一類帶擾動的隨機脈沖泛函微分方程解的漸近性*

梁 青

（海南師范大學 數學與統計學院，海口 571158）

引 言

由于在機械工業、生物學、生態學、人口學和工程等方面的重要運用，隨機微分方程(SDE)特別是隨機泛函微分方程(SFDE)，越來越多地受到研究者們的關注[1-12].SFDE的許多性質都是研究的熱點，比如方程解的存在唯一性、有界性、持久性和各種類型的穩定性等.而在SDE的諸多性質中，有一種性質不論是從理論還是從應用的角度看都很有價值，那就是受擾動SDE的性質，文獻[13-15]對不同類型的帶擾動SDE的性質做了詳細的討論.另一方面，脈沖效應是自然界中普遍存在的現象，它的影響不容忽視，例如，它可以使一個非穩定系統穩定化.脈沖在物理、化學、生物、人口動力學和工業自動化領域被廣泛應用[16-19].基于脈沖效應對SFDE的重要意義，我們很自然地要研究帶有脈沖SFDE的解和不帶脈沖SFDE的解具有哪些不同的性質.文獻[15]研究了在系數滿足Lipschitz 條件和線性增長條件的前提下，受擾動SFDE的解和未受擾動SFDE的解在有限區間上是相互逼近的，而且，當擾動項趨于零時，區間長度趨于無窮大，這兩個解在該無限區間上也是相互逼近的.如果文獻[15]中的SFDE 含有脈沖干擾，方程的解不是連續，而是分段連續的，那么，文獻[15]中的結論是否成立?為了研究這個問題，本文從一類帶有脈沖時刻的SFDE 出發，利用It?公式、基本不等式和隨機分析技巧，在較弱的的條件下證明了受擾動方程的解和相應的未受擾動方程的解在有限區間上是相互逼近的.而且，當擾動項趨于零時，這兩個解在長度趨于無窮大的時間區間上也是相互逼近的.本文不同于文獻[15]之處在于：① 把脈沖的干擾引入方程，使系統變得更加復雜和完備，證明了帶脈沖的方程的解也有類似的結果；② 把文獻[15]中加在方程系數上的Lipschitz 條件和線性增長條件弱化，在較弱的條件下證明了類似的結論.所以本文涵蓋了文獻[15]中的相關結果，是對文獻[15]的推廣.

1 準備工作

設(?,F,{Ft}t≥0,P)是一個帶流的完備概率空間，流 {Ft}t≥0滿足通常條件，E是關于概率測度P的數學期望，本文中所有的隨機變量和隨機過程都定義在該概率空間上.向量或矩陣A的轉置記為AT.設 Z+和 R+分別表示非負整數和非負實數，Rn表示n維歐氏空間，|·|表示 Rn中的歐氏范數.如果A是一個矩陣，用記為它的Frobenius 范數.令 {B(t)=(B1(t),B2(t),···,Bn(t))T:t≥0}是關于 {Ft}t≥0適應的n維Brown 運動.設τ＞0,p≥2是常數，L2([-τ,0];Rd)表示取值于 Rd的Borel 可測函數 ψ1(s):-τ≤s≤0構成的族，L2([-τ,0];Rd)中的范數定義為

設CF0([-τ,0];Rd)表示從[-τ,0]到 Rd的關于 F0可 測的分段連續的隨機過程ψ2(s)的全體，且ψ2(s) 在[-τ,0]的間斷點處右連續有左極限，這里Fs:=F0,s∈[-τ,0].該空間的范數定義為

L2([-τ,0]×?;Rd)表示取值于 Rd空間中的Borel 可測的隨機函數ψ3(s):-τ≤s≤0 構成的族，其中的范數定義為

這里，μ是([-τ,0],B([-τ,0]))上的概率測度.

考慮下列帶有脈沖的SFDE：

其中，ξ ∈CF0([-τ,0];Rd)，且E‖ξ‖2p＜+∞；x(t)=(x1(t),x2(t),···,xd(t))T，xt={x(t+θ):-τ≤θ≤0}是取值于L2([-τ,0];Rd)的隨機過程；tk表示脈沖時刻，k=1,2,3,···，tk＜tk+1，且 limk→+∞tk=+∞，Ik(tk,x(tk))表示x在tk時刻的跳的幅度；f:R+×L2([-τ,0];Rd)×R+→Rd，g:R+×L2([-τ,0];Rd)×R+→Rd×n是兩個Borel 可測函數.

為了得到本文的結果，先給出以下假設：

p1≥1t≥0,y＞0,y′≥0,φ ∈L2[-τ,0;Rd],φ′∈L2([-τ,0];Rd)

(A1) 設，對任意的，有

其中，ρ1(·):R+→R+是單調遞增的連續的凹函數，ρ1(0)=0，且

(A2) 存在常數K1＞0，對任意的t≥0，

|f(t,0,0)|∨|g(t,0,0)|≤K1.

