一道省質檢題的溯源與變式

福建省上杭縣第一中學 (364200) 伍養群福建省上杭縣明強中學 (364200) 張 磊

本文為福建省上杭縣教師進修學校2021年度課題“變式教學在高中數學課堂教學中的運用策略研究”(GZ20211001)的階段性成果.

數學試題的精彩是由其內在聯系引起，在教學中善于對試題的本質規律進行分析和追溯，并作深入的思考與變式.真正實現會一道題，達到懂一類題是每位數學教師在課堂教學中必須探究和提升的課題.

(1)建立適當的坐標系，求C的方程；(2)A,B是C上不同的兩點，且直線AB與以OA為直徑的圓的一個交點在圓O上．求證：以AB為直徑的圓過定點．

分析2：由于上述命題的推理可逆，所以交換上題中的條件與結論可以得到其命題的正確性.

分析7：根據點A與B的特殊位置生成的數量關系，并結合橢圓中的變量a,b,c滿足的條件推斷出一般性的命題.

分析8：保留垂直的位置關系，但改變點O的位置，讓點O在直線(x軸)上運動，探求直線AB是過定點還是與定圓相切？

分析9：若改變點M的位置，讓點M在橢圓上運動，探求直線l是否還過定點？

思考2：利用弦l經過定點這結論和已知定點M可進行再創造：以兩定點組成線段(定值)為直徑作圓交直線l于點D，為了隱藏弦l經過定點，則設置過點M作MD⊥l，再提出問題：是否存在定點T，使得|DT|為定值即為2020年山東省高考數學試卷(新高考全國Ⅰ卷)第22題，若改變MA,MB的斜率滿足的條件，也可作相應的結論.

分析10：若改變MA,MB的斜率滿足的條件，并用拋物線代替橢圓作探究.

變式6 (自編)已知動圓C與定圓F：x2+y2-2x=0相外切，且與直線l:x=-1相切．

(1)求動圓圓心C的軌跡方程Γ；(2)若M(1,2)，點A，B在曲線Γ上，且KMA+KMB=-1，MN⊥AB，N為垂足．證明：存在定點T，使得|TN|為定值．

分析11：保留點O的位置，但改變垂直的位置關系，探求直線l與橢圓的兩個交點和原點組成的三角形的面積是否為定值？

總之，對數學試題的教學與研究，決不能只浮在表面，務必要透過現象看本質，并深入思考和拓展其內在的規律，才能讓試題的光彩達到淋漓盡致的高度，努力構建高效的課堂教學.