由一道課本習題說起

廣東省云浮市鄧發紀念中學 (527300) 黃梅娟

人教版必修1課本第82頁有這樣一道題：“比較log67與log76的大小”.本習題是學生學完基本初等函數之后的復習參考題，編者意圖是希望學生能用對數函數性質并借助中間值1來比較兩個數大小的關系，并希望學生通過這個題目掌握比較兩個數大小的基本方法. 筆者在教學中思考這樣一個問題，這兩個對數的底數和真數之間有一定的聯系，能否一般化？即能否比較logn(n+1)與log(n+1)n(n∈N*)大小?更一般化，能否比較loga(a+1)和log(a+1)a(a>0且a≠1)大小? 本文用函數觀點探究其解法并推廣.

1 解題思路與方法

很明顯，當a>1時，loga(a+1)>logaa>log(a+1)a，所以loga(a+1)>log(a+1)a.但當0

(1)作商比較

(2)作差比較

2 探究并推廣

對數與指數是一對孿生兄妹，對數函數中具有的一般性質在指數函數中是否也具有同樣性質? 即當a>0且a≠1時，能否比較aa+1與(a+1)a大小？

①當a∈(0,x0)時，lny1-lny2=f(a)<0， 所以aa+1<(a+1)a；②當a∈(x0，+∞)時，lny1-lny2=f(a)>0， 所以aa+1>(a+1)a；③當a=x0時，lny1-lny2=f(a)=0， 所以aa+1=(a+1)a.

3 應用

例1 (2018年全國Ⅲ卷12)設a=log0.20.3,b=log20.3，則( ).

A.a+b

C.a+b<0

點評：本題主要考查對數函數的性質、對數的換底公式，學生對觀察能力、邏輯思維能力、運算求解能力要求較高.

例2 (2017年全國Ⅰ卷11)設x,y為正實數，且2x=3y=5z，則( ).

A.2x<3y<5zB.5z<2x<3y

C.3y<5z<2xD.3y<2x<5z

A.a

C.b