非齊次彈性力學問題雙互易邊界元方法研究*

潘先云，余江鴻,2，周楓林

（1.湖南工業大學 機械工程學院，湖南 株洲 412007；2.長沙理工大學 公路工程教育部重點實驗室，長沙 410001）

引 言

在一些工程實踐中，人們選擇運用數值計算方法分析復雜結構的彈性力學、熱傳導等各方面問題，為工程設計提供依據和參考.目前發展較好的數值計算方法有：有限單元法[1]、無網格法[2]、邊界元法[3-4].相較于其他數值計算方法，邊界元法只需要離散問題的邊界而不是整個區域，從而降低了維數減少了計算工作量，其計算效率高.此外，邊界元還具有計算精度高、能有效處理無限域的問題等優勢.如胡宗軍等[5]用高階邊界元分析了二維薄體結構溫度場；李聰等[6]用擴展邊界元法求解了雙材料裂紋結構全域應力場.另外，邊界元在彈性力學方面也有著廣泛的應用.

邊界元法在彈性力學問題[7]方面的運用可以追溯到20世紀初.1905年，Fredholm[8]提出運用積分方程求解彈性力學問題.到了20世紀60年代末，Rizzo 等[9]和Cruse[10]運用直接邊界元法求解彈性力學問題.我國學者也在彈性力學邊界元方面開展了大量研究.孫秀山等[11]提出用邊界元法解決二維正交各向異性結構彈塑性問題；姜弘道[12]完整地介紹了利用邊界元法解決彈性力學問題.但是傳統邊界元法對于處理非線性和非均質的域積分面臨較大困難，比如含有體力、時間相關效應和其他問題上，通常需要將問題域分成內部單元，生成的邊界積分方程則會出現域內積分項，因此邊界元方法失去了原有的降維優勢.為了解決域積分問題，人們進行了大量的研究來尋找一種將區域積分轉化為等價邊界積分的通用而有效的方法，并提出下列3 種方法：雙互易法（DRM）[13]、多重互易法（MRM）[14]和徑向積分法（RIM）[15].雙互易法主要是基于微分算子特解將區域積分轉換為邊界積分，從而解決了域內積分項的問題.高鎖文等[16]將雙互易方法與邊界元結合，對開孔無限大薄板彈性波的散射與動應力集中問題進行了分析；苗雨等[17]提出雙互易法解決彈性動力學問題.雙互易法還在聲學[18]、熱學[19]等多個領域有著廣泛的應用.

雙互易方法一般選取RBF[20]作為插值函數.RBF 分為全局型RBF 和緊湊型RBF，無論是哪一種RBF，形狀參數和插值點數量對其插值精度和穩定性都有重要影響.Franke[21]最先提出用RBF 作為插值函數的插值方法.從此，RBF 插值方法不斷發展和完善.我國學者也采用RBF 來解決各種問題，趙培玉[22]用RBF 求解橢圓型偏微分方程；聶鑫[23]將其應用在電磁學領域；曾華等[24]利用multiquadric(MQ)函數作為RBF處理非均勻彈性力學問題.RBF 方法不僅形式簡單，而且精度高，數據擬合好，較其他方法而言，具有一定的優勢.但是RBF 還存在一些問題，比如插值的穩定性和精度問題，插值函數中形狀參數的取值問題等，本文接下來將對其中一種RBF 探討上述問題.

本文應用雙互易邊界元法(DRBEM)解決彈性力學中含有域內體力項的問題.彈性力學邊界積分方程中將體力項用RBF 來插值，再導入到彈性力學邊界積分方程中，得到完全邊界積分方程，然后對邊界積分方程進行離散得到線性方程組或者非線性方程組，最后求解方程組.在此過程中，RBF的選擇對于插值精度和雙互易邊界元方法數值計算精度至關重要.本文提出選擇指數型RBF[25]，探討指數型插值函數的形狀參數變化方案對插值精度和穩定性的影響.然后再應用到雙互易邊界元方法中，通過邊界元程序產生的數值分析結果進行穩定性和精度討論，并驗證了指數型基函數作為雙互易邊界元方法RBF 解決彈性力學域內體力項問題的有效性.

