一道條件最值問(wèn)題的多視角求解

重慶市彭水第一中學(xué) (402460) 程鳳娟

條件最值問(wèn)題是初等數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)問(wèn)題，對(duì)于能夠轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)，有比較完善的求解方法；而對(duì)于三元函數(shù)的條件最值問(wèn)題，一般方法是拉格朗日乘數(shù)法或通過(guò)已知條件消元轉(zhuǎn)化為二元函數(shù)的最值問(wèn)題．但這兩種方法并不適合中學(xué)生．那么在初等數(shù)學(xué)知識(shí)范圍內(nèi)，如何求解三元函數(shù)的條件最值問(wèn)題呢?下面通過(guò)2021摩爾多瓦奧林匹克試題的求解，對(duì)這一問(wèn)題作一探究：

為表述方便先給出兩個(gè)引理，由三元冪平均不等式，有：

另一方面，由柯西不等式可得：

引理2 設(shè)ak,bk∈R+(k=1,2,…,n)，則

視角1利用柯西不等式的變式

最值問(wèn)題和不等式問(wèn)題有緊密的聯(lián)系，利用不等式取等的條件，可將最值問(wèn)題的求解轉(zhuǎn)化為不等式問(wèn)題．觀察所求問(wèn)題的結(jié)構(gòu)，直接應(yīng)用或通過(guò)適當(dāng)變式后再利用利用引理1及引理2有：

視角2利用均值不等式

除利用基本不等式外，還可湊配適當(dāng)?shù)捻?xiàng)利用三元均值不等式有：

視角3切線法

切線法是基于曲線與曲線上一點(diǎn)的切線之間的關(guān)系給出的，曲線在切線的上方或下方，可通過(guò)相同橫坐標(biāo)下的縱坐標(biāo)的大小關(guān)系給出判定，如果曲線y=f(x)在其切線：y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)的上方，則有f(x)≥f(x0)+f′(x0)(x-x0)；反之，則有f(x)≤f(x0)+f′(x0)(x-x0)．

由于在x>0時(shí)(5x+3)(3x-1)2≥0，變式即得(1)式，從而(1)成立．