“兩次還原”破解抽象函數(shù)的周期性與對稱性問題

福建省德化第一中學(xué) (362500) 陳玉蘭 吳志鵬

本文系教育部福建師范大學(xué)基礎(chǔ)教育課程研究中心2021年度開放課題立項課題“深度學(xué)習(xí)視域下中學(xué)數(shù)學(xué)長作業(yè)的校本實踐研究”立項批號：KCZ2021041.

抽象函數(shù)的周期性和對稱性(對稱軸、對稱中心)是函數(shù)中常見問題，當(dāng)抽象函數(shù)滿足某些特定的條件時，函數(shù)圖象便具有了周期性和對稱性等特征，由于抽象函數(shù)沒有具體的解析式，缺少了圖形的直觀，不易理解，是學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)過程中的難點，本文對這類函數(shù)進(jìn)行梳理，“以不變應(yīng)萬變”幫助學(xué)生“有序”解決問題.

一、基本形式

1.對于定義域內(nèi)的任意一個x，都存在一個非零常數(shù)T，使得f(x)=f(x+T),稱T為函數(shù)f(x)的一個周期,即周期函數(shù)的基本形式為f(x)=f(x+T).

2.對于定義域內(nèi)的任意一個x，形如f(x)=f(2a-x)，表示函數(shù)圖象關(guān)于直線x=a對稱，當(dāng)a=0函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，即為偶函數(shù)；形如f(x)=-f(2a-x)，則表示函數(shù)圖象關(guān)于點(a，0)對稱，當(dāng)a=0函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，即為奇函數(shù).

以上周期性和對稱性函數(shù)解析式的特征可總結(jié)為“和定是對稱，差定是周期”.

二、通性通法

第一次還原為形式上的還原，即將題目所給的兩個抽象函數(shù)表達(dá)式通過遞推或替代還原為f(x)的表達(dá)形式，再利用方程組獲得新的抽象函數(shù)表示式;第二次還原是將新的函數(shù)表達(dá)式通過再一次遞推或替換，進(jìn)行第二次還原獲得函數(shù)的周期、對稱軸、對稱中心等性質(zhì)的函數(shù)基本結(jié)構(gòu)形式，獲得性質(zhì)的數(shù)量特征.

1 由函數(shù)的奇偶性和周期性可得函數(shù)的對稱中心(軸)

例3 (2017年山東文14改編)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x+4)=f(x-2).若x∈[-3,0]時，f(x)=6-x，則f(922)=.

2 由函數(shù)的奇偶性和對稱性可得函數(shù)的周期

例4 若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于直線x=a對稱，求證：函數(shù)f(x)的周期為4a.

注：若f(x)函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于關(guān)于點(a,0)對稱，可求出函數(shù)的周期為2a.

例5 若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于直線x=a對稱，求證：函數(shù)f(x)的周期為2a.

注：若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于關(guān)于點(a,0)對稱，可求出函數(shù)f(x)的周期為4a.

例6 (2018年全國卷Ⅱ)已知f(x)是定義域為(-∞,+∞)的奇函數(shù)，滿足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2，則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( ).

A.-50 B.0 C.2 D .50

又因f(1)=2，f(2)=f(0)=0，f(3)=f(-1)=-2，f(4)=f(0)=0，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.

變式若f(x)函數(shù)是R 上的偶函數(shù)，且f(x+1)=f(1-x)，當(dāng)0≤x≤1時，f(x)=x,則f(7.5)=.

3 由函數(shù)的周期性和對稱性可得函數(shù)的對稱性(奇偶性)

注：當(dāng)函數(shù)f(x)的周期為2a，圖象關(guān)于直線x=a對稱，則函數(shù)f(x)為偶函數(shù).

注：當(dāng)函數(shù)f(x)的周期為2a，圖象關(guān)于點(a,0)對稱，則函數(shù)f(x)為奇函數(shù).

綜上可知，抽象函數(shù)的周期性、對稱性及奇偶性問題的綜合是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個難點，破解此類問題的關(guān)鍵在于對抽象函數(shù)解析式的“還原”，化為基本形式，通過兩次“還原”，明晰解析式中的變量特征(相同或相反)，判斷抽象函數(shù)的性質(zhì)類型，由此獲得周期、對稱軸及對稱中心等數(shù)量特征，從而達(dá)到解決問題的目標(biāo).