例析阿波羅尼斯圓的命題策略

四川外國語大學附屬外國語學校 (400000) 郭海峰重慶市重慶實驗外國語學校 (400039) 李小燕

在近幾年的高考題、模擬題中，阿波羅尼斯圓(以下簡稱阿氏圓)越來越受到出題老師的青睞.筆者在梳理相關材料時，總結了該圓的幾種考察方式，現整理成文，以饗讀者.

一、阿氏圓的定義[1]

圖1

二、阿氏圓與其他圓錐曲線的結合

在阿氏圓的定義中，涉及到兩個定點與定比例.在常見的圓錐曲線中，也涉及到較多的定點與定值，這就與兩者的結合提供了理論基礎.

三、阿氏圓的逆向考察

在阿氏圓的定義中，涉及到兩個定點，定值以及最終的軌跡圓.能否根據圓以及定值來考察兩個定點之間的關系呢？或者考察定值的范圍問題呢？

圖2

例4 (自編)已知點A(1,0)，B(2,0)以及圓O:x2+y2=1，設點P為圓O上的動點，若|PB|=λ|PA|，求λ的取值范圍.

注意到在阿氏圓的定義中，兩個定點與阿氏圓的圓心在同一直線上，根據圓的對稱性在給定的阿氏圓中，存在無數對定點符合相關的比例.具體如下：

設過點Q作出的射線與兩個同心圓的交點為A1，B1，結合圓的對稱性可知|PB1|=λ|PA1|成立，即可知滿足該比例關系的定點有無數對.

四、阿氏圓在立體圖形中的應用

圖3