1 RBF 插值

1.1 RBF 定義

RBF 插值就是用RBF的線性組合近似表示未知函數，對N個不同的點構成的三維空間{x1,x2,···,xN}?R有

RBF 采用以下形式：

在N個點上構造函數：

式中，i=1,2,3,···,N.那么就可以得到線性方程組：

1.2 RBF的類型

RBF 有很多種，我們常見的全局型RBF 如下所示：

指數型RBF：

本文選擇指數型基函數作為雙互易邊界元法的指數型RBF，形狀參數變化方案為

2 靜彈性問題雙互易邊界元法

2.1 靜彈性力學問題

根據彈性力學基本方程（平衡微分方程、幾何方程和物理方程）可建立以位移為未知物理量的位移Navier 控制方程，其微分表達式形如

式中，G為剪切模量，v為Poisson 比，fj為第j方向上的體力，?為結構所在整個區域.為完全求解出所有位置上的位移分量或者應力分量，往往還需要添加確定的邊界條件，其位移邊界條件和 應力邊界條件如下所示：

式中，uj為第j個方向的位移；pj為第j個方向的面力；n為邊界上單位外法向量；為Γu上的位移邊界條件；為Γp上的應力邊界條件，區域邊界Γ 滿足Γ=Γu∪Γp.

2.2 雙互易邊界元法

雙互易邊界元法是解決邊界積分方程中含非均勻體力項積分計算困難的有效途徑之一，它的中心思想是借助RBF 插值技術對非均勻體力項函數進行插值處理，將非均勻體力項積分轉換為邊界積分，成功避免了域內積分的計算，還原了邊界元法僅需邊界離散的特征.

基于Betti 定理與Kevin 基本解得到靜彈性問題邊界積分方程，形如

式中，p*lk為面力基本解；u*lk為位移基本解；clk與源點的位置有關，具體表達式如下：

θ為源點處的立體角角度；

其中

在實際問題中，體力載荷不可避免，若要直接進行域內體力項積分的運算將會嚴重影響到邊界元方法的計算效率，為體現邊界元法只含邊界網格的優勢，本文采用了雙互易法對體力積分進行轉換.式（12）中出現域內體力項fk，結合RBF 對式（12）中的體力項進行插值處理，插值表達式為

式中，φj為未知的系數，?j為插值函數，N和L分別是邊界點和內部點的數量.值得注意的是，若體力項函數未知，則RBF 插值系數也是未知的.找到方程（10）中特定的位移u滿足Navier 平衡方程：

式中，δmk為Kronecker 函數.

利用分部積分可以將體力項積分寫成

將式（22）代入到式（12）中可以得到含體力的靜彈性問題雙互易邊界積分方程：

雙互易法的實現往往要借助于RBF 插值，對于式（20）的RBF ?j采用指數型RBF，其表達式為

其中，c為形狀參數，r為插值點與節點的距離.對應的指數型RBF 在彈性問題上的位移特解即式（21）中特定位移u的表達式為

式中

特解（25）并不是唯一的，該特解是通過Papkovich 勢函數法推導出來的滿足平衡方程的一種形式，并且保證了g（r）與q（r）在全域內連續且有一階導數.將位移特解（25）導入Hooke 定律與平衡方程同樣可以求解出應變特解與面力特解：

2.3 邊界離散與數理處理

通過式（23）可以看出雙互易邊界元法求解靜彈性問題時并沒有使用到域內積分，所以只需要在邊界上進行單元離散，經過離散后式（23）可以寫成

式中，Γe為第e個單元的邊界.在單元內任意一點的位移和面力可以表示為

離散后得到線性方程組：

將所有未知量移到方程的左邊整理可得

通過式（37）可以計算得到所有點對應的位移分量或面力分量.

3 數值算例

在實際工程問題分析中,插值的精度和穩定性不可同時兼得的矛盾已有定論，數值分析的穩定性往往比計算精度更為重要.因為精度可以通過增加自由度來提高，而一旦出現數值穩定性問題，就會導致計算出錯.因此，可以通過改變RBF的形狀參數，在保持精度可接受的情況下，提高插值的穩定性.

插值的性能取決于參數的變化方案，因此本文提出的參數變化方案不同于恒定參數，而是為提高插值穩定性，插值函數的形狀參數取決于插值點間最小距離的最小值，也就是式（9）提出的插值方案.針對這種參數變化方案，本文設計了四個算例.

