形關(guān)系、勾股定理、平行線分線段成比例、相似三角形、三角函數(shù)等知識(shí)用橫、縱坐標(biāo)式子表示線段長(zhǎng)。

3.抓住“關(guān)鍵點(diǎn)”。利用坐標(biāo)關(guān)系式表示線段邊長(zhǎng)、面積、周長(zhǎng)，通過(guò)相似、勾股定理、三角函數(shù)等知識(shí)構(gòu)建方程或函數(shù)關(guān)系式進(jìn)而求解參數(shù)。

4.突破“難點(diǎn)”。利用兩點(diǎn)間線段最短（共線）或軸對(duì)稱知識(shí)解決最短路徑問(wèn)題。

5.注意對(duì)存在性問(wèn)題中的特殊圖形按點(diǎn)或邊分類討論。

（三）善于總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)

教師在講評(píng)時(shí)要善于總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)。分析試題的命題立意，主要考查的知識(shí)點(diǎn)、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、數(shù)學(xué)思想方法。教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生思考如何從復(fù)雜圖形或整體中找到解題模型，在分類討論時(shí)應(yīng)該注意什么。

總之，在核心素養(yǎng)背景下，中考數(shù)學(xué)試題對(duì)函數(shù)知識(shí)的考查趨向靈活多樣，并且更加注重對(duì)函數(shù)本質(zhì)和內(nèi)涵的考查，特別是“動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題”，立意比較新穎，既考查學(xué)生對(duì)函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況，又考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。二次函數(shù)綜合題靈活性和綜合性強(qiáng)，沒(méi)有固定的解決方法，教師重在培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)審題，挖掘題目隱含條件，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法找尋解題思路的習(xí)慣。