(A3) 存在常數K2，K3＞0，使得對任意的t≥0和 自然數k，以及x,y∈Rd，有

|Ik(t,x)-Ik(t,y)|≤K2|x-y|,|Ik(t,x)|≤K3.

若假設(A1) 對p1=1成立，則假設(A2)、(A3) 也成立，則由文獻[19] 可知方程(1) 存在唯一解，記為x(t).而且，由文獻[18]可知x(t)幾 乎必然在t≥0時 右連續有左極限，不連續點只可能在脈沖時刻tk處取得，k=1,2,3,···.

現在，再來考慮受擾動的SFDE：

其中，ε是常數，0＜ε＜1，ξε∈CF0([-τ,0];Rd)，且E‖ξε‖2p＜+∞；xε(t)=(xε1(t),xε2(t),···,xεd(t))T，xεt={xε(t+θ):-τ≤θ≤0}是取值于L2([-τ,0];Rd)的隨機過程；R+→Rd×n是兩個Borel 可測函數.而且，對任意t＞0,φ ∈L2([-τ,0];Rd),y≥0，有

其中，α,β稱為擾動參數，方程(2)稱為擾動方程.

(A1′) 對任意的t≥0,y＞0,y′≥0,φ ∈L2[-τ,0;Rd],φ′∈L2([-τ,0];Rd)，有

其中，ρ2(·):R+→R+是單調遞增的連續的凹函數，ρ2(0)=0，且

(A2′) 存在常數K4＞0，對任意的t≥0,ε＞0，

假設(A1′)、(A2′)和(A3)成立，則由文獻[19]可知方程(2)存在唯一解，記為xε(t).而且，由文獻[18]可知xε(t)幾 乎必然在t≥0時 右連續有左極限，不連續點只可能在脈沖時刻tk處取得，k=1,2,3,···.

再給出一個有用的引理.

引理1(Bihari 不等式)[20]設T1＞0,ω0≥0，ω (t),v(t)是區間[0,T1]上的連續函數，u(·):R+→R+是單調遞增的連續的凹函數，對任意的r＞0，有u(r)＞0.若則的逆函數.特別地，如果則ω (t)=0,t∈[0,T1].

2 主要結果及證明

在這一節中，我們將利用It?公式、基本不等式和隨機分析技巧，證明以下的引理2，進而得到了本文的主要結果定理1 和定理2.

t0:=0 △x(0)=0,△xε(0)=0t≥0

首先，補充定義.假設.對任意的，定義

引理2假設(A1)對p1=1,2和p都 成立，則假設(A2)、(A3)、(A1′)、(A2′)也成立，且存在δi(ε)≥0,limε→0+δi(ε)=0(i=1,2,3,4)滿足以下條件：

則對任意t≥0，有

其中，Mi(ε)是依賴于p,ε的正數，且l imε→0+Mi(ε)=0(i=1,2,3)；M4,M5是依賴于p的正數.

證明由方程(1)可得對任意正整數k，有

所以，當s∈[0,t]時，存在ns∈Z+，使得tns≤s＜tns+1，且

同理

由式(5)和(6)得

對|zε,1(s)|p用It?公式，得

當r＞0時，

由于p≥2，利用Jensen 不等式，得

由式(9)得

下面分別估計E(sups∈[0,t]|Ii(s)|2),i=1,2,3,4.

利用BDG 不等式、Young 不等式[20]、Jensen 不等式、假設(A1)、式(10)和式(11)，得

利用H?lder 不等式得

與式(13)類似，有

利用H?lder 不等式和Young 不等式[20]，可得

接下來估計E(sups∈[0,t]|I1(s)|2).同理可得

同理可得

注意到

E|zε,1(0)|2p=E|zε(0)|2p≤δ1(ε),

所以

由式(12)～(17)可知式(3)成立，其中M1(ε),M2(ε),M3(ε),M4,M5取值如下：

下面給出本文的主要結果.

定理1設0＜ε＜1,T＞0是常數，引理2的條件全部滿足，則

此外，設q1是常數，且0＜q1＜2，則

證明易知存在唯一的n0∈Z+，使得tn0≤T＜tn0+1.由引理2，對任意的t∈[0,tn0+1]有

這里 ρ*(s):=s+ρ1((τp+1)s),s≥0.

由于xε(t)和x(t)在 (tk,tk+1)內 連續，在tk處右連續有左極限，a.s.，k=0,1,2,···.因而zε(t)在 (tk,tk+1)內連續，在tk處右連續有左極限，a.s.，k=0,1,2,···.從而 |zε(t)|2p在(tk,tk+1)內 連續，在tk處右連續有左極限，a.s.，k=0,1,2,···.所以 s up-τ≤s≤t|zε(s)|2p在 (tk,tk+1)內 連續，在tk處右連續有左極限，a.s.，k=0,1,2,···.所以 Δε(t)在 (tk,tk+1)內連續，在tk處右連續有左極限，k=0,1,2,···.