第一個算例為分析RBF 插值精度和插值穩定性的變化.第二個和第三個算例在有解析解的情況下，將指數型基函數應用到雙互易邊界元方法中分析結構靜彈性力學問題，驗證雙互易邊界元法采用指數型插值方法處理彈性力學中域內體力項問題的有效性.第四個算例在無解析解實際工況下，用雙互易邊界元法和有限元法兩種方法分析結構靜彈性力學問題.本文中四個算例都是通過在Visual Studio的軟件環境下，設計邊界元法程序分析得到的數值結果.

相對誤差定義為

式中，v為相關變量向量，vei為數值解，vai為解析解，|v|max為解析解中的最大值，N為節點的數量.

條件數反映的是數值方法的病態程度，采用條件數來評判數值方法的穩定性，條件數越大，病態越嚴重.對于一般的矩陣，條件數都為1，而邊界積分方程所構造的矩陣往往都是奇異矩陣，條件數很大，問題往往都是“病態”的，病態的程度可以通過條件數的大小來反映，條件數越大，表明函數越不收斂，數值方法越不穩定，可以通過對比條件數的計算結果驗證方法的穩定性.

3.1 RBF 插值精度和穩定性分析

本算例模型為邊長為2的正方體，正方體中心處于直角坐標系原點，插值點位置如圖1所示.被插值函數分別為

圖1 正方體RBF 插值點位置Fig.1 Positions of RBF interpolation points in a cube

本算例中通過改變正方體中指數型插值函數的插值點數量，研究在不同被插值函數中的插值精度和插值穩定性變化，得到插值點數量的變化對插值精度和穩定性的影響.

圖2和圖3分別表示RBF 插值相對誤差和RBF 矩陣條件數隨著插值點數量增加的變化情況.圖2所示的收斂性分析說明了隨著插值點的不斷加密,插值精度不斷提高.我們可以了解到RBF 矩陣條件數表示插值穩定性，即RBF 矩陣條件數越大，插值穩定性越差.所以從圖3的結果上來看，插值點數量越多時，RBF 矩陣條件數越大，插值穩定性越差.

圖2 正方體RBF 插值精度Fig.2 Accuracies of the cube RBF interpolation

圖3 正方體RBF 矩陣條件數Fig.3 The condition number of the cube RBF matrix

3.2 雙互易邊界元數值分析

3.2.1 球體模型

本算例是在有解析解的情況下，利用雙互易邊界元方法對正方體模型進行靜力學分析，雙互易邊界元方法中采用指數型基函數中式（9）的插值方案，驗證指數型插值函數作為雙互易邊界元方法中RBF 去解決彈性力學中域內體力項問題的有效性.本算例模型為半徑為2的球體，插值點位置如圖4所示，材料參數為：密度1.14，Poisson 比0.25，彈性模量1.0.

圖4 球體插值點位置Fig.4 The sphere interpolation point positions

彎管的邊界條件和位移解析解為

體力項函數分布為

在雙互易邊界元法中，插值點數量變化對所有節點上面力相對誤差和插值穩定性的影響如圖5和圖6所示.隨著插值點數量增多，所有節點上面力相對誤差降低，雙互易方法的計算精度不斷提高，但是穩定性有所變差.從算例結果可以看出，計算精度和穩定性隨著插值點數量增多不斷收斂，插值點數量達到7 369 后，矩陣條件數隨插值點數量增加的速度明顯減慢并趨于穩定.因此，使用式（9）控制形狀參數能夠有效控制插值矩陣條件數的快速增長,同時也能夠達到很高的插值精度.

圖5 邊界上面力的相對誤差Fig.5 Relative errors of the surface force on the boundary

圖6 RBF 矩陣條件數Fig.6 The condition number of the RBF matrix

3.2.2 彎管模型

為了進一步驗證形狀參數插值方案在雙互易邊界元方法解決彈性力學中域內體力項問題的有效性是否具有普遍性，設計了復雜模型彎管，幾何尺寸如圖7所示，插值點位置見圖8.取樣點數為81個，取樣點位置如圖9所示，其中邊界取樣點為31個，位于R=0.8 mm 倒角面上均勻選取一圈，起點坐標為（-5.566,0.234 3,0）；域內為50個，位于R=0.8 mm 第一段倒角處薄壁中面圓周一圈，起點坐標為（-6.032,0.4,0.501 3）.彎管材料參數為：Poisson 比0.25，彈性模量1 MPa，材料密度1.14 t/mm3.

