中美兩本微積分教材中導數的定義

阮玉潔 王 敵 王紅麗

(1.大連大學經濟管理學院，遼寧 大連 116622；2.大連大學機械工程學院，遼寧 大連 116622;3.大連大學信息工程學院，遼寧 大連 116622)

一、引 言

同濟大學高等數學教研室編寫的《高等數學》(第七版)(以下簡稱同濟版)是我國高校理工類專業普遍使用的一本經典教材導數是高等數學中重要的概念之一，同濟版教材對導數的定義進行了全面的闡釋，但是關于什么是“導數不存在”并沒有給出一個明確的定義，因此學生在學習過程中會產生這樣的疑問：如果導數即等同于導數存在，那么“導數不存在，可否寫作′()不存在”，如果不可以寫，那么在習題中出現的′()不存在又如何理解呢？或者說() 在=處不可導是否等同于′()不存在？本文用美國高校普遍使用的，由Dale Varberg 等編寫的《微積分》(第九版)(以下簡稱Varberg版)教材的導數定義來解決上述問題

二、兩本教材關于導數的不同定義

1同濟版教材導數的定義

設函數=()在()內有定義，當在處取得增量Δ(點+Δ仍在該領域內)時，相應地，取得增量Δ=(+Δ)-()；如果Δ與Δ之比當Δ→0時的極限存在，那么稱函數=()在點處可導，并稱這個極限為函數=()在點處的導數，記為′()，即

函數()在點處可導有時也說成()在點具有導數或導數存在

1求函數()=||在=0處的導數

當<0時，

故

當>0時,

故

這個例子是大多數微積分教材上都會給到的例子，大家可以看到在解題的最后是通過函數在=0處不可導來描述的那么我們在做這樣的題目時，會用“函數在=0處的導數不存在”來描述還是寫作“′(0)不存在”呢?

浙江大學的蘇德礦老師也講過這道例題，他在講完函數()=||在=0處不可導之后，又特別強調了這道例題的結論如果寫成“′(0)不存在”這種寫法是矛盾的，因為′(0)是當()=||在=0處可導時才給出來的記號，現在()=||在=0處不可導，所以寫為“′(0)不存在”是矛盾的(見中國大學蘇德礦微積分第二十四節：左右導數定義，導數與連續的關系)

2Varberg版教材導數的定義

The derivative of a function f is another function f ′(read “f prime”)whose value at any number x is

If this limit does exist，we say that f is differentiable at x.Finding a derivative is called differentiable;the part of calculus associated with the derivative is called differential calculus.

同樣，在文獻[2]第103頁也給出例題1的解答：

Thus,

Where as，

Since the right-hand and left-hand limits are different，

Does not exist.Therefore,′(0)does not exist.

我們可以看出，這本微積分的教材最后的結論是“′(0)does not exist.”

由此，我們可以看出，在Varberg版微積分中，有導數存在，導數不存在的定義，也可以寫作′()不存在

文獻[1]教材其中幾個有關于“導數不存在”以及“′()是否存在”的習題

則()在=1處的( )(見文獻[1]內第83頁7題)

(A)左導數、右導數均存在

(B)左導數存在，右導數不存在

(C)左導數不存在，右導數存在

(D)左導數、右導數均不存在

三、從廣義積分概念的改進來思考導數定義的改進

1廣義積分定義的改進

以上內容是對無窮限廣義積分定義的改進，我們注意到文獻[1]中的第256頁的廣義積分定義正是采用的改進后的無窮限廣義積分的定義31

2導數定義的改進

根據廣義積分定義31的改進，結合美國微積分教材表述,我們將對導數定義加以改進,給出如下導數定義

下面以這種定義方式求解例2

四、結 語

感謝微積分專題領學團隊指導教師的指導！