一個代數不等式的證明及變式
2022-10-10 08:23:50湖南省桃江縣第一中學413400胡芳舉徐令芝
中學數學研究(江西) 2022年10期
湖南省桃江縣第一中學 (413400) 胡芳舉 徐令芝
筆者在給學生講解“蒙日圓”時得到了如下一個有趣的不等式：已知x12+y12=x22+y22= 1，且mx2+ny2≥m+n(m,n>0)，求證m(x-x1)(x-x2)+n(y-y1)(y-y2)≥0.
這個不等式對稱優美，但變量較多，證明比較棘手，本文將給出這個不等式的兩個證明及兩個變式.
圖1
最后給出兩個變式：
變式2 已知變量x,y,α,β滿足m(x-cosα)·(x-cosβ)+n(y-sinα)(y-sinβ)≤0(m,n為正常數)，求mx2+ny2的最大值.
注：mx2+ny2的最大值為m+n.
