直觀想象素養引領下的函數試題命制
——以2017年全國Ⅰ卷(理)壓軸題為例

福建省泉州第五中學 (362000) 楊蒼洲福建省莆田第一中學 (351100) 蔡晶晶

福建省教育科學“十四五”規劃2021年度專項課題“核心素養視域下高考數學命題研究”(課題編號Fjjgzx21-006)部分研究成果.

試題的解題方法固然很值得研究，但探究試題的命題背景、命題方法，不僅有助于在解題中尋找入口、理順思路、開闊視野，提高解題水平，而且也能大幅提高教師的命題水平．筆者探究2017全國Ⅰ卷函數與導數試題的命題方法，發現它與福建省泉州市2017年的兩次市質檢的兩道函數導數試題的命制手法異曲同工.本文通過探究2017年高考全國Ⅰ卷理壓軸試題命題手法，可以得到一種“基于相切兩函數圖像的伸縮變換法”的命題方法．同時展示兩題自編、基于此命題手法的試題及其命題過程.

1 命題手法揭示

題1 (2017年全國Ⅰ卷理第21題)已知函數f(x)=ae2x+(a-2)ex-x．

(Ⅰ)討論函數f(x)的單調性；(Ⅱ)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍．

分析：先作了如下的等價轉化.

函數f(x)有兩個零點 ?方程ae2x+(a-2)ex-x=0有兩個不同實根? 令ex=t，t>0，方程at2+(a-2)t-lnt=0有兩個不同實根?方程a(t2+t)=lnt+2t有兩個不同實根?曲線f1(x)=lnx+2x與曲線f2(x)=a(x2+x)有兩個公共點.

實際上，曲線y=f2(x)中的系數a，決定了曲線的開口方向和大小，是對曲線做了相應的對稱變換、伸縮變化，如下列四個圖像：

圖3(01)

其中，當a=1時，曲線f1(x)=lnx+2x與曲線f2(x)=a(x2+x)相切于點原點(1,2)(如圖2)，在此基礎上，只需將曲線f2(x)的圖像進行伸縮變換，就可得到不同圖像.

根據上述分析，筆者猜測命題者正是由此而得到了題中問題(Ⅱ)的設問.

整個試題形成過程可以總結為如下：

(1)先確定兩個函數，f1(x)=clnx+dx，f2(x)=a(x2+x)，為使得運算數據不過于復雜，確保部分學生可以得到第一步分數，先設定a值及此時兩個函數圖像公共點，a=1，公共點(1,2)；(2)利用兩個函數有公共點，且在公共點處的切線相同，確定c,d的值，c=1,d=2；(3)為了通過壓軸題有效區分學生的思維水平和數學素養，強調思想方法，故將初始的函數f1(x)=lnx+2x與f2(x)=a(x2+x)，當f1(x)=f2(x)時，換元構造，將x用ex替換，得到x+2ex=a(e2x+ex)，移項得到函數f(x)=ae2x+(a-2)ex-x，設置問題(Ⅱ)“若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍．”從而使得問題的解法更多樣.

(4)考慮到學生更易想到的是利用函數零點問題的通法解題，其一是利用導數研究函數的單調性，最值，確定函數與x交點個數問題；其二參變分離，而參變分離，雖然使得函數解析式形式稍微復雜，但避免了分類討論，故為體現試題的公平性和選拔性，命題者設置了問題(Ⅰ)“討論函數f(x)的單調性；”為問題(Ⅱ)的解決提供思路方法.

筆者把上述命題手法稱為“基于相切兩函數圖像的伸縮變換法”，其命題實施步驟為：第一步，尋找兩個相切的函數圖像；第二步，把其中一個函數乘以參數a，使之成為動函數；第三步，構造出相應的不等式問題或者函數零點問題等；第四步，對所得問題進行恒等變形、包裝.

2 “伸縮變換”下的試題命制

筆者曾經以此手法命制過幾個高考模擬試題，現展示其命題過程，以饗讀者.

題2 (2017年3月泉州市質檢第21題)已知函數f(x)=mxln(x+1)+x+1，m∈R．

(Ⅰ)直線l與曲線y=f(x)恒相切于同一定點，求l的方程；(Ⅱ)當x≥0時，f(x)≤ex，求實數m的取值范圍．

命題過程：

第二步，把其中一個函數乘以參數2m，得f1(x)=mln(x+1).參數m是對函數f1(x)的開口方向及開口大小的伸縮變化，不同的參數m所對應的函數圖像如下;

圖5(m<0) 圖

圖 圖

第三步，構造出相應的不等式問題：當x≥0時，mln(x+1)≤ex-x-1，求實數m的取值范圍;

第四步，對所得問題進行恒等變形：當x≥0時，mln(x+1)+x+1≤ex，求實數m的取值范圍.

題3 (2017年5月泉州市質檢第12題)已知函數f(x)=ex，g(x)=ax2-ax.若曲線y=f(x)上存在兩點關于直線y=x的對稱點在曲線y=g(x)上，則實數a的取值范圍是( ).

(A)(0,1) (B)(1,+∞)

(C)(0,+∞) (D)(0,1)∪(1,+∞)

命題過程：

第一步，尋找兩個相切的函數h(x)=lnx，g(x)=x2-x;

第二步，把其中一個函數乘以參數a，得g(x)=ax2-ax.參數a是對函數g(x)的開口方向及開口大小的伸縮變化;

第三步，構造出相應的零點問題：曲線y=f(x)與曲線y=h(x)有交點，求實數a的取值范圍;

第四步，對所得問題進行恒等變形，得上述問題.

上述三題可謂異曲同工，無論從試題的函數背景、設問方式，還是從試題的命題手法，題2與題3都與2017年全國Ⅰ理卷第21題極其相似.在此類問題的解答時，解題者如能探明試題的命題方法，就不難得到解題思路了．同樣地，教師在試題評講時，也將更加順利地講清問題的來龍去脈．