圖7 彎管幾何圖示(單位：mm)Fig.7 The geometric model of an elbow pipe (unit: mm)

圖8 彎管插值點位置Fig.8 Positions of interpolation points of the elbow pipe

圖9 取樣點位置Fig.9 Positions of sampling points

彎管的邊界條件和位移解析解為

體力項函數分布為

在雙互易邊界元法中，插值點數量變化對所有節點上面力相對誤差和插值穩定性的影響如圖10和11 所示.從圖中可知，插值點數量增多，所有節點上面力相對誤差降低，計算精度提高，其插值穩定性變差.圖12和圖13分別表示插值點數量為1 961的情況下邊界取樣點的面力和內部取樣點的位移.從圖中可以看到，取樣點的位移和面力數值解和精確解擬合效果很好，誤差小，計算精度高.從圖11可以看到，隨著插值點的加密，插值矩陣條件數的增長速度越來越緩慢，因此用式(9)控制參數變化是合適的.

圖10 邊界上面力的相對誤差Fig.10 Relative errors of the surface force on the boundary

圖11 RBF 矩陣條件數Fig.11 The condition number of the RBF matrix

圖12 取樣點面力結果Fig.12 Surface force results at sampling points

圖13 取樣點位移結果Fig.13 Displacement results at sampling points

從上述兩個具體的雙互易邊界元算例可以看出，采用式（9）插值方案下，能夠較好地控制插值矩陣的條件數，同時能夠保證插值的收斂性，并且也可以證明指數型基函數在式（9）形狀參數變化方案下，作為雙互易邊界元方法的RBF 解決靜彈性力學非齊次問題的有效性.

3.2.3 工字型結構

考慮實際工況下的解析解不易求得的情況，采用雙互易邊界元法和有限元法進行對比，進一步驗證雙互易邊界元方法在解決靜彈性力學問題的有效性.該算例模型為工程上常見的工字型結構，可以作為橫梁支架等應用場景.模型的幾何尺寸見圖14，材料參數為：Poisson 比0.28，彈性模量2 000 MPa，密度0.007 9 t /mm3.工字型結構的邊界條件為：左端面施加壓力為100 MPa，右端面固定約束，給定z方向上體力為- 20 N/mm3，約束和載荷如圖15所示.

圖14 幾何尺寸圖 (單位：mm)Fig.14 Geometric dimensions (unit: mm)

圖15 載荷和約束Fig.15 Loads and constraints

雙互易邊界元法中，指數型函數作為雙互易邊界元法中的RBF 并且形狀參數方案為式（9），采用線性三角形單元，單元數量為1 656，節點數量為1 108.

有限元法中，采用六面體線性單元類型，如圖16，單元數量為4 440，節點數量為5 859.取樣點為單元節點位置，如圖17所示，坐標如表1所示.

表1 取樣點坐標Table 1 Coordinates of sampling points

圖16 有限元單元離散Fig.16 Finite element discretization

圖17 取樣點位置Fig.17 Sampling point positions

圖18是雙互易邊界元雙法以及有限元法對工字型結構進行靜彈性力學分析得出的取樣點位移分量ux，uy和uz.從圖18中可以看出，雙互易邊界元法和有限元法兩種方法分析得到的位移數值結果擬合程度較高，進一步說明了指數型基函數作為雙互易邊界元方法的RBF 對于結構靜力學分析的有效性和準確性.

圖18 取樣點的位移Fig.18 Displacements of sampling points

4 結 論

本文從含有域內項彈性力學邊界積分方程出發，運用指數型RBF 對體力項進行插值，分析指數型插值函數的形狀參數變化方案下插值點數量對RBF 插值精度和穩定性的影響，并應用到雙互易邊界元法中分析數值誤差.算例表明，在指數型基函數形狀參數等于插值點最近距離的最小值插值方案下，控制形狀參數能夠有效控制插值矩陣條件數的快速增長，同時也能夠達到很高的插值精度，其取樣點的位移和面力數值解和解析解擬合程度高，并且在無解析解實際工況下雙互易邊界元法和有限元法數值結果吻合度較好.數值結果說明了指數型基函數在式（9）插值方案下，作為雙互易邊界元法的RBF 解決靜彈性力學中非齊次項問題的有效性，適合求解實際工程中的非齊次問題.