一道雙曲線定點問題的深度思考

江蘇省海門中學 (226100) 姜敏華

數學解題教學是高中數學的重要課型，解題教學要選好題，用好題.做一道好題可以提升學生邏輯推理、數學運算等能力.利用好一道好題可以調動學生的積極性，提高學生思維活躍度，幫助學生積累數學探究經驗.本文從一道2022年深圳市第一次調研測試題的解法出發，給出問題的深度思考與聯想，談如何用好題.

1.題目

(1)求雙曲線C的方程；(2)過點(4，0)作斜率不為0的直線l與雙曲線C交于M，N兩點，直線x=4分別交直線AM，AN于點E，F.試判斷以EF為直徑的圓是否經過定點，若經過定點，請求出定點坐標；反之，請說明理由.

2.解法展示

分析：判斷圓是否過定點，首先要寫出圓的方程，利用圓的直徑式方程.其次，由對稱性，若存在定點必在x軸上，令圓的方程中y=0，利用設而不求，韋達定理，判斷x是否為定值.

②當直線l的斜率不存在時，E，F坐標分別為(4，3)，(4，-3)，所以以EF為直徑的圓為(x-4)2+(y-3)(y+3)=0過點(1，0)，(7，0).

綜上，以EF為直徑的圓過點(1，0)，(7，0).

3.思考聯想

思考1：點(4，0)與點A，直線x=4之間存在怎樣的關系？將問題一般化可以發現背后的隱藏的規律.

4.結語

一道好題包含著命題者的深度思考，作為教師要引導學生挖掘題目背后所隱藏的“寶藏”，帶領學生用直覺大膽的猜想，用邏輯小心的論證.數學探究活動要融入課堂，要給學生探究的機會，帶領學生用好身邊的好題，在聯想中發散思維，在思考中提升能力.