任取t*∈(tk,tk+1)，則對任意的ε1＞0，存在δ1＞0，當tk＜t*-δ1＜t＜t*+δ1＜tk+1時，

|Δε(t)-Δε(t*)|＜ε1.

所以

同理，l imsupε→0+Δε(t*)-limsupε→0+Δε(t)≤ε1.所以l imsupε→0+Δε(t)在t*處連續.

類似可證l imsupε→0+Δε(t)在tk處右連續有左極限，k=1,2,3,···.

由式(18)可得，當t∈[0,tn0+1]時，

注意到

且

所以

顯然，ρ*(·)是[0,+∞)上單調遞增的連續的凹函數，且ρ*(0)=0.

由于l imsupε→0+Δε(t)在 [0,t1)上連續，在t1處有左極限，由式(19)和引理1 可得

設δ ∈[0,t2-t1)，則t1+δ ∈[t1,t2).

由于l imsupε→0+Δε(·)在 [t1,t2)上連續，在t2處有左極限，由式(19)可得

再由引理1 可得

重復以上過程有限次，可得

所以

由于0＜q1＜2，用Lyapunov 不等式，當時，

定理2假設引理2的條件都滿足，則對于任意的ε ∈(0,1)，存在T(ε)＞0，l imε→0+T(ε)=+∞，使得

此外，設q2是常數，且0＜q2＜2，則

證明任取η＞0.分兩種情況討論：

t∈(0,+∞) Δε(t)＜η

(Ⅰ) 對任意的，都有.此時

所以

所以，對任意的T(ε)＞0,limε→0+T(ε)=+∞，都有

η的任意性證明了

rε∈(0,+∞) Δε(rε)=ηt＞0

(Ⅱ) 存在，使得.此時，利用引理2,對任意的，有

假設rε有界，即存在＞0，使得0＜rε＜.所以

而由定理1 可得

這是一個矛盾.所以

設0＜ε′＜ε′′＜1，以及rε′＜rε′′,則

η2=Δε′(rε′)≤Δε′(rε′′).

而由定理1 可得

這又是一個矛盾.所以

rε′≥rε′′.

即rε關于ε 在 (0,1)內單調遞減，所以

記

則有

在式(20)中，令η→0+，得

再令t=T(ε)，得

所以

由于0＜q2＜2，用Lyapunov 不等式，當ε→0+時，

注1文獻[15]研究了不受脈沖影響的SFDE，在一定條件下證明了擾動方程的解和未受擾動的方程的解是相互逼近的.在本文中，如果不考慮脈沖的影響，則本文的式(1)和(2)就變成文獻[15]中的式(2)和(4).本文把脈沖影響引入到系統中，此時SFDE的解在脈沖點處是右連續有左極限的，在適當的條件下，本文證明了擾動方程的解和未受擾動的方程的解也是相互逼近的.因此，本文涵蓋了文獻[15]中的相關結果.

注2為了證明擾動方程的解和原方程的解相互逼近，文獻[15]中對方程的系數做了兩點假設，即Lipschitz 條件和線性增長條件.本文對這兩個條件進行了適當的弱化，得到了假設(A1)、(A2)、(A1′)、(A2′).事實上，如果令本文的ρi(s)=Ks,i=1,2.本文的假設(A1)、(A1′)就變成了文獻[15]中的條件，因而本文是文獻[15]中結論的推廣.

3 算例驗證

在這一節中，設ξε=ξ，前兩節中的n,d,τ,tk取值分別為

n=1,d=1,τ=0.1,tk=k,k=0,1,2,···.

對t≥0,φ ∈L2([-0.1,0];R),y≥0,定義

f(t,φ,y):=‖φ‖L2+2y,g(t,φ,y):=‖φ‖L2+y.

可以驗證，對p1=1,2和p，以上定義的f和g滿足假設(A1) 和(A2).對t≥0,φ ∈L2([-0.1,0];R)，y≥0,0＜ε＜1,定義

對t≥0,x∈R和 自然數k，定義Ik(t,x):=arctanx，則假設(A3)成立.

考慮下列帶有脈沖的SFDE：

它的擾動方程是

假設

其中，l imε→0+G(ε)=0.則引理2的條件全部滿足，所以本文的結果定理1 和定理2 成立.

4 結 論

基于脈沖現象的普遍性，本文探討了一類帶脈沖影響SFDE的解的漸近性.在較弱的條件下證明了受擾動的方程的解和原方程的解在有限的時間區間上是相互逼近的，而且，當擾動趨于零時，時間區間變為無窮區間，兩個解在這個無窮區間上也是相互逼近的.本文推廣了SFDE的解的漸近性的相